ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1771
Скачиваний: 15
78
Глава 6. Финансовые ренты
Теперь решим эту задачу для случая, когда
R
= 400000
и требуется опре-
делить
n
.
n
=
ln
1
−
A
R
p
(1 +
i
)
1
/p
−
1
!
−
1
ln (1 +
i
)
.
(6.68)
Изменение условий (параметров) ренты
фактически означает замену од-
ной ренты другой. Очевидно, что замена не должна ущемлять финансовые ин-
тересы сторон. Поэтому при замене должно выполняться условие
A
1
=
A
2
, где
A
1
– современная величина первой ренты,
A
2
– современная величина второй
ренты.
Существует много различных вариантов замены.
1. Замена немедленной ренты на отсроченную.
Пусть имеется рента с параметрами
R
1
,
n
,
i
. Необходимо ее заменить на
отсроченную на
t
лет ренту. Если новая рента будет иметь продолжитель-
ность
n
2
, то нужно определить
R
2
. Если наоборот,
R
2
задается (например
R
2
=
R
1
), то определяется
n
2
.
Рассмотрим первую задачу. Пусть
n
2
=
n
1
=
n
, тогда современные величи-
ны немедленной и отсроченной рент равны
A
1
=
R
1
a
n
;
i
,
(6.69)
A
2
=
R
2
a
n
;
i
ν
t
.
(6.70)
Принимая во внимание
A
1
=
A
2
, получаем
R
1
a
n
;
i
=
R
2
a
n
;
i
ν
t
,
(6.71)
R
2
=
R
1
ν
t
=
R
1
(1 +
i
)
t
.
(6.72)
Иными словами, член отсроченной ренты при всех равных прочих услови-
ях равен наращенному члену немедленной ренты. Если рента такова, что
проценты начисляются
m
-раз в году, то член второй ренты рассчитывается
по формуле
R
2
=
R
1
ν
t
=
R
1
(1 +
i/m
)
tm
.
(6.73)
6.6. Конверсия аннуитетов
79
В общем случае, когда
n
1
6
=
n
2
имеем
R
2
=
A
1
(1 +
i
)
t
a
n
;
i
=
R
1
a
n
1
;
i
a
n
2
;
i
(1 +
i
)
t
.
(6.74)
2. Изменение продолжительности и срочности ренты.
Пусть имеется годовая обычная рента. Ее необходимо заменить рентой с
теми же условиями, но вместо
n
1
у новой ренты срок
n
2
.
R
1
a
n
1
;
i
=
R
2
a
n
2
;
i
,
(6.75)
R
2
=
R
1
a
n
1
;
i
a
n
2
;
i
=
1
−
(1 +
i
)
−
n
1
1
−
(1 +
i
)
−
n
2
.
(6.76)
Аналогичный метод применяется и при изменении числа выплат в год при
замене рент, т.е. когда рента с числом выплат
p
1
заменяется на ренту с
числом выплат
p
2
. В силу финансовой эквивалентности можем записать
R
1
a
(
p
1
)
n
;
i
=
R
2
a
(
p
2
)
n
;
i
.
(6.77)
На основе этого равенства мы можем найти либо
R
2
либо
n
2
.
Для случая, когда сроки не изменяются
n
1
=
n
2
=
n
R
2
=
R
1
a
(
p
1
)
n
1;
i
a
(
p
2
)
n
1;
i
=
R
1
p
2
(1 +
i
)
1
/p
2
−
1
p
1
(1 +
i
)
1
/p
1
−
1
.
(6.78)
В частности, для
p
1
= 1
R
2
=
R
1
p
2
(1 +
i
)
1
/p
2
−
1
i
.
(6.79)
3. Общий случай замены ренты
80
Глава 6. Финансовые ренты
В общем случае, т.е. когда изменению подлежит не одна, а несколько ха-
рактеристик ренты, исходят из равенства
A
1
=
R
2
(1
−
(1 +
j
2
/m
2
))
−
m
2
n
2
p
2
1 + (1 +
j
2
/m
2
)
m
2
/p
2
−
1
,
(6.80)
где
A
1
– современная величина заменяемой ренты.
Если это равенство будет соблюдено при замене рент, но действительная
ставка процента изменится, то финансовые отношения сторон также изме-
нятся. Поэтому в полном смысле эквивалентность рент будет точно в том
случае, если
(1 +
j
1
/m
1
)
m
1
= (1 +
j
2
/m
2
)
m
2
.
