ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1767
Скачиваний: 15
118
Глава 10. Облигационные вычисления
где
P
– цена облигации;
dP
– изменение цены облигации;
dY T M
– изменение до-
ходности до погашения;
Y T M
– доходность до погашения;
C
– купонный доход;
N
– номинал облигации;
T
– число лет до погашения облигации.
С помощью этого уравнения можно приблизительно определить измене-
ние цены облигации при малом изменении доходности до погашения, для чего
разделим обе части уравнения (10.13) на
P
dP
dY T M
×
P
−
1
=
−
1
1 +
Y T M
T
X
i
=1
C
×
t
(1 +
Y T M
)
t
+
T
×
N
(1 +
Y T M
)
T
!
P
−
1
.
(10.14)
Величину
T
X
i
=1
C
×
t
(1 +
Y T M
)
t
+
T
×
N
(1 +
Y T M
)
T
!
P
−
1
в правой части уравнения (10.14) называют дюрацией Ф. Маколея [39]. При-
нято, что дюрация характеризует «средний срок погашения» всего потока де-
нежных выплат, генерируемых облигацией. Ф. Маколей определял дюрацию
как «средний взвешенный срок погашения денежных потоков облигации, где
«весами» служат приведенные стоимости этих потоков денег» [39].
Обозначим ее через
D
. Дюрация представляет собой эластичность цены об-
лигации по доходности до погашения и поэтому служит мерой риска изменения
цены облигации при изменении доходности до погашения. Другими словами
dP
P
d
(1 +
Y T M
)
(1 +
Y T M
)
=
−
D.
(10.15)
Левая часть уравнения (10.15) – это эластичность цены облигации относи-
тельно доходности до погашения (или более точно, относительно
(1 +
Y T M
)
).
Как видно из уравнения (10.15), чем меньше величина дюрации, тем в мень-
шей степени цена облигации будет реагировать на изменение процентной ставки
и наоборот. Перед дюрацией стоит знак минус, потому как доходность до пога-
шения и цена облигации изменяются в противоположном направлении.
Таким образом, дюрация облигации приблизительно говорит о том,
на сколь-
ко процентов изменится цена облигации при изменении ее доходности на
небольшой процент
. Показатель дюрации можно использовать не только в от-
ношении облигаций, а также активов, предполагающих известные суммы вы-
плат.
10.2. Дюрация облигации
119
Дюрация определяется в купонных периодах. Если купоны выплачиваются
1 раз в год, то величина дюрации равна количеству лет.
Пример 10.1.
Номинал облигации
Р
1000, купон 15% и выплачивается один
раз в год, до погашения остается 3 года, доходность до погашения 15%. Цена
облигации равна
Р
1000. Определите дюрацию облигации.
D
=
1
×
150
1 + 0
,
15
+
2
×
150
(1 + 0
,
15)
2
+
3
×
150
(1 + 0
,
15)
3
+
3
×
1000
(1 + 0
,
15)
3
1
1000
= 2
,
63
года
.
Величину
1
1 +
Y T M
n
X
i
=1
t
×
C
(1 +
Y T M
)
t
+
T
×
N
(1 +
Y T M
)
n
!
P
−
1
(10.16)
называют модифицированной дюрацией и обозначают через
D
m
.
Модифицированная дюрация говорит о том, на сколько процентов изме-
нится цена облигации при изменении доходности до погашения:
dP
dY T M
=
−
D
m
dY T M.
(10.17)
Модифицированная дюрация измеряется в купонных периодах. Если ку-
поны выплачиваются один раз в год, то значение модифицированной дюрации
означает количество лет.
Выражение
−
D
m
P
называют дюрацией в денежном выражении.
Преобразование
dP
=
−
D
m
P dY T M
(10.18)
позволяет определить изменение цены облигации при изменении доходности до
погашения на небольшую величину. Модифицированная дюрация дает более
точные результаты в случае относительно краткосрочных облигаций с высо-
кими ставками купонной доходности, нежели для долгосрочных облигаций с
низкими ставками купонной доходности [2].
Пример 10.2.
Рассчитайте модифицированную дюрацию для облигации с
15%-м ежегодным купоном, если дюрация Маколея равна 2,63 года.
D
m
=
2
,
63
1 + 0
,
15
= 2
,
28
года
.
120
Глава 10. Облигационные вычисления
Свойства дюрации [5]:
•
D
бескупонных облигаций всегда равна их сроку погашения;
•
D
купонных облигаций всегда ниже их срока погашения
T
. При прочих
равных условиях с повышением
T
различие между
D
и
T
возрастает;
•
для одного и того же срока погашения
D
облигации будет тем ниже, чем
выше величина купонных выплат (и наоборот), за исключением случаев
при высоких значениях
Y T M
и значительном
T
;
•
D
возрастает с увеличением ее срока погашения
T
при прочих равных усло-
виях, за исключением случаев при высоких значениях
Y T M
и значитель-
ном
T
;
•
чем ниже величина
Y T M
, тем выше значение
D
.
