ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1758
Скачиваний: 15
11.1. Модель портфеля Г. Марковица
133
ля, обладающего среди всех портфелей самым маленьким риском,
W
∗
=
w
∗
∈
W
:
σ
w
∗
= min
σ
2
w
:
w
∈
W
, m
w
∗
=
µ, m
w
≥
m
min
,
называется эффективным множеством e.g. [21].
Графически эффективное множество представляет собой часть ветви па-
раболы (см. рис. 11.1), каждая точка которой является вариантом возможного
выбора какого-либо инвестора, максимизирующего доходность на каждую еди-
ницу риска.
Рис. 11.1. Фрагмент достижимого множества портфелей
Эффективное множество удобно использовать для описания возможностей
инвесторов. Инвестора мало интересует структура портфеля, ему интересен ре-
зультат инвестирования. В связи с этим формирование портфеля удобно на-
чинать с изучения инвестиционных возможностей, обусловленных не только
структурой портфеля, но и его составом. Именно поэтому, вопрос, связанный с
определением состава портфеля, не снимается.
Первоначальный отбор активов для включения их в портфель является
важной и в то же время самостоятельной задачей, которая, к сожалению, не
имеет строго формализованного решения и зачастую решается на эвристиче-
ском уровне.
Из
гипотез эффективного рынка
следует рекомендация, в соответствии
с которой структура портфеля инвестора должна быть идентична рыночно-
му портфелю. При решении практических задач эта рекомендация в полном
134
Глава 11. Основные подходы к моделированию портфельных решений
объеме никогда не выполняется. На практике состав конкретных портфелей
значительно уступает составу рыночного портфеля по количеству активов.
Задача формирования оптимального портфеля имеет два критерия: риск
и доходность. Получить решение, одновременно минимизирующее риск и мак-
симизирующее доходность, невозможно. При решении этой задачи необходимо
учитывать мнение инвестора, которое предусматривает либо минимизацию рис-
ка при заданном уровне доходности, либо максимизацию ожидаемой доходности
при заданном уровне риска.
Сначала рассмотрим задачу, когда требуется минимизировать риск при за-
данном уровне доходности. Запишем условие этой задачи в матричной форме,
используя для этого ранее введенные обозначения.
w
0
Σw
→
min
,
(
w
0
m
=
µ,
w
0
i
= 1
.
(11.14)
С помощью функции Лагранжа сведем задачу условной минимизации (11.14)
к задаче безусловной минимизации
L
(
w
, λ, δ
) =
w
0
Σw
−
2
λ
(
w
0
m
−
µ
)
−
2
δ
(
w
0
i
−
1)
.
(11.15)
С целью минимизации запишем для функции Лагранжа условия минимума
1-го порядка, которые получаются, если ее продифференцировать по
w,
λ
и
δ
.
После сокращения на 2 имеем систему
L
0
w
=
Σw
−
λ
m
−
δ
i
= 0
,
L
0
λ
=
w
0
m
−
µ
= 0
,
L
0
δ
=
w
0
i
−
1 = 0
,
(11.16)
из которой нетрудно получить
w
=
Σ
−
1
(
λ
m
+
δ
i
)
.
(11.17)
Подставив полученное выражение (11.17) в уравнения системы (11.16), пред-
варительно поменяв местами сомножители, получаем систему из двух уравне-
11.1. Модель портфеля Г. Марковица
135
ний с двумя неизвестными
λ
и
δ
(
m
0
Σ
−
1
(
λ
m
+
δ
i
) =
µ,
i
0
Σ
−
1
(
λ
m
+
δ
i
) = 1
.
(11.18)
Если ввести обозначения
A
=
m
0
Σ
−
1
m
,
B
=
m
0
Σ
−
1
i
,
C
=
i
0
Σ
−
1
i
, то систе-
му (11.18) можно записать в виде
(
λA
+
δB
=
µ
;
λB
+
δC
= 1
.
(11.19)
Решение системы (11.19) методом Крамера, позволяет получить
λ
=
µC
−
B
AC
−
B
2
,
δ
=
A
−
µB
AC
−
B
2
.
(11.20)
Подставляя (11.20) в (11.17), получаем уравнение для расчета структуры
оптимального портфеля с заданной доходностью
µ
w
∗
=
Σ
−
1
µC
−
B
AC
−
B
2
m
+
A
−
µB
AC
−
B
2
i
.
