ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 702
Скачиваний: 5
076.png)
получаем уравнение теплопроводности для однородного стержня
без тепловых источников
∂u
∂t
=
a
2
∂
2
u
∂x
2
(160)
Здесь
a
=
s
k
cρ
– коэффициент температуропроводности.
Рассмотрим теперь случай наличия тепловых источников. Вве-
дем
F
(
x, t
)
– плотность тепловых источников – количество теп-
лоты, выделяющееся (или поглощающееся) в единицу времени на
единице длины. Тогда вместо уравнения (159) получим
cρ
∂u
∂t
=
k
∂
2
u
∂x
2
+
1
S
F
(
x, t
)
(161)
76
077.png)
Отсюда,
∂u
∂t
=
a
2
∂
2
u
∂x
2
+
g
(
x, t
)
(162)
где
g
(
x, t
) =
1
cρS
F
(
x, t
)
4.1.2
Начальные и краевые условия
Начальное условие – задание температуры во всех точках стержня
в начальный момент:
u
(
x,
0) =
f
(
x
)
Краевые условия – условия в тех точках стержня, где возможен
теплообмен с окружающей средой – на торцевых сечениях стерж-
ня. Простейшие краевые условия – концы стержня поддержива-
77
078.png)
ются при постоянной температуре:
u
(0
, t
) = ˜
u
0
,
u
(
l, t
) = ˜
u
l
где
˜
u
0
и
˜
u
l
– заданные числа.
В более общем случае на торцевых сечениях стержня происхо-
дит теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона:
поток тепла через единицу поверхности в единицу времени про-
порционален разности температур тела и окружающей среды, т.е.
равен
h
(
u
−
˜
u
)
где
u
– температура конца стержня,
˜
u
– температура окружаю-
щей среды,
h
– коэффициент пропорциональности, зависящий от
свойств стержня и среды и называемый коэффициентом теплооб-
мена, причем
h >
0
, если тепло уходит из стержня в окружающую
среду.
Тепловой поток, проходящий через правое торцевое сечение в
78
079.png)
результате теплопроводности равен
−
kS
∆
t
∂u
∂x
x
=
l
через левое торцевое сечение
kS
∆
t
∂u
∂x
x
=0
С учетом закона сохранения энергии получаем для правого тор-
цевого сечения
−
k
∂u
∂x
x
=
l
=
h
l
[
u
(
l, t
)
−
˜
u
l
(
t
)]
(163)
для левого торцевого сечения
k
∂u
∂x
x
=0
=
h
0
[
u
(0
, t
)
−
˜
u
0
(
t
)]
(164)
где
˜
u
0
(
t
)
и
˜
u
l
(
t
)
– заданные температуры внешней среды.
79
080.png)
Таким образом, задача теплопроводности для однородного стерж-
ня с теплоизолированной боковой поверхностью без тепловых ис-
точников сводится к отысканию температуры
u
=
u
(
x, t
)
, удовле-
творяющей уравнению
∂u
∂t
=
a
2
∂
2
u
∂x
2
,
(165)
начальному условию
u
(
x,
0) =
f
(
x
)
,
(166)
краевым условиям
k
∂u
∂x
x
=0
=
h
0
[
u
(0
, t
)
−
˜
u
0
(
t
)]
,
(167)
−
k
∂u
∂x
x
=
l
=
h
l
[
u
(
l, t
)
−
˜
u
l
(
t
)]
.
(168)
80