Дюрация представляет собой угол наклона касательной к графику цены
облигации (см. рис. 10.1). Дюрация дает приемлемую оценку изменения цены
облигации при небольшом изменении доходности до погашения, так как гра-
фик цены облигации имеет вогнутую форму. Так, при падении доходности с
Y T M
до
Y T M
1
цена облигации вырастет на величину
P
1
1
−
P
, дюрация же
даст оценку увеличения только на величину
(
P
1
−
P
)
. При росте доходности
до погашения с
Y T M
до
Y T M
2
цена облигации понизится только на величину
(
P
−
P
2
)
. Дюрация даст более значительную оценку изменения цены на вели-
чину
P
−
P
1
2
.
Рис. 10.1. Графическое представление дюрации
10.3. Изгиб облигации
121
10.3. Изгиб облигации
Для более точной оценки изменения цены облигации следует учесть такой
показатель как изгиб (convexity,
CV
).
Изгиб (выпуклость) – ценовая изменчивость облигации, необусловленная
модифицированной дюрацией. Выпуклость является более чувствительным по-
казателем связи между ценой облигации и процентными ставками, чем дюра-
ция.
Разложив изменение цены облигации с помощью ряда Тейлора и взяв два
первых слагаемых данного ряда, представим изменение цены облигации в виде:
dP
=
dP
dY T M
dY T M
+
1
2
d
2
P
dY T M
2
(
dY T M
)
2
,
(10.19)
где
d
2
P
dY T M
2
– вторая производная для формулы цены облигации.
Тогда изгиб равен:
CV
=
1
2
d
2
P
dY T M
2
1
P
,
(10.20)
CV
=
1
2
T
X
t
=1
t
(
t
+ 1)
C
(1 +
Y T M
)
t
+2
T
(
T
+ 1)
N
(1 +
Y T M
)
T
+2
!
1
P
,
(10.21)
Процентное изменение цены облигации с помощью изгиба определим как:
dP
P
=
CV
(
dY T M
)
2
.
(10.22)
Пример 10.3.
Номинал облигации
Р
1000, купон 15% и выплачивается один
раз в год, до погашения остается 3 года, доходность до погашения 15%. Опре-
делите процентное изменение цены облигации при росте и падении доходности
до погашения на 3%.
Ранее было определено, что
D
m
= 2
,
28
. Вычислим изгиб
CV
=
1
2
2
×
150
(1 + 0
,
15)
3
+
6
×
150
(1 + 0
,
15)
4
+
12
×
150
(1 + 0
,
15)
5
+
12
×
1000
(1 + 0
,
15)
5
1
1000
= 3
,
79
.
122
Глава 10. Облигационные вычисления
В случае роста доходности до погашения на 3% цена изменится на
dP
P
=
−
2
,
28
×
0
,
03 + 3
,
79
×
(0
,
03)
2
= 6
,
5%
,
а в случае снижения – изменится на
dP
P
=
−
2
,
28
×
(
−
0
,
03) + 3
,
79
×
(
−
0
,
03)
2
= 7
,
2%
.
Свойства изгиба:
•
CV
находится в обратной зависимости с
Y T M
;
•
при равных
Y T M
и времени погашения облигации с меньшим
C
имеют
более высокий
CV
;
•
при равных
Y T M
и
D
m
облигации с меньшим
C
имеют меньший
CV
;
•
изгиб растет быстрее, чем дюрация.
Изгиб, как и дюрация, определяется в купонных периодах. Если купон
выплачивается один раз в год, то результат изгиба получается в годах. С учетом
модифицированной дюрации и изгиба можно определить процентное изменение
цены облигации. Рассматриваемые совместно показатели модифицированной
дюрации и изгиба составляют мультипликатор ценовой неустойчивости, при
помощи которого можно более точно представить в линейном виде нелинейную
зависимость между ценой и доходностью облигации:
dP
P
=
−
D
m
dY T M
+
CV
(
dY T M
)
2
.
(10.23)
Таким образом, использование модифицированной дюрации и изгиба поз-
воляют довольно точно определить процентное изменение цены облигации при
существенном изменении доходности до погашения.
Величина изгиба возрастает в большей степени, чем дюрация. Изгиб – один
из важных инвестиционных качеств облигации, особенно в условиях нестабиль-
ности процентных ставок. Он говорит о величине кривизны графика цены об-
лигации, что наглядно представлено на рис. 10.2.
Облигации А и В имеют одинаковую дюрацию, но величина изгиба облига-
ции В больше чем облигации А. Это свидетельствует о том, что при падении до-
ходности цена облигации В вырастет в большей степени, чем облигации А. При