(11.21)
Если в задаче (11.14) поменять местами функцию цели и ограничение, то
структура портфеля будет определяться как решение задачи максимизации
средней доходности портфеля при ограниченном риске. В таком виде задачу
формирования портфеля сформулировал Ф. Блек. Формальная постановка этой
задачи имеет вид:
w
0
m
→
max
,
w
0
Σw
≤
σ
2
,
w
0
i
= 1
,
0
≤
Iw
≤
i
,
(11.22)
где
I
– единичная матрица.
Некоторую сложность при решении задачи (11.22) вызывает необходимость
априорного определения уровня допустимого риска. Все дело в трудности по-
нимания ожидаемой величины риска с количественной точки зрения. Как пра-
вило, требуются дополнительные исследования, чтобы сформировать опреде-
ленную точку зрения по этому поводу. Инвестору гораздо проще определить
136
Глава 11. Основные подходы к моделированию портфельных решений
уровень ожидаемой доходности своих вложений, нежели приемлемый для него
уровень риска, на который согласен инвестор. В связи с этим более предпочти-
тельным является вариант модели (11.14).
11.2. Модель портфеля Дж. Тобина
Рассматриваемая в данном параграфе модель отличается от модели Г. Мар-
ковица тем, что в ней предусматривается введение в состав портфеля безрис-
кового актива. Под безрисковым активом обычно понимается ценная бумага,
доходность по которой
r
f
на протяжении всего исследуемого периода неизмен-
на и обеспечивается государством. Модель была предложена Дж. Тобином [55].
С формальных позиций, модель Дж. Тобина получается из модели Г. Мар-
ковица в результате небольшой модификации. Тем не менее, эти модели имеют
принципиальное отличие. Модель Г. Марковица предназначена для решения
задач эффективного инвестирования на микроуровне, т.к. в ней акцентируется
внимание на поведении отдельного инвестора. Подход Дж. Тобина, по суще-
ству, макроэкономический, поскольку в нем моделируется распределение сово-
купного капитала в экономике по двум его формам: наличной (денежной) и
неналичной (в виде ценных бумаг).
Обозначив через
w
0
ту часть средств, которая вложена в безрисковый ак-
тив и, преследуя цель, сформировать портфель, минимизирующий риск при
заданном уровне ожидаемой доходности, запишем математическую модель в
следующем виде:
w
0
Σw
→
min
,
(
r
f
w
0
+
w
0
m
=
µ,
w
0
+
w
0
i
= 1
.
(11.23)
Для решения этой задачи запишем функцию Лагранжа
L
(
w
, λ, δ
) =
w
0
Σw
+ 2
λ
(
r
f
w
0
+
w
0
m
−
µ
) + 2
δ
(
w
0
+
w
0
i
−
1)
(11.24)
11.2. Модель портфеля Дж. Тобина
137
и продифференцируем ее по всем переменным, в том числе по множителям
Лагранжа
L
w
0
=
λr
f
+
δ
= 0
,
L
w
= 2
Σw
+ 2
λ
m
+ 2
δ
i
= 0
,
L
λ
=
r
f
w
0
+
w
0
m
=
µ,
L
δ
=
w
0
+
w
0
i
= 1
.
(11.25)
Используя специфику этой системы уравнений, получим ее решение в об-
щем виде. Из первого уравнения определим взаимозависимость между множи-
телями Лагранжа
δ
=
−
λr
f
.
(11.26)
Использование полученного соотношения упрощает второе уравнение и поз-
воляет получить промежуточный результат для структуры портфеля в следу-
ющем виде:
w
=
−
λ
Σ
−
1
(
m
−
r
f
i
)
.
(11.27)
Учитывая, что
w
0
= 1
−
w
0
i
(11.28)
получаем
r
f
(1
−
w
0
i
) +
w
0
m
=
µ,
(11.29)
w
0
(
m
−
r
f
i
) =
µ
−
r
f
(11.30)
и
−
λ
(
m
−
r
f
i
)
0
Σ
−
1
(
m
−
r
f
i
) =
µ
−
r
f
,
(11.31)
λ
=
−
µ
−
r
f
(
m
−
r
f
i
)
0
Σ
−
1
(
m
−
r
f
i
)
.
(11.32)
Используя полученное выражение для
λ
, получаем формулы для расчета
структуры портфеля
w
=
µ
−
r
f
(
m
−
r
f
i
)
0
Σ
−
1
(
m
−
r
f
i
)
Σ
−
1
(
m
−
r
f
i
)
,
(11.33)
w
0
= 1
−
µ
−
r
f
(
m
−
r
f
i
)
0
Σ
−
1
(
m
−
r
f
i
)
Σ
−
1
(
m
−
r
f
i
)
!
0
i
,
(11.34)