ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 700
Скачиваний: 5
031.png)
Теперь мы должны потребовать, чтобы решение (59) удовлетво-
ряло начальным условиям:
u
(
x,
0) =
f
1
(
x
) +
f
2
(
x
) =
ϕ
(
x
)
(60)
u
t
(
x,
0) =
af
0
1
(
x
)
−
af
0
2
(
x
) =
ψ
(
x
)
(61)
Проинтегрируем (61):
f
1
(
x
)
−
f
2
(
x
) =
1
a
x
Z
x
0
ψ
(
z
)
dz
+
C
В результате получаем систему для нахождения
f
1
и
f
2
:
f
1
(
x
) +
f
2
(
x
) =
ϕ
(
x
)
(62)
f
1
(
x
)
−
f
2
(
x
) =
1
a
x
Z
x
0
ψ
(
z
)
dz
+
C
(63)
31
032.png)
Складывая и вычитая, находим:
f
1
(
x
) =
1
2
ϕ
(
x
) +
1
2
a
x
Z
x
0
ψ
(
z
)
dz
+
C
2
(64)
f
2
(
x
) =
1
2
ϕ
(
x
)
−
1
2
a
x
Z
x
0
ψ
(
z
)
dz
−
C
2
(65)
Подставляем найденные
f
1
и
f
2
в (59):
u
(
x, t
) =
1
2
(
ϕ
(
x
+
at
) +
ϕ
(
x
−
at
))+
+
1
2
a
x
+
at
Z
x
0
ψ
(
z
)
dz
−
x
−
at
Z
x
0
ψ
(
z
)
dz
(66)
32
033.png)
u
(
x, t
) =
1
2
(
ϕ
(
x
+
at
) +
ϕ
(
x
−
at
)) +
1
2
a
x
+
at
Z
x
−
at
ψ
(
z
)
dz
(67)
Формула (67) – формула Даламбера. Она была получена в предпо-
ложении существования решения рассматриваемой задачи. Любое
решение задачи Коши для бесконечной струны дается формулой
Даламбера, что доказывает единственность решения. Сам метод
вывода формулы Даламбера доказывает существование решения.
Полученное решение с физической точки зрения представляет
собой процесс распространения начального отклонения и началь-
ной скорости. Функция
f
(
x
−
at
)
представляет собой неизменный
профиль
f
(
x
)
, перемещающийся в положительном направлении
оси
x
со скоростью
a
— распространяющаяся или бегущая волна;
функция
f
(
x
+
at
)
– волна, бегущая в отрицательном направлении
оси
x
. Таким образом, общее решение задачи Коши для бесконеч-
ной струны представляет собой суперпозицию двух волн, одна из
33
034.png)
которых распространяется направо со скоростью
a
, другая налево
с той же скоростью.
Для исследования решения (67) удоб-
но ввести плоскость состояний или
фазовую плоскость
(
x, t
)
. Рассмотрим
фиксированную точку M
(
x
0
, t
0
)
и про-
ведем через нее характеристики
x
−
at
=
C
1
=
x
0
−
at
0
и
x
+
at
=
C
2
=
x
0
+
at
0
. Очевидно, что эти характеристики
пересекут ось
x
в точках
x
1
=
x
0
−
at
0
и
x
2
=
x
0
+
at
0
. Найдем значение функ-
ции
u
(
x, t
)
в точке M:
u
(
x
0
, t
0
) =
f
1
(
x
0
−
at
0
) +
f
2
(
x
0
+
at
0
) =
f
1
(
x
1
) +
f
2
(
x
2
)
(68)
Т.о., отклонение струны в точке M определяется начальным от-
клонением в вершинах характеристического треугольника PQM
34
035.png)
и значением начальной скорости на стороне PQ:
u
(
M
) =
1
2
(
ϕ
(
P
) +
ϕ
(
Q
)) +
1
2
a
Z
P Q
ψ
(
z
)
dz
(69)
3.4
Метод разделения переменных
Метод разделения переменных носит также название метода Фу-
рье и является наиболее распространенным методом решения урав-
нений с частными производными. Рассмотрим его на примере стру-
ны с закрепленными концами. Уравнение колебаний
u
tt
=
a
2
u
xx
(70)
Граничные условия
u
(0
, t
) = 0
,
u
(
l, t
) = 0
(71)
Начальные условия
u
(
x,
0) =
ϕ
(
x
)
,
u
t
(
x,
0) =
ψ
(
x
)
.
(72)
35