ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1772
Скачиваний: 15
8
Замена и консолидация платежей
8.1. Замена платежей при простых ставках
На практике постоянно возникают ситуации необходимости изменения усло-
вий ранее заключенного финансового соглашения, в т.ч. и платежей. Напри-
мер, изменение сроков платежей (обычно на более отдаленные, а иногда и в
сторону уменьшения, т.е. досрочное погашение задолженности), объединение
нескольких платежей в один (консолидация платежей) с установлением срока
его погашения. В результате любых таких изменений ни один из участников не
должен понести потери. В таких ситуациях необходимым становится принцип
финансовой эквивалентности, который устанавливает неизменность финансо-
вых отношений участников до и после изменения финансового соглашения.
На практике при изменении условий выплат денежных сумм принцип фи-
нансовой эквивалентности реализуется путем составления уравнения эквива-
лентности, согласно которому сумма заменяемых платежей, приведенных к од-
ному моменту времени, приравнивается к сумме платежей по новому соглаше-
нию, приведенных к тому же моменту времени. Эквивалентными считаются
такие платежи, которые, будучи приведенными по одной и той же процентной
ставке к одному моменту времени, оказываются равными. Приведение разно-
временно выплачиваемых денежных сумм осуществляется путем их дисконти-
рования, т.е. приведения к более ранней дате, или путем их наращения, если
эта дата относится к будущему. Если при конверсии платежей принцип финан-
совой эквивалентности не соблюдается, то одна из участвующих в сделке сто-
рон терпит ущерб, размер которого можно заранее определить. На принципе
финансовой эквивалентности основывается также сравнение разновременных
платежей.
94
Глава 8. Замена и консолидация платежей
Для краткосрочных контрактов процесс приведения, как правило, осуществ-
ляется на основе простых ставок. Для каждой конкретной ситуации получается
свое уравнение эквивалентности, а в некоторых простых случаях можно обой-
тись и без него.
Формула для вычисления величины нового платежа при использовании
простой процентной ставки имеет вид
P
0
=
P
1
(1 + (
n
0
−
n
1
)
i
)
,
если
n
0
> n
1
;
P
1
,
если
n
0
=
n
1
;
P
1
(1 + (
n
1
−
n
0
)
i
)
−
1
,
если
n
0
< n
1
.
(8.1)
Формулы для вычисления срока нового платежа при использовании про-
стой процентной ставки имеет вид
n
0
=
n
1
+
1
i
P
0
P
1
−
1
,
если
P
0
> P
1
;
n
1
,
если
P
0
=
P
1
;
n
1
−
1
i
P
1
P
0
−
1
,
если
P
0
< P
1
.
(8.2)
Формулы определения срока консолидированного платежа при использо-
вании простой процентной ставки имеет вид
n
K
=
1
i
P
K
P
k
t
=1
P
t
1 +
in
t
−
1
,
(8.3)
где
P
1
,
P
2
,
. . .
P
k
– платежи, осуществляемые в моменты
n
1
,
n
2
,
. . .
n
k
;
n
K
– срок консолидированного платежа.
Формула для вычисления величины нового платежа при использовании
простой учетной ставки имеет вид
P
0
=
P
1
(1
−
(
n
0
−
n
1
)
d
)
−
1
,
если
n
0
> n
1
;
P
1
,
если
n
0
=
n
1
;
P
1
(1
−
(
n
1
−
n
0
)
d
)
,
если
n
0
< n
1
.
(8.4)
8.2. Замена платежей при сложных ставках
95
Формулы для вычисления срока нового платежа при использовании про-
стой учетной ставки имеет вид
n
0
=
n
1
+
1
d
1
−
P
0
P
1
,
если
P
0
> P
1
;
n
1
,
если
P
0
=
P
1
;
n
1
−
1
d
1
−
P
1
P
0
,
если
P
0
< P
1
.
(8.5)
Формулы определения срока консолидированного платежа при использо-
вании простой учетной ставки имеет вид
n
K
=
1
d
1
−
P
k
t
=1
P
t
1
−
dn
t
P
K
.
(8.6)
Два контракта считаются эквивалентными, если приведенные стоимости
потоков платежей по этим контрактам одинаковы. Однако при использовании
приведенных значений платежей, осуществленных на основе простых ставок,
необходимо согласовать дату (ее называют базовой), на которую производят
приведение, ведь от изменения базовой даты в случае простых процентов меня-
ются (иногда в меньшей, а иногда в большей степени) значения новых искомых
характеристик.
8.2. Замена платежей при сложных ставках
При любой замене платежей в условиях использования сложных процентов
должен выполняться принцип финансовой эквивалентности, соблюдение кото-
рого обосновывается составлением соответствующего уравнения эквивалентно-
сти. Согласно этому уравнению сумма заменяемых платежей, приведенных к
одному моменту времени, приравнивается к сумме платежей по новому согла-
шению, приведенных к тому же моменту времени.
