ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1765
Скачиваний: 15
6
Финансовые ренты
6.1. Постоянные потоки платежей
Производственно-хозяйственные операции часто предусматривают не от-
дельные разовые платежи, а множество распределенных во времени выплат и
поступлений.
Обычно такие платежи называют
потоком платежей
. Члены потока пла-
тежей могут быть как положительными (поступления), так и отрицательными
(выплаты) величинами.
Поток платежей, все члены которого – положительные величины, а времен-
ные интервалы между двумя последовательными платежами постоянны, назы-
вают
финансовой рентой
или
аннуитетом
(например, выплаты процентов по
облигации, взнос по погашению потребительского кредита, выплаты страховых
премий и т.д.). Представление платежей в виде финансовой ренты существенно
упрощает финансовый количественный анализ.
Финансовая рента описывается следующими параметрами:
•
член ренты
– величина каждого отдельного платежа;
•
период ренты
– временной интервал между двумя платежами;
•
срок ренты
– время, измеренное от начала финансовой ренты до последнего
ее периода;
•
процентная ставка
используется при наращении или дисконтировании пла-
тежей, из которых состоит рента.
Иногда используются и другие параметры: число платежей в году, число
(количество) начислений процентов, моменты производства платежей и др.
64
Глава 6. Финансовые ренты
Ниже представлена типология финансовых рент. В зависимости от продол-
жительности периода ренты делят на годовые и
p
-срочные (
p
характеризует
число выплат на протяжении года). По числу начислений процентов различа-
ют ренты с начислением процентов один раз в году,
m
-раз в году, непрерывно
в течение года. По величине членов различают ренты постоянные (с равными
членами) и переменные. Члены переменных рент могут изменяться во време-
ни, следуя какому-либо закону, например, арифметической или геометрической
прогрессии и т.д., или несистематично. По вероятности выплаты членов ренты
делятся на верные и условные. По числу членов различают ренты с конечным
числом членов (ограниченные) и бесконечные (вечные). Если начало срока рен-
ты совпадает с началом действия контракта, то рента считается немедленной, в
противном случае – отложенной (отсроченной). Если платежи осуществляются
в конце каждого периода, то это обычная, или
постнумерандо
, если в начале –
пренумерандо
.
Обобщающими характеристики потока платежей являются
наращенная сум-
ма
, равная сумме всех членов ренты вместе с начисленными на них процента-
ми, и
современная величина
, равная сумме всех ее членов, дисконтированных
на некоторый момент времени.
6.2. Расчет наращенной суммы ренты
Рассмотрим пример годовой ренты.
Пример 6.1.
Пусть в конце каждого года в течение 4 лет в банк вносится
сумма
Р
1000. Проценты начисляются в конце года, ставка – 5% годовых.
В этом случае первоначальный срок обратится к концу срока ренты в вели-
чину
1000
×
1
,
05
3
, так как соответствующая сумма была на счете 3 года. Второй
взнос будет равен
1000
×
1
,
05
2
; третий –
1000
×
1
,
05
, а последний процентов не
приносит. Таким образом в конце срока ренты взносы с начисленными на них
процентами будут представлять собой ряд
1000
×
1
,
05
3
,
1000
×
1
,
05
2
,
1000
×
1
,
05
,
1000
.
Наращенная сумма равна сумме членов этого ряда.
6.2. Расчет наращенной суммы ренты
65
Обобщая сказанное, введем обозначения и выведем общую формулу. Пусть
S
– наращенная сумма;
R
– размер члена ренты;
i
– ставка процента;
n
– срок
ренты (число лет).
Члены ренты будут приносить проценты в течение
n
−
1
,
n
−
2
,
. . .
, 2, 1, 0
периодов, а наращенная величина этих членов ренты составит
R
(1 +
i
)
n
−
1
,
R
(1 +
i
)
n
−
2
,
. . .
, R
(1 +
i
)
2
,
R
(1 +
i
)
,
R.
(6.1)
В обратном порядке этот ряд представляет собой геометрическую прогрес-
сию со знаменателем
1 +
i
и первым членом
R
.
Сумма
n
членов геометрической прогрессии со знаменателем
q
S
=
S
n
−
1
q
−
S
0
q
−
1
.
(6.2)
Сумма членов ренты равна
S
=
R
(1 +
i
)
n
−
1
(1 +
i
)
−
1
=
R
(1 +
i
)
n
−
1
i
.
