ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1770
Скачиваний: 15
6.5. Определение параметров финансовых рент
73
6.5. Определение параметров финансовых рент
Задача определения параметров финансовых рент аналогична задаче опре-
деления параметров в формулах наращения процентов.
S
=
R
(1 +
i
)
n
−
1
i
,
(6.43)
где параметры рент:
R
– член ренты;
n
– срок ренты;
i
- процентная ставка.
Определение члена ренты
R
при заданных
S
или
A
(
S
– наращенная вели-
чина ренты,
A
– приведенная величина ренты), а так же известных
i
и числа
членов ренты
n
(ее продолжительности).
Возможно два варианта постановки этой задачи в зависимости от того,
какая величина является исходной.
1. Если сумма долга определена на какой-то момент в будущем и предполага-
ется, что долг будет погашен путем создания специального фонда на основе
последовательных взносов в течении
n
лет при начислении на них процен-
тов. В этом случае логично прировнять долг наращенной сумме
S
=
RS
n
;
i
,
(6.44)
откуда
R
=
S/S
n
;
i
.
(6.45)
2. В случае, когда текущий долг погашается последовательными платежами,
сумма долга приравнивается современной величине ренты
A
=
Ra
n
;
i
,
(6.46)
R
=
A
a
n
;
i
.
(6.47)
Определение срока ренты.
Необходимость в определении срока ренты и,
соответственно, числа платежей обычно возникает в ходе разработки условий
контракта
S
=
R
(1 +
i
)
n
−
1
i
,
(6.48)
S
R
i
+ 1 = (1 +
i
)
n
,
(6.49)
74
Глава 6. Финансовые ренты
n
=
ln
S
R
i
+ 1
!
ln (1 +
i
)
(6.50)
или
A
=
R
1
−
(1 +
i
)
−
n
i
(6.51)
(1 +
i
)
−
n
= 1
−
A
R
i
(6.52)
−
n
ln (1 +
i
) = ln
1
−
A
R
i
(6.53)
n
=
ln
1
−
A
R
i
!
ln (1 +
i
)
.
(6.54)
Возможны три случая:
1. Очевидно, что
n
– конечно и положительно только при
Ai < R
.
2. При
R
=
Ai,
n
→ ∞
, т.е. долг не погашается.
3. При
R < Ai
возникает ситуация, когда начисленные на остаток проценты
превышают размеры погасительных платежей.
Определение ставки процента.
Расчет величины ставки процента имеет важное значение в финансовом и
экономическом анализе, особенно при выяснении доходности (эффективности)
различных финансовых и коммерческих операций, в которых предусматрива-
ются периодические выплаты (получение) денег.
Проблема расчета ставки процента не так проста, как это может показаться
на первый взгляд. В простейшем случае величина ставки процента сводится к
решению уравнений
S
=
R
(1 +
i
)
n
−
1
i
(6.55)
или
A
=
R
1
−
(1 +
i
)
−
n
i
.
(6.56)
Прямого алгебраического решения эти уравнения не имеют.
6.5. Определение параметров финансовых рент
75
Для расчета
i
в этом случае используются интерполяционные формулы,
итерационный метод Ньютона-Рафсона, метод секущей. Иногда используют
разложение бинома Ньютона.
При линейной интерполяции имеем
i
=
i
h
+
a
−
a
h
a
b
−
a
h
(
i
b
−
i
h
)
,
(6.57)
где
a
b
,
a
h
– значения коэффициентов наращения или коэффициенты приведения
для процентных ставок
i
b
и
i
h
;
i
b
– верхняя граница процентной ставки;
i
h
–
нижняя граница процентной ставки;
a
– коэффициент наращения, полученный
по исходным данным, т.е.
a
=
S/R
, или коэффициент приращения
a
=
A/R
.
Обычно, относительно
i
b
и
i
h
делается предположение об их величине
i
,
причем, величины стараются выбрать таким образом, чтобы для их соответ-
ствующих
a
h
и
a
b
выполнялось неравенство
a
h
< a < a
b
.
В общем случае метод Ньютона-Рафсона предназначен для решения урав-
нения
f
(
x
) = 0
.
Общий вид рекуррентного соотношения
x
k
+1
=
x
k
−
f
(
x
k
)
f
0
(
x
k
)
,
(6.58)
где
k
– номер итерации;
f
0
(
x
k
)
– численное значение производной в точке
x
k
.
