ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1843
Скачиваний: 16
3.1. Непрерывное наращение
33
В ситуациях дискретного изменения силы роста во времени непрерывное
наращение описывается следующей последовательностью
P
exp(
δ
1
n
1
)
,
P
exp(
δ
1
n
1
+
δ
2
n
2
)
,
. . .
P
exp
k
X
t
=1
δ
t
n
t
!
,
(3.9)
и, следовательно удовлетворяет формуле
S
=
P
exp
k
X
t
=1
δn
!
.
(3.10)
Более сложной выглядит ситуация, когда сила роста описывается некото-
рой непрерывной функцией времени
δ
=
δ
(
t
)
. Так, например в [3], показано,
что в случае интегрируемости
δ
(
t
)
на некотором отрезке, наращенный капитал
будет вычислен по формуле
S
=
lim
max
nt
→
0
P
exp
k
X
t
=1
δ
t
n
t
!
=
P
lim
max
nt
→
0
exp
k
X
t
=1
δ
t
n
t
!
=
=
P
exp
Z
n
0
δ
t
dt
.
(3.11)
Рассмотрим частный случай, когда сила роста непрерывно изменяется во
времени по линейному закону c годовым приростом
α
:
δ
t
=
δ
0
+
αt.
Проинтегрировав данную функцию, получаем
S
=
P
exp
δ
0
+
αn
2
2
.
34
Глава 3. Операции с непрерывными ставками
3.2. Непрерывное дисконтирование
В соответствии с методом математического дисконтирования при постоян-
ной силе роста современную величина платежа осуществляется по формуле
P
=
S
exp(
−
δn
)
,
(3.12)
где
exp(
−
δn
)
– дисконтный множитель по постоянной силе роста.
Если требуется определить современную величину платежа при дискретно
изменяющейся силе роста, то используется формула
P
=
S
exp
−
k
X
t
=1
δ
t
n
t
!
.
(3.13)
По аналогии с непрерывной ставкой процентов рассмотрим непрерывную
учетную ставку. Ранее было показано, что процесс дисконтирования по сложной
учетной ставке описывается формулой
lim
m
→∞
P
= lim
m
→∞
S
(1
−
f /m
)
mn
=
S
lim
m
→∞
(1
−
f /m
)
mn
=
S
exp(
−
f n
)
.
(3.14)
Как правило, непрерывную учетную ставку, т.е. номинальную учетную
ставку при
m
→ ∞
, обозначают
Υ
и в свою очередь называют силой дисконта
P
=
S
exp (
−
Υ
n
)
.
(3.15)
Рассмотрим взаимосвязь силы роста и силы дисконта, для чего сопоста-
вим правые части уравнений, полагая идентичность финансовых результатов,
P
=
S
exp(
−
δn
)
и
P
=
S
exp(Υ
n
)
. Из равенства
S
exp(
−
δn
) =
S
exp(Υ
n
)
. необ-
ходимо следует равенство
δ
= Υ
.
Полученное равенство говорит о том, что сила роста и сила дисконта – это
одна и та же характеристика. Если дискретные процентная и учетная ставки
в условиях конкретной финансовой операции приводят к различным финан-
совым результатам, то в пределе данное различие исчезает. Это обусловлено
применением непрерывных ставок к бесконечно малым отрезкам времени.
Задания для самоконтроля
35
Задания для самоконтроля
Задача 3.1.
Определите время удвоения первоначальной суммы при на-
числении непрерывных процентов при силе роста: а) 5%; 6) 25%; в) 50%.
Задача 3.2.
Определите наращенную на
Р
120000 в течение 5 лет сумму,
если сила роста равна: а) 4%; б) 14%; в) 24%.
Задача 3.3.
Клиент собирается разместить в банке
Р
45000 на 2 года. Ка-
кая сумма будет на счете клиента, если банк начисляет сложные проценты:
а) по номинальной процентной ставке 13% годовых с полугодовым начислением
процентов; б) по номинальной учетной ставке 13% годовых с ежеквартальным
начислением процентов; в) по непрерывной ставке с силой роста 13% за год?
Задача 3.4.
Сравните ситуации, когда проценты начисляются раз в год,
полугодие, квартал, месяц, час, минуту, секундну и непрерывно. Определите
наращенную сумму для различных вариантов начисления процентов за один
год (равный 360 дням) по сложной учетной ставке, если исходная сумма равна
Р
1000 и номинальная годовая учетная ставка составляет 15%. Для каждого
случая определите эффективную годовую учетную ставку.
Задача 3.5.
Банк выдаст ссуду на 13 лет под сложную процентную ставку
21% годовых с начислением процентов каждый квартал. Какую непрерывную
ставку должен установить банк, чтобы за 7 лет получить тот же доход?
Задача 3.6.
Определите срок, за который сумма в размере
Р
50000 достиг-
нет величины
Р
90000 при непрерывном начислении процентов и силе роста 24%.
Изменится ли результат при ежеквартальном начислении сложных процентов
по номинальной процентной ставке 24% годовых?
Задача 3.7.
По условиям следки заемщик обязуется уплатить кредитору
по векселю следующие суммы:
Р
17000 на 1 января 2015 г.;
Р
23500 на 1 января
2014 г.;
Р
30200 на 1 октября 2014 г. Определите приведенную стоимость долга на
моменты: а) 1 января 2011 г.; б) 1 июля 2013 г., если используется непрерывное
начисление процентов с силой роста 11% за год.
