ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1766
Скачиваний: 15
68
Глава 6. Финансовые ренты
Очевидно, что полученные величины (записанные в обратном порядке)
представляют собой возрастающую геометрическую прогрессию с первым чле-
ном
R/p
, знаменателем
(1 +
j/m
)
m/p
и числом членов
np
. Сумма членов этой
последовательности равна
S
=
R
p
×
(1 +
j/m
)
m/p
×
np
−
1
(1 +
j/m
)
m/p
−
1
=
R
×
1
p
×
(1 +
j/m
)
mn
−
1
(1 +
j/m
)
m/p
−
1
.
(6.18)
Разделим числитель и знаменатель на
j/m
S
=
R
p
×
(1 +
j/m
)
mn
−
1
j/m
×
j/m
(1 +
j/m
)
m/p
−
1
.
(6.19)
В итоге можно записать
S
=
R
p
×
S
mn
;
j/m
S
m/p
;
j/m
,
(6.20)
следовательно, можно использовать табличные значения коэффициентов.
6.3. Расчет современной величины ренты
Под
современной величиной потока платежей
, в том числе финансовой
ренты, будем понимать сумму всех дисконтированных членов такого потока на
определенный предшествующий момент времени. Этот показатель находит ши-
рокое практическое применение в расчетах по погашению долгосрочных займов,
оценке и сравнению различных финансовых обязательств и т.д.
Определение
современной величины
начнем с простого случая – годовой
обычной ренты, член которой равен единице, процентная ставка –
i
, проценты
начисляются в конце периода ренты, срок ренты –
n
лет.
Рента немедленная, т.е. момент оценки современной величины совпадает с
началом ренты. В этих условиях, если обозначить
V
=
1
1 +
i
, дисконтированная
величина первого платежа равна
V
, второго –
V
2
и т.д.
Дисконтированные платежи, текущие величины которых равны 1, образу-
ют ряд
V,
V
2
,
. . . ,
V
n
,
(6.21)
6.3. Расчет современной величины ренты
69
представляющий собой геометрическую прогрессию с первым членом
V
и зна-
менателем
V
.
Найдем сумму членов этой прогрессии
a
n
;
i
=
n
X
t
=1
V
t
=
V
n
V
−
V
V
−
1
=
V
(
V
n
−
1)
V
−
1
=
(
V
n
−
1)
1
−
1
/V
=
=
V
n
−
1
1
−
1
−
i
=
1
−
V
n
i
=
1
−
(1 +
i
)
−
n
i
.
(6.22)
Коэффициент приведения ренты
a
n
;
i
, зависящий от процентной ставки
i
и
числа членов ренты
n
, получен в предположении, что
R
= 1
.
Если
R
6
= 1
, то, обозначив современную величину через
A
, получаем
A
=
Ra
n
;
i
.
(6.23)
Нетрудно убедиться в том, что чем выше
i
, тем меньше значение
a
n
;
i
и тем
ниже его предельная величина. График
a
n
;
i
в зависимости от
i
и
n
имеет вид
Рис. 6.2. Зависимость коэффициента приведения ренты от
n
и
i
Для
i
= 0
a
n
;
i
=
n
– это следует из определения. Если
n
= 1
, то
a
n
;
i
=
V
– коэффициент приведения равен дисконтному множителю. В отличие
от коэффициента наращения ренты, который при увеличении
n
теоретически
не имеет предела, коэффициент приведения ренты имеет предел
a
∞
;
i
=
lim
n
→∞
(1
−
(1 +
i
)
−
n
)
i
=
1
i
.
(6.24)
70
Глава 6. Финансовые ренты
Для случая годовой ренты с начислением процентов
m
раз в году легко
модифицируется формула
A
=
R
1
−
(1 +
i
)
−
n
i
,
(6.25)
для чего числитель заменяется выражением, которое получается из множите-
ля наращения по номинальной ставке
(1 +
j/m
)
nm
, а знаменатель заменяется
выражением, определяющим эффективную ставку
i
через номинальную
j
i
= (1 +
j/m
)
m
−
1
.
(6.26)
Результатом этих замен является выражение
A
=
R
1
−
(1 +
j/m
)
−
mn
(1 +
j/m
)
m
−
1
.
(6.27)
Если умножить и разделить правую часть этой формулы на
j/m
, то можно
записать
A
=
R
1
−
(1 +
j/m
)
−
mn
j/m
×
j/m
(1 +
j/m
)
m
−
1
.