(6.81)
Возможны случаи, когда при замене рент стороны идут на изменение дей-
ствительной или эффективной ставки процентов. Тогда финансовая эквива-
лентность рент будет определяться равенством (6.80), из которого следует,
что член такой ренты равен
R
2
=
A
1
:
(1
−
(1 +
j
2
/m
2
))
−
m
2
n
2
p
2
1 + (1 +
j
2
/m
2
)
m
2
/p
2
−
1
.
(6.82)
Особым случаем замены рент является
объединение (консолидация)
несколь-
ких рент в одну. Из принципа финансовой эквивалентности следует
A
=
X
k
A
k
,
(6.83)
где
A
– современная величина замещенной ренты;
A
k
– современная величина
k
-ой ренты.
При объединении рент могут встретиться самые различные постановки за-
дач. Основными среди них являются определение члена заменяющей ренты и
определение продолжительности заменяющей ренты.
Рассмотрим определение члена заменяющей ренты. При современной ве-
личине заменяющей ренты
Ra
n
;
i
, член заменяющей ренты находится как
R
=
P
A
k
a
n
;
i
.
(6.84)
6.6. Конверсия аннуитетов
81
Рассмотрим частный случай подобной замены. Пусть заменяемые ренты
различаются между собой членами ренты и продолжительностью. И пусть все
консолидируемые ренты годовые с начислением процентов в конце года. Тогда
из (6.84) следует
R
=
1
a
n
;
i
X
R
k
a
n
k
;
i
k
,
(6.85)
где
n
k
– продолжительность
k
-ой ренты,
i
k
- процентная ставка
k
-ой ренты.
Ниже рассмотрим задачу определения сроков ренты или ее членов. Беря
за основу (6.84), находим
a
n
;
i
=
P
A
k
R
.
(6.86)
Для других типов рент можно получить аналогичное соотношение:
a
mn
;
j/m
=
P
A
k
R
.
(6.87)
Чтобы определить, например
n
, нужно записать справа выражение для
a
n
;
i
.
Рассмотрим ситуацию с известными
R
и
i
и неизвестным
n
.
В самом простом случае
p
=
m
= 1
из (6.84) получаем
1
−
(1 +
i
)
−
n
i
=
P
R
k
a
n
k
;
i
k
n
.
(6.88)
Рассмотрим несколько частных случаев.
Пусть число объединенных рент равно
q
и члены ренты одинаковы. Тогда
R
=
qR
k
(6.89)
1
−
(1 +
i
)
−
n
i
=
R
k
P
a
n
k
;
i
k
qR
k
=
1
q
X
1
−
(1 +
i
)
−
n
k
i
k
(6.90)
Откуда
−
(1 +
i
)
−
n
=
i
q
X
1
−
(1 +
i
)
−
n
k
i
k
−
1
,
(6.91)
82
Глава 6. Финансовые ренты
(1 +
i
)
−
n
= 1
−
i
q
X
1
−
(1 +
i
k
)
−
n
k
i
k
(6.92)
n
=
−
ln
1
−
i
q
P
1
−
(1 +
i
k
)
−
n
k
i
k
!
ln (1 +
i
)
.
(6.93)
Допустим тогда, что
i
1
=
i
2
=
· · ·
=
i
q
=
i
, тогда выражение (6.89)
упрощается до
(1 +
i
)
−
n
=
1
q
X
(1 +
i
)
−
n
k
.
(6.94)
Откуда
n
=
ln
q
−
ln
P
(1 +
i
)
−
n
k
ln (1 +
i
)
.
(6.95)
Обратимся теперь к случаю, когда
R
=
P
R
k
, но
R
1
6
=
R
2
6
=
R
3
и
n
1
6
=
n
2
6
=
n
3
. Для всех рент единая ставка
i
.
Вернемся к соотношению (6.84), которое после упрощений примет вид:
(1 +
i
)
−
n
=
P
R
k
(1 +
i
)
−
n
k
R
.
(6.96)
Решив его относительно
n
, получаем
n
=
ln
R
−
ln
P
R
k
(1 +
i
)
−
n
k
ln (1 +
i
)
.
(6.97)
Задания для самоконтроля
Задача 6.1.
В течение 5 лет на банковский депозит ежедневно будут посту-
пать одинаковые платежи, каждый год составляя в сумме
Р
11000. Определите
сумму, накопленную к концу пятого года при использовании процентной ставки
15% годовых, если начисление сложных процентов осуществляется; а) ежегод-
но; б) ежеквартально; в) ежемесячно.
Задача 6.2.
Фирма намеревается выпускать некоторую продукцию в тече-
ние четырех лет, получая ежегодно выручку в размере
Р
4500000. Предполага-
ется, что в течение года продукция будет сбываться более или менее равномер-
но. Оцените ожидаемые денежные поступления, если применяется непрерывная
ставка 20% годовых.