Задача 3.8.
Банк предоставил кредит на 5 лет под непрерывную ставку
17% за год. Определите доходность такой финансовой операции для банка в
виде простой годовой процентной ставки.
Задача 3.9.
Предоставлена ссуда на 8 лет под непрерывную ставку. Опре-
делите величину этой ставки, если доходность сделки для кредитора в виде
36
Глава 3. Операции с непрерывными ставками
годовой эффективной процентной ставки составила 18%. Зависит ли величина
искомой непрерывной ставки от срока ссуды?
Задача 3.10.
Определите непрерывную ставку по депозиту, если
Р
10000
сейчас эквивалентны
Р
30000 через 4 года, а также какая сложная процентная
ставка с начислением процентов по полугодиям решит эту задачу?
Задача 3.11.
После уплаты налога на проценты величина наращенной
суммы составила
Р
1248800. Определите срок, за который было осуществлено
наращение, если ставка налога на процент равна 15% и налог на все полученные
процент был выплачен один раз в конце срока.
Задача 3.12.
Вкладчик рассчитывает за 6 лет увеличить сумму на депози-
те в 2,5 раза. Какой должна быть сила роста, если банк начисляет непрерывные
проценты? Какова должна быть сила роста, чтобы обеспечить пятикратное уве-
личение суммы?
Задача 3.13.
Оцените варианты: получить
Р
20000 через 3 года или
Р
68000
через 7,5 года, если можно поместить деньги на депозит под непрерывную став-
ку 28% годовых?
Задача 3.14.
Определите современную стоимость
Р
60000, если: а) указан-
ная сумма будет получена через 2 года 6 месяцев; б) указанная сумма была
получена 4 года 6 месяцев назад; в) указанная сумма получена в настоящий
момент времени. Учесть возможность помещения денег на депозит под непре-
рывную процентную ставку 30%.
Задача 3.15.
Выдается ссуда по непрерывной ставке 22% годовых, при
этом взимаются комиссионные в размере 1% от величины ссуды. Непрерывные
проценты начисляются на исходную величину ссуды. На какой срок должна
быть выдана ссуда, чтобы доходность такой сделки для кредитора в виде годо-
вой эффективной процентной ставки составляла 28%?
Задача 3.16.
Некоторый капитал был помещен в банк на 3 года 6 месяцев,
по истечении которых на этот капитал были начислены непрерывные проценты
с силой роста 24% за год и счет был закрыт. После уплаты налога на проценты
наращенный капитал стал равен
Р
129504. Определите величину первоначаль-
ного капитала, если налог на все полученные проценты выплачивается один раз
в конце срока и ставка налога на проценты равна 12%.
Задача 3.17.
Полагая, что банк начисляет непрерывные проценты с силой
роста 27%, определите современную стоимость
Р
20000, если: а) эта сумма была
Задания для самоконтроля
37
помещена на депозит в банке 3 года 4 месяца назад; б) эта сумма будет помещена
на депозит в банке через 2 года 9 месяцев.
Задача 3.18.
Некоторый капитал помещен в банк под непрерывную ставку
30%. Через 2 года и 3 месяца счет был закрыт и получена
Р
189755. Определите
величину наращенной суммы, которая была бы получена через полтора года.
Задача 3.19.
Клиент получил в банке ссуду на 7 лет по непрерывной став-
ке 28% за год, при этом банком были удержаны комиссионные в размере 1,5%
от величины ссуды. Определите доходность такой финансовой операции для
банка в виде: а) простой годовой процентной ставки; б) годовой эффективной
процентной ставки, если непрерывные проценты начисляются на исходную ве-
личину ссуды.
Задача 3.20.
При выдаче кредита на 4 года по непрерывной ставке 24%
годовых были удержаны комиссионные. Непрерывные проценты начислялись
на исходную величину кредита. Сколько процентов составили комиссионные от
величины кредита, если доходность такой финансовой операции для кредитора
в виде эффективной процентной ставки составила 30% годовых?
Задача 3.21.
На вклад
Р
6000 начисляются непрерывные проценты. Най-
дите наращенную сумму за 8 лет, если интенсивность наращения изменяется
следующим образом: в первые три года – 12%, в следующие два года – 14% и
в каждый оставшийся год увеличивается на 3%. Какую постоянную силу роста
необходимо взять, чтобы за 8 лет получить ту же наращенную сумму?
Задача 3.22.
Клиент поместил в банк
Р
10000 на условиях начисления
непрерывных процентов с силой роста 28%. Через 15 месяцев он вывел
Р
4000
со счета, еще через 2 года положил на свой счет
Р
3000, а после этого через 2 го-
да 6 месяцев он закрыл счет. Определите сумму, полученную клиентом при
закрытии счета.
Задача 3.23.
Сумма в размере
Р
25000 помещена в банк под непрерывную
ставку с силой роста 20% за год. В конце каждого года расходуется 3% от
наращенной к этому моменту суммы. Определите величину наращенной суммы
в конце девятого года с учетом понесенных расходов.
Задача 3.24.
Вкладчик положил в банк
Р
8000 на условиях начисления
непрерывных процентов с силой роста 26%. Через полтора года вкладчик снял
со счета
Р
5000, а через 2 года после этого он положил
Р
7000. Еще через 2