ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1762
Скачиваний: 15
128
Глава 10. Облигационные вычисления
Задача 10.42.
Номинал облигации
Р
1000, цена
Р
1066,24, купон 10%, вы-
плачивается один раз в год. До погашения облигации 4 года, доходность до
погашения 8%. Определить кривизну облигации.
Задача 10.43.
Номинал облигации
Р
1000, купон 10%, выплачивается один
раз в год. До погашения облигации 6 лет, доходность до погашения 10%. Опре-
делить кривизну облигации.
Задача 10.44.
Номинал облигации
Р
1000, купон 10%, выплачивается один
раз в год, до погашения бумаги 4 года, доходность до погашения 10%, модифи-
цированная дюрация 3,1699, кривизна 13,723. Определить процентное измене-
ние цены облигации при: а) росте доходности до погашения на 1%; б) снижении
доходности до погашения на 1%.
Задача 10.45.
Номинал облигации
Р
1000, цена
Р
1075,82, купон 12%. вы-
плачивается один раз в год. До погашения облигации 5 лет, доходность до по-
гашения 10%, модифицированная дюрация 3,704, кривизна 18,74. Определить
изменение цены облигации при: а) росте доходности до погашения на 0,1%;
б) снижении доходности до погашения на 0,1%.
11
Основные подходы к моделированию
портфельных решений
11.1. Модель портфеля Г. Марковица
Формальное изложение основных положений теории портфельного инве-
стирования начнем с введения обозначений. Пусть
n
активов (акций, облигаций,
валютных единиц, всевозможных комбинаций активов) обращаются на финан-
совом рынке. Рыночную стоимость
i
-го актива в момент времени
t
будем обо-
значать
P
ti
, а величину денежного потока (дивиденды, купонные выплаты и
т.п.), связанного с этим активом в тот же самый момент времени –
D
ti
. Тогда,
используя введенные обозначения, можно записать выражение для расчета до-
ходности
i
-го актива за единичный период следующим образом:
r
ti
=
P
ti
−
P
t
−
1
i
+
D
ti
P
t
−
1
i
(11.1)
Доходность представляет собой ту характеристику, которая на финансо-
вом рынке больше всего интересует инвесторов. Она является случайной ве-
личиной. Для строгого математического описания ее поведения обычно вводят
фильтрованное вероятностное пространство
(Ω
,
I
,
F
= (
I
t
)
,
P
)
, где
Ω
– множе-
ство элементарных исходов на финансовом рынке;
I
– доступная информация
(произошедшие события);
F
– информационный поток, порождаемый инфор-
мацией
I
t
;
P
– вероятности на множестве событий. На формальном уровне до-
ходность актива в каждый момент времени описывается случайной величиной
r
ti
как функцией от
ω
t
∈
Ω
, т.е.
r
ti
=
r
i
(
ω
t
)
.
130
Глава 11. Основные подходы к моделированию портфельных решений
Известно, что в качестве данных для решения оптимизационной задачи
нельзя использовать случайные величины. Чтобы избежать нежелательной си-
туации при построении модели, переходят к их числовым характеристикам. В
непрерывном случае математическое ожидание случайной величины
r
i
(
ω
)
за-
писывается следующим образом:
m
i
=
E
(
r
i
) =
Z
Ω
r
i
(
ω
)
d
P
,
(11.2)
в дискретном случае вместо интегрирования осуществляется суммирование
m
i
=
E
(
r
i
) =
X
ω
∈
Ω
r
i
(
ω
)
p
(
ω
)
,
(11.3)
где
p
(
ω
)
– вероятность элементарного исхода.
Аналогично определяются дисперсия и ковариация
σ
2
i
=
D
(
r
i
) =
E
(
r
i
−
m
i
)
2
,
(11.4)
σ
ij
=
E
(
r
i
−
m
i
) (
r
j
−
m
j
)
.