(6.3)
Обозначим множитель, на который умножаем
R
через
S
n
;
i
и будем назы-
вать его
коэффициент наращения ренты
.
S
n
;
i
=
n
−
1
X
t
=0
(1 +
i
)
t
=
(1 +
i
)
n
−
1
i
,
(6.4)
S
=
RS
n
;
i
.
(6.5)
Значения
S
n
;
i
табулированы для разных
n
и
i
.
Годовая рента с начислением процентов
m
раз в год.
Для случаев годовой
ренты с начислением процентов
m
раз в год применяется ставка
j/m
, полагая,
что
j
– номинальная ставка. Члены ренты в этом случае образуют геометриче-
скую прогрессию
R,
R
(1 +
j/m
)
m
,
R
(1 +
j/m
)
2
m
,
. . . ,
R
(1 +
j/m
)
(
n
−
1)
m
.
(6.6)
66
Глава 6. Финансовые ренты
Рис. 6.1. Рост, обеспечиваемый процентными ставками
i
1
и
i
2
В этом случае знаменатель равен
(1 +
j/m
)
, а
S
=
R
(1 +
j/m
)
mn
−
1
(1 +
j/m
)
m
−
1
=
R
(1 +
j/m
)
mn
−
1
(1 +
j/m
)
m
−
1
.
(6.7)
Множитель, на которые умножается
R
отличается от
S
n
;
i
. Чтобы можно
было пользоваться таблицей, преобразуем этот множитель, умножив его и раз-
делив на
j/m
, тогда
S
N
;
j/m
=
(1 +
j/m
)
mn
−
1
(1 +
j/m
)
m
−
1
=
S
mn
;
j/m
S
m
;
j/m
,
(6.8)
где
S
mn
;
j/m
=
(1 +
j/m
)
mn
−
1
j/m
,
(6.9)
S
m
;
j/m
=
(1 +
j/m
)
m
−
1
j/m
.
(6.10)
Определим наращенную сумму при условии, что рента выплачивается
p
раз в году равными платежами, а проценты начисляются один раз в конце года.
Если годовая сумма платежа
R
, то выплачивается каждый раз
R/p
, а так как
период начисления процентов в
p
раз меньше года, то множитель наращения
равен
(1 +
i
)
1
/p
. Последовательность возросших платежей в обратном порядке
6.2. Расчет наращенной суммы ренты
67
имеет вид:
R
p
,
R
p
(1 +
i
)
1
/p
,
R
p
(1 +
i
)
1
/p
×
2
,
. . . ,
R
p
(1 +
i
)
,
. . . ,
R
p
(1 +
i
)
n
−
1
/p
.
(6.11)
Опять получается геометрическая прогрессия, первый член которой
R/p
,
а знаменатель
(1 +
i
)
1
/p
. Сумма равна
S
=
R
p
(1 +
i
)
n
−
1
/p
(1 +
i
)
1
/p
−
R
p
(1 +
i
)
1
/p
−
1
=
R
1
p
(1 +
i
)
n
−
1
(1 +
i
)
1
/p
−
1
,
(6.12)
S
=
RS
np
;
i
.
(6.13)
Рассмотрим
p
-срочная ренту. Наиболее простой случае
p
-срочной ренты
получается тогда, когда число членов ренты в году равно числу начислений
процентов в году, т.е.
p
=
m
. Будем считать, что процент начисляется в конце
периода ренты
R
p
,
R
p
(1 +
j/m
)
m/p
,
R
p
(1 +
j/m
)
m/p
×
2
,
. . . ,
R
p
(1 +
j/m
)
mn
−
m/p
(6.14)
Учитывая, что
p
=
m
, можно записать
S
=
R
m
(1 +
j/m
)
mn
−
m/p
(1 +
j/m
)
m/p
−
R
m
(1 +
j/m
)
m/p
−
1
=
R
m
(1 +
j/m
)
mn
−
1
j/m
.
(6.15)
Рассмотрим самый общий случай
p
-срочной ренты с начислением процен-
тов
m
раз в году. Рента с такими условиями называется общей. Первый член
ренты, равный
R/p
, уплаченный спустя
1
/p
года после начала с начисленными
на него процентами к концу срока ренты будет равен
R
p
(1 +
j/m
)
mn
−
m/p
.
(6.16)
Второй член составит величину
R
p
(1 +
j/m
)
mn
−
2
m/p
.
(6.17)