В отличие от случая простых процентов при использовании сложных про-
центов расчет приведенных стоимостей можно осуществлять на любой момент
времени. От изменения момента приведения в случае сложных процентов зна-
чения новых искомых характеристик не меняются.
96
Глава 8. Замена и консолидация платежей
Формулы для вычисления величины нового платежа при использовании
сложных ставок имеет вид
P
0
=
P
1
(1 +
j/m
)
m
(
n
0
−
n
1
)
,
(8.7)
P
0
=
P
1
(1
−
f /m
)
−
m
(
n
0
−
n
1
)
,
(8.8)
P
0
=
P
1
exp(
δ
)
n
0
−
n
1
,
(8.9)
где
P
1
и
n
1
– первоначальный платеж и срок его выплаты;
n
0
– срок нового
платежа.
Используя те же обозначения, вычислим срок нового платежа, который при
использовании сложных ставок имеет вид
n
0
=
n
1
+
ln
P
0
−
ln
P
1
ln(1 +
j/m
)
m
(8.10)
n
0
=
n
1
+
ln
P
0
−
ln
P
1
ln(1
−
f /m
)
−
m
(8.11)
n
0
=
n
1
+
ln
P
0
−
ln
P
1
δ
.
(8.12)
При консолидации (объединении) платежей (в случаях и сложных, и про-
стых процентов) возникают две задачи: либо определение величины консоли-
дированного платежа при известном сроке, когда этот платеж должен быть
сделан, либо определение срока известного консолидированного платежа.
Формула для определения величины консолидированного платежа при ис-
пользовании сложных ставок имеет вид
P
K
=
k
X
t
=1
P
t
(1 +
j/m
)
m
(
n
K
−
n
t
)
,
(8.13)
P
K
=
k
X
t
=1
P
t
(1
−
f /m
)
−
m
(
n
K
−
n
t
)
,
(8.14)
P
K
=
k
X
t
=1
P
t
exp(
δ
)
n
K
−
n
t
,
(8.15)
где
P
1
,
P
2
,
. . .
P
k
– платежи, осуществляемые в моменты
n
1
,
n
2
,
. . .
n
k
;
n
K
– срок консолидированного платежа.
Задания для самоконтроля
97
Формулы определения срока консолидированного платежа при использо-
вании сложных ставок имеют вид
n
K
=
n
1
+
ln
P
K
−
P
k
t
=1
ln
P
t
ln(1 +
j/m
)
m
(8.16)
n
K
=
n
1
+
ln
P
K
−
P
k
t
=1
ln
P
t
ln(1
−
f /m
)
−
m
(8.17)
n
K
=
n
1
+
ln
P
K
−
P
k
t
=1
ln
P
t
δ
.
(8.18)
Задания для самоконтроля
Задача 8.1.
Платежи в
Р
75000,
Р
55000,
Р
210000 и
Р
65000 должны быть
погашены соответственно через 60, 150, 180 и 200 дней. Кредитор и должник
согласились заменить четыре платежа одним через 140 дней. Найдите величи-
ну консолидированного платежа, если используется простая процентная ставка
14% годовых и в расчет принимаются обыкновенные проценты. Принимая за
дату приведения момент выплаты консолидированного платежа.
Задача 8.2.
Физическое лицо получило в банке кредит на сумму
Р
150000
под 20% годовых. В соответствии с финансовым контрактом клиент обязал-
ся погасить кредит тремя платежами с процентами:
Р
60000,
Р
20000 и
Р
40000
соответственно через 90, 120 и 180 дней. Однако через некоторое время по обо-
юдному согласию сторон было решено погасить кредит одним платежом через
150 дней. Найдите величину консолидированного платежа, если начисляются
простые обыкновенные проценты. За дату приведения принять момент выпла-
ты консолидированного платежа.
Задача 8.3.
Платежи в
Р
15000 и
Р
17000 должны быть погашены соответ-
ственно через 60 и 105 дней. Кредитор и должник согласились заменить два
платежа одним в размере
Р
21500. Найдите срок оплаты консолидированного
платежа при простой процентной ставке 32% годовых и начислении обыкно-
венных процентов. Для сравнения платежей в качестве даты приведения вы-
брать день, от которого отмеряются все сроки. Как изменится результат, если
в качестве даты приведения выбрать день уплаты платежа в
Р
17000?
Задача 8.4.
Платежи в
Р
12000,
Р
36000 и
Р
27000 должны быть внесены
через соответственно 80, 150 и 210 дней. Было достигнуто соглашение заменить
три платежа одним, равным их сумме. Определите срок уплаты консолидиро-