ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1847
Скачиваний: 16
138
Глава 11. Основные подходы к моделированию портфельных решений
Если для каждого
µ
, заключенного между величиной безрисковой ставки
и максимально возможной доходностью портфеля, решить эту оптимизацион-
ную задачу, то, используя полученные результаты, можно построить график,
точки которого представляют собой эффективное множество. В системе коор-
динат
(
m
w
, σ
w
)
это множество для данного портфеля представляет собой луч
(см. рис. 11.2).
Рис. 11.2. Эффективное множество при наличии безрискового актива
Точка касания луча, выходящего из точки с координатами
(0
, r
f
)
, кривой
эффективного множества инвестиционных возможностей находится как реше-
ние следующей задачи оптимизации:
w
0
m
−
r
f
√
w
0
Σw
→
max
,
(11.35)
Решение данной задачи представляет собой портфель, структура которого
устроена таким образом, что обеспечивает максимально возможную доходность
на каждую единицу риска. Для получения структуры данного портфеля посту-
пим следующим образом. Используя свойство структуры
w
0
i
= 1
, проведем
преобразование числителя в (11.35)
w
0
m
−
r
f
w
0
i
√
w
0
Σw
→
max
.
(11.36)
11.2. Модель портфеля Дж. Тобина
139
После дифференцирования по
w
, получаем
(
m
−
r
f
i
) (
w
0
Σw
)
−
1
2
−
1
2
(
w
0
Σw
)
−
3
2
2 (
Σw
) [
w
0
(
m
−
r
f
i
)] = 0
(11.37)
После умножения левой и правой части полученной системы уравнений на
(
w
0
Σw
)
−
1
2
имеем
(
m
−
r
f
i
)
−
w
0
(
m
−
r
f
i
)
w
0
Σw
Σw
= 0
.
(11.38)
Учитывая, что
w
0
(
m
−
r
f
i
)
w
0
Σw
– скаляр, введем обозначение
λ
=
w
0
(
m
−
r
f
i
)
w
0
Σw
,
(11.39)
и запишем уравнение (11.37) в следующем виде:
(
m
−
r
f
i
)
−
λ
Σw
= 0
.
(11.40)
Произведя замену
z
=
λ
w
и записав систему уравнений как
Σz
= (
m
−
r
f
i
)
,
(11.41)
получаем решение
z
=
Σ
−
1
(
m
−
r
f
i
)
.
(11.42)
Нормирование полученного решения позволяет получить единственный ва-
риант структуры искомого портфеля
w
∗
=
z
z
0
i
.
(11.43)
Структура портфеля, определенного таким способом, идентична структуре
рыночного портфеля. Для всех инвесторов, действующих на данном фондовом
рынке, рыночный портфель будет одним и тем же, независимо от их индиви-
дуального отношения к риску. Таким образом, всем инвесторам, рационально
действующим на финансовом рынке, целесообразно распределять свои средства
по рисковым активам в пропорции, соответствующей рыночному портфелю.
После определения оптимальной структуры портфеля рисковых активов
и нахождения точки касания, инвестор решает задачу распределения своих
140
Глава 11. Основные подходы к моделированию портфельных решений
средств между портфелем и безрисковым активом, доходность которого
r
f
яв-
ляется детерминированной величиной. Решение этой задачи существенно зави-
сит от субъективных предпочтений инвестора. Инвестор, не склонный к риску,
по идее, должен выбрать такое распределение, которому соответствует точка,
лежащая левее точки касания
M
. Это будет означать, что часть своего капи-
тала, которую будем обозначать
y
, он вкладывает в рыночный портфель, а
оставшуюся часть
(1
−
y
)
– в безрисковый актив. Ожидаемая доходность сфор-
мированного таким образом портфеля
m
w
представима в виде
m
w
= (1
−
y
)
r
f
+
y m
y
,
(11.44)
где
m
y
– доходность рыночного портфеля.
Нетрудно понять, что риск данного портфеля ниже риска рыночного порт-
феля, т.к. определяется соотношением
σ
w
=
yσ
y
,
(11.45)
где
σ
w
– риск рыночного портфеля;
σ
y
– риск эффективного портфеля инвестора,
сформированного в соответствии с его предпочтениями.
Если инвестор склонен к риску, то его выбор окажется правее точки
M
. Та-
кой выбор следует интерпретировать как заимствование денег под безрисковую
ставку
r
f
и инвестирование всего капитала, в том числе и заимствованного, в
рыночный портфель. В этом случае
y >
1
, а
(1
−
y
)
<
0
, и риск портфеля ин-
вестора выше риска рыночного портфеля. При этом соотношение рискованного
и безрискового активов определяется либо из (11.44)
y
=
m
w
−
r
f
m
y
−
r
f
,
(11.46)
либо из (11.45)
y
=
σ
w
σ
y
.
(11.47)
Наличие безрискового актива в модели позволяет сформулировать теоре-
му Дж. Тобина о разделении [56]. Смысл этой теоремы в том, что инвестор,
формируя свой портфель на финансовом рынке, принимает два независимых
решения. Первое решение касается соотношения рисковых активов в портфеле,
11.3. Модель портфеля с учетом отношения к риску
141
а второе – соотношения между рыночным портфелем и безрисковым активом.
Если инвестор выбирает портфель, соответствующий точке касания
M
, то это
означает, что он принимает решение весь свой капитал вложить в рыночный
портфель, не беря и не давая заем под безрисковую ставку процента.
11.3. Модель портфеля с учетом отношения к риску
Рассмотрим теперь модель, в которой используется критерий в виде сверт-
ки. Функция цели этой модели сконструирована таким образом, что представ-
ляет собой разность между доходностью портфеля и его риском. Максимиза-
ция данного критерия позволяет сформировать портфель, который обеспечи-
вает инвестору получение максимального дохода за минусом дисперсии (квад-
рата риска на среднем уровне). При решении задачи с такой функцией цели ни
доходность, ни риск не фиксируются. Это позволяет определить оптимальное
соотношение между риском и доходностью. Регулирование этого соотношения
осуществляется введением в критерий дополнительного параметра
τ
≥
0
, ин-
терпретируемого как несклонность инвестора к риску. Понятно, что значения
этого параметра расположены вокруг единицы. И все же это не измеритель
риска. Данный параметр рекомендуют понимать как обратную величину из-
вестного отношения Эрроу-Пратта [23, 45]
R
R
=
−
vU
00
(
v
)
U
0
(
v
)
,
(11.48)
где
U
(
v
)
– функция полезности со свойствами
U
0
(
v
)
≥
0
и
U
00
(
v
)
<
0
.
Задача оптимизации для определения эффективного портфеля в зависимо-
сти от отношения инвестора к риску в матричном виде записывается следую-
щим образом:
2
τ
w
0
m
−
w
0
Σw
→
max
,
w
0
i
= 1
.
(11.49)
Для решения воспользуемся методом множителей Лагранжа
L
(
w
, λ
) = 2
τ
w
0
m
−
w
0
Σw
+ 2
λ
(
w
0
i
−
1)
(11.50)
142
Глава 11. Основные подходы к моделированию портфельных