(6.28)
Первый сомножитель – это коэффициент приведения ренты
a
n
;
j/m
со став-
кой
j/m
, а второй сомножитель – обратное значение коэффициента наращения
ренты с той же ставкой процента. Поэтому для случая, когда удобно пользо-
ваться табулированными значениями
S
m
;
j/m
и
a
mn
;
j/m
можно записать формулу
приведения в виде
A
=
R
a
mn
;
j/m
S
m
;
j/m
.
(6.29)
Для ренты, платежи по которой производятся
p
раз в году, а проценты
начисляются один раз (
m
= 1
), коэффициент приведения находится так же
как это было сделано для обычной годовой ренты на основе дисконтированного
ряда при
V
= (1 +
i
)
−
1
R
p
V
1
/p
,
R
p
V
1
/p
×
2
,
. . . ,
R
p
V
n
(6.30)
6.3. Расчет современной величины ренты
71
Положив
R
= 1
получаем
a
(
p
)
n
;
i
=
1
p
pn
X
t
=1
V
t/p
=
1
p
×
V
n
V
1
/p
−
V
1
/p
V
1
/p
−
1
=
1
p
×
V
1
/p
(
V
n
−
1)
V
1
/p
−
1
=
=
1
p
×
(
V
n
−
1)
1
−
1
V
1
/p
=
1
p
×
1
(1 +
i
)
n
−
1
1
−
1
1
(1 +
i
)
1
/p
=
1
p
×
1
−
(1 +
i
)
−
n
(1 +
i
)
1
/p
−
1
.
(6.31)
Таким образом, современная величина ренты рассчитывается по формуле
A
=
Ra
(
p
)
n
;
i
.
(6.32)
В случае
p
-срочной ренты с
m
-кратными (
p
6
=
m
) ежегодными начислени-
ями процентов
V
= (1 +
j/m
)
−
m
.
Дисконтированный ряд представляет собой последовательность (
R
= 1
).
1
p
V
1
/p
,
1
p
V
1
/p
×
2
,
. . . ,
1
p
V
n
.
(6.33)
a
(
p
)
mn
;
j/m
=
1
p
pn
X
t
=1
V
t/p
=
1
p
×
V
n
V
1
/p
−
V
1
/p
V
1
/p
−
1
=
1
p
×
V
1
/p
(
V
n
−
1)
V
1
/p
−
1
=
=
1
p
×
V
n
−
1
1
−
1
V
1
/p
=
1
p
×
1
(1 +
j/m
)
mn
−
1
1
−
(1 +
j/m
)
m/p
=
1
p
×
1
−
(1 +
j/m
)
−
mn
(1 +
j/m
)
m/p
−
1
.
(6.34)
Современная величина
p
-срочной ренты с
m
-кратным (
p
=
m
) ежегодным
начислением процентов является частным случаем предыдущего.
Коэффициент приведения ренты
a
(
m
)
mn
;
j/m
равен коэффициенту
a
(
p
)
mn
;
j/m
a
(
m
)
mn
;
j/m
=
1
−
(1 +
j/m
)
−
mn
j
=
a
mn
;
j/m
m
,
(6.35)
72
Глава 6. Финансовые ренты
т.к.
a
mn
;
j/m
=
1
−
(1 +
j/m
)
−
mn
j/m
.
(6.36)
6.4. Зависимость между наращенной и
современной величинами рент
Современная величина ренты представляет собой оценку приуроченного к
определенному моменту времени платежа (для немедленной ренты – к началу
срока).
Наращенная сумма также является некоторым «обобщением» ренты, при-
уроченным к концу срока. Интуитивно понятно, что между этими величинами
должна существовать определенная зависимость. Нетрудно догадаться, что ес-
ли
A
– оценка ренты на начало периода, а
S
– ее сумма с начисленными процен-
тами, то наращение процентов на сумму
A
за
n
периодов должно дать сумму,
равную
S
. Проверим это
A
(1 +
i
)
n
=
R
1
−
(1 +
i
)
−
n
i
(1 +
i
)
n
=
R
(1 +
i
)
n
−
1
i
=
S.
(6.37)
В свою очередь
SV
n
=
R
(1 +
i
)
n
−
1
i
1
(1 +
i
)
n
=
R
1
−
(1 +
i
)
−
n
i
=
A.
(6.38)
Если в равенствах
R
1
−
(1 +
i
)
−
n
i
(1 +
i
)
n
=
R
(1 +
i
)
n
−
1
i
,
(6.39)
R
(1 +
i
)
n
−
1
i
V
n
=
R
1
−
(1 +
i
)
−
n
i
(6.40)
провести сокращение на
R
, то получим
a
n
;
j
a
n
;
j
(1 +
i
)
n
=
S
n
;
j
,
(6.41)
S
n
;
j
V
n
=
a
n
;
j
.
(6.42)