ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1757
Скачиваний: 15
4.2. Система эквивалентных ставок
43
из равенства
(1
−
nd
)
−
1
= (1 +
i
c
)
n
(4.11)
необходимо следует
i
c
= (1
−
nd
)
−
1
/n
−
1
,
(4.12)
d
=
1
n
1
−
(1 +
i
c
)
−
n
.
(4.13)
Эти формулы предполагают, что при начислении процентов применяется
одинаковая временная база. Если при применении учетной ставки используется
K
= 360
, то имеем
i
c
=
1
−
d
t
360
−
1
/n
−
1;
(4.14)
d
=
360
t
1
−
(1 +
i
c
)
−
n
.
(4.15)
При начислении сложных процентов
m
раз в год из равенства
(1
−
nd
)
−
1
= (1 +
j/m
)
nm
(4.16)
получаем
j
=
m
(1
−
nd
)
−
1
/mn
−
1
,
(4.17)
d
=
1
n
1
−
(1 +
j/m
)
−
mn
.
(4.18)
Формулы, связывающие эквивалентные простые и сложные ставки, зависят
от продолжительности периода начисления. А вот формулы, связывающие эк-
вивалентные сложные ставки, не зависят от продолжительности периода начис-
ления. Рассмотрим
эквивалентность сложных процентной и учетной ставок
.
Из равенства множителей наращения
(1 +
i
c
)
n
= (1
−
d
c
)
−
n
(4.19)
44
Глава 4. Эквивалентные ставки
следует
i
c
=
d
c
1
−
d
c
,
(4.20)
d
c
=
i
c
1 +
i
c
.
(4.21)
Если начисление осуществляется
m
раз в году, то из равенства
(1 +
j/m
)
mn
= (1
−
d
c
)
−
n
(4.22)
следует
j
=
m
(1
−
d
c
)
−
1
/m
−
1
,
(4.23)
d
c
= 1
−
(1 +
j/m
)
−
m
.
(4.24)
Ниже приводятся ситуации
эквивалентности силы роста и простых ста-
вок
. Из равенства множителей
(1 +
ni
) = exp(
δn
)
(4.25)
следует, что
i
=
exp(
δn
)
−
1
n
,
(4.26)
δ
=
ln(1 +
ni
)
n
.
(4.27)
Аналогично получаем следующие эквивалентные ставки
(1
−
nd
) = exp(
−
δn
)
(4.28)
d
=
1
−
exp(
−
δn
)
n
,
(4.29)
δ
=
−
ln(1
−
nd
)
n
.
(4.30)
Переход от дискретных ставок к соответствующим эквивалентным непре-
рывным ставкам позволяет упростить анализ многих сложных финансовых за-
дач. Осуществив необходимые математические выкладки, полученные резуль-
4.2. Система эквивалентных ставок
45
таты можно представить опять в любых удобных эквивалентных дискретных
ставках, являющихся более привычными.
Эквивалентность силы роста и слож-
ных ставок
представлена ниже. При однократном начислении процентов из
(1 +
i
)
n
= exp(
δn
)
(4.31)
следует, что
i
= exp(
δ
)
−
1
,
(4.32)
δ
= ln(1 +
i
)
.
(4.33)
При начиcлении процентов
m
раз
(1 +
j/m
)
m
n
= exp(
δn
)
,
(4.34)
j
=
m
(exp(
δ/m
)
−
1)
,
(4.35)
δ
=
m
ln(1 +
j/m
)
.
(4.36)
Также справедливы следующие равенства для сложных учетных ставок:
(1
−
d
)
n
= exp(
δn
)
,
(4.37)
d
= 1
−
exp(
−
δ
)
,
(4.38)
δ
=
−
ln(1
−
d
)
.
(4.39)
При
m
-разовом дисконтировании
(1
−
f /m
)
m
n
= exp(
δn
)
,
(4.40)
f
=
m
(1
−
exp(
−
δ/m
))
,
(4.41)
δ
=
−
m
ln(1
−
f /m
)
.