(11.5)
В реальных расчетах обычно используются выборочные оценки, построен-
ные на основе исторических значений доходностей
r
ti
,
t
= 1
, . . . , T
m
i
=
1
T
T
X
t
=1
r
ti
,
(11.6)
σ
2
i
=
1
T
−
1
T
X
t
=1
(
r
ti
−
m
i
)
2
,
(11.7)
σ
ij
=
1
T
−
1
T
X
t
=1
(
r
ti
−
m
i
) (
r
tj
−
m
j
)
.
(11.8)
В однопериодной модели Г. Марковица инвестор в момент времени
T
фор-
мирует портфель
w
w
∈
W
=
(
w
= (
w
1
, w
2
, . . . , w
n
) :
n
X
i
=1
w
i
= 1
)
,
(11.9)
11.1. Модель портфеля Г. Марковица
131
где
w
i
– доля капитала инвестора, размещенная в
i
-м активе;
W
– достижимое
множество портфелей, которые можно сформировать из
n
активов.
Любой портфель из достижимого множества можно описать в соответствии
с подходом Г. Марковица двумя показателями: математическим ожиданием и
дисперсией, отражающих надежды и опасения инвесторов.
Математическое ожидание портфеля определяется выражением
m
w
=
E
n
X
i
=1
w
i
r
i
!
=
n
X
i
=1
w
i
E
(
r
i
) =
n
X
i
=1
w
i
m
i
(11.10)
и представляет собой ожидаемую в среднем доходность портфеля.
Дисперсия портфеля может быть представлена выражением
σ
2
w
=
D
n
X
i
=1
w
i
r
i
!
=
n
X
i
=1
n
X
j
=1
w
i
w
j
σ
ij
.
(11.11)
Эти выражения более удобны и компактны в матричной форме
m
w
=
w
0
m
,
(11.12)
σ
2
w
=
w
0
Σw
,
(11.13)
где
w
0
= (
w
1
, w
2
, ..., w
n
)
;
m
0
= (
m
1
, m
2
, ..., m
n
)
;
Σ
– ковариационная матрица
доходностей, элементы которой определяются в соответствии с (11.8).
С математической точки зрения стремление инвесторов сформировать порт-
фели, обеспечивающие им высокую доходность с достаточно низким уровнем
риска – нереально. Получить портфель, который обеспечивал бы достижение
максимальной доходности и минимального риска, как известно, невозможно.
Поэтому в задачах формирования портфеля предусматривают оптимизацию
одного из показателей при фиксированном уровне второго. Либо комбиниру-
ют эти критерии, строя на их основе целевую функцию в виде свертки этих
критериев, сводя тем самым многокритериальную (в данном случае двухкри-
териальную) задачу к однокритериальной.
Обобщая выше изложенное, можно рассматривать следующие варианты
моделей, обеспечивающих получение оптимальных портфелей:
132
Глава 11. Основные подходы к моделированию портфельных решений
1. Минимизация риска при заданном уровне ожидаемой доходности
σ
2
w
→
min;
m
w
=
µ.
2. Максимизация ожидаемой доходности при заданном уровне риска
m
w
→
max;
σ
2
w
=
σ.
3. Максимизация специально построенной функции полезности
U
(
m
w
, σ
w
)
→
max
.
4. Максимизация функции полезности с ограничениями
U
(
m
w
, σ
w
)
→
max;
Aw
≤
b
.
Во всех рассмотренных вариантах предполагалось, что сумма элементов
вектора структуры портфеля равна единице. Это условие далее мы будем за-
писывать в компактной форме
w
0
i
= 1
, где
i
– единичный вектор.
Принято считать, что в портфеле
w
∗
, который является решением любой
из выше приведенных задач оптимизации, отражено предпочтение инвестора
относительно ожидаемой доходности и уровня риска. Такие портфели принято
называть эффективными.
Множество эффективных (оптимальных) портфелей, каждый из которых
обеспечивает либо максимальную ожидаемую доходность среди портфелей до-
стижимого множества с одинаковым уровнем риска (дисперсии)
W
∗
=
w
∗
∈
W
:
m
w
∗
= max
m
w
:
w
∈
W
, σ
2
w
∗
=
σ
,
либо минимальный риск среди портфелей достижимого множества с одинако-
вым значением ожидаемой доходности, которая не меньше доходности портфе-