Начальное значение
x
0
находится методом проб и ошибок. Соотношение
x
k
+1
=
x
k
−
f
(
x
k
)
f
0
(
x
k
)
можно использовать как для случая, когда известна наращен-
ная величина и когда известна современная величина ренты.
В случае наращенной величины ренты имеем
S
R
−
(1 +
i
k
)
n
−
1
i
k
= 0
.
(6.59)
Для удобства будем оценивать не
i
, а
q
= 1 +
i
, тогда
S
R
−
q
n
−
1
q
−
1
= 0
.
(6.60)
76
Глава 6. Финансовые ренты
Для годовой ренты имеем
f
(
q
k
) =
q
n
k
−
S
R
(
q
k
−
1)
−
1
,
(6.61)
f
0
(
q
k
) =
nq
n
−
1
k
−
S
R
.
(6.62)
P
-срочная рента
f
(
q
k
) =
q
n
k
−
S
R
P
q
1
/p
k
−
1
,
(6.63)
f
0
(
q
k
) =
nq
n
−
1
k
−
S
R
q
1
/p
k
.
(6.64)
Начальное значение
q
0
= 1 +
i
0
выбирается так, чтобы
S
n
;
i
0
было наиболее
близко к заданному отношению
S/R
.
6.6. Конверсия аннуитетов
В практической деятельности иногда приходится сталкиваться с ситуаци-
ей, когда необходимо изменить условия финансового соглашения, предусматри-
вающего выплату аннуитетов. Другими словами, необходимо
конвертировать
ренту. При этом возникают различные задачи. В простейшем случае измене-
ние условий ренты сводится к замене ренты единовременным платежом или
наоборот заменой единовременного платежа рентой.
В более сложных задачах рента с одним набором условий заменяется рен-
той с другим набором условий.
Рассмотрим простейшие случаи.
Выкуп ренты
осуществляется тогда, когда распределенные во времени пла-
тежи (взнос, отчисления и т.п.) требуется заменить единовременным платежом.
Из принципа финансовой эквивалентности не трудно понять, что при подобного
рода замене вместо ренты выплачивается современная (приведенная) ее вели-
чина
A
=
Ra
n
;
i
,
(6.65)
где
R
– член ренты,
a
n
;
i
– коэффициент приведения ренты.
Рассрочка платежей
. Частный случай конверсии – замена единовремен-
ного платежа аннуитетом. Например, в коммерческом кредите плата за отгру-
6.6. Конверсия аннуитетов
77
женную продукцию, как правило, распределяется во времени. Такую рассрочку
удобно осуществлять в виде аннуитета. Чтобы в этом случае не нарушить прин-
цип финансовой эквивалентности нужно
современную величину ренты
прирав-
нять величине заменяемого платежа. Поскольку современная величина этой
ренты известна (задана), то задача, возникающая при рассрочке платежа, за-
ключается в определении члена ренты или числа членов ренты (срока). Эти
задачи обсуждались ранее.
R
=
A
a
n
;
i
,
(6.66)
n
=
−
ln
1
−
A
R
i
!
ln (1 +
i
)
,
(6.67)
где
n
получается из
A
=
R
1
−
(1 +
i
)
−
n
i
.
Пример 6.2.
Цена партии продукции
Р
1000000 уплачивается в рассрочку в
течение 3 лет. Кредит предоставляется из 10% годовых. Платежи производятся
по полугодиям, т.е. рассрочка предполагает замену платежа рентой с парамет-
рами
A
= 1000000
,
p
= 2
,
m
= 1
,
i
= 0
,
1
,
n
= 3
. Покупателю предоставляется
отсрочка на три месяца, но проценты за время отсрочки начисляются. Найти
R
при
t
= 3
мес,
k
= 12
мес.
За льготный период сумма возрастет:
A
3
=
A
(1 +
i
)
t/k
= 1000000(1 + 0
,
1)
3
/
12
= 1024110
руб.
Эта сумма будет погашена рентой с членом, рассчитываемым следующим
образом
a
(
p
)
n
;
i
=
1
−
(1 +
i
)
−
n
P
h
(1 +
i
)
1
/p
−
1
i
R
=
A
3
a
(
p
)
n
;
i
=
1024110
1
−
(1 + 0
,
1)
−
3
2
h
(1 + 0
,
1)
1
/
2
−
1
i
= 401999
руб.