(4.42)
Эквивалентные ставки, подобно эффективным ставкам, позволяют сравни-
вать между собой финансовые контракты, условия которых различны.
46
Глава 4. Эквивалентные ставки
4.3. Вычисление средних значений
На практике распространены задачи, связанные с переоформлением усло-
вий финансовых соглашений, а также с заменой нескольких финансовых сделок
на одну. Одним из методов решения такого типа задач при применении простых
процентов является вычисление средних значений ставки и срока.
Средней ставкой называется ставка, под которую необходимо предоставить
несколько капиталов на соответствующие исходные сроки с целью получения
такого же дохода, как и при предоставлении этих же капиталов на соответству-
ющие эти же сроки, но под разные ставки. Принцип эквивалентности процент-
ных ставок используется при определении среднего значения ставки
i
0
.
Пусть за периоды
n
1
,
n
2
,
. . .
,
n
k
начисляются простые проценты по ставкам
i
1
,
i
2
,
. . .
,
i
k
. Тогда на основе равенства
1 +
N i
0
= 1 +
k
X
t
=1
n
t
i
t
(4.43)
получим
i
0
=
P
n
t
i
t
N
,
(4.44)
где
N
=
k
P
t
=1
n
t
.
Найденная характеристика представляет собой среднюю взвешенную ариф-
метическую величину с весами, соответствующими продолжительности отдель-
ных интервалов. Ставка
i
0
дает тот же доход за время
N
, что и совокупность
изменяющихся ставок за соответствующие периоды.
Средним сроком называется срок, на который необходимо предоставить
несколько капиталов под соответствующие ставки с целью получения такого
же дохода, как и при предоставлении этих же капиталов под соответствующие
эти же ставки на исходные разные сроки.
Величина среднего срока финансовой операции для рассматриваемой став-
ки имеет вид
¯
n
(
i
)
=
P
k
t
=1
n
t
i
t
P
k
t
=1
i
t
.
(4.45)
Задания для самоконтроля
47
Аналогично для простых учетных ставок
d
1
,
d
2
,
. . .
,
d
k
находим среднее
1
−
N d
0
= 1
−
n
1
d
1
−
n
2
d
2
−
. . .
−
n
k
d
k
;
(4.46)
d
0
=
P
n
t
i
t
N
.
(4.47)
Величина среднего срока финансовой операции для рассматриваемой став-
ки имеет вид
¯
n
(
d
)
=
P
k
t
=1
n
t
d
t
P
k
t
=1
d
t
.
(4.48)
Начисления сложных процентов приводит к среднему геометрическому.
(1 +
i
0
)
N
= (1 +
i
1
)
n
1
(1 +
i
2
)
n
2
. . .
(1 +
i
k
)
n
k
,
(4.49)
i
0
= ((1 +
i
1
)
n
1
(1 +
i
2
)
n
2
. . .
(1 +
i
k
)
n
k
)
1
/N
−
1
,
(4.50)
где
N
=
k
P
t
=1
n
t
.
Задания для самоконтроля
Задача 4.1.
Какой годовой процентной ставкой с ежегодным начислением
сложных процентов можно заменить в контракте простую процентную ставку
24% годовых, чтобы финансовые отношения сторон остались без изменений,
полагая, что срок контракта – 450 дней, а финансовый год равен 365 дней.
Задача 4.2.
Наращение осуществляется по простой процентной ставке 14%
годовых в течение полутора лет. Определите годовую номинальную процентную
ставку с начислением сложных процентов 3 раза в год, которая обеспечивает
такую же величину наращенной суммы.
Задача 4.3.
Вексель учтен в банке за полгода до срока погашения по номи-
нальной годовой учетной ставке 27%. По какой простой ставке надо произвести
учет этого обязательства, чтобы обеспечить банку тот же самый дисконт?
Задача 4.4.
Ростовщик учитывает вексель за 45 дней до срока его оплаты
по простой учетной ставке 15% годовых. Какую сложную учетную ставку он
должен установить, чтобы его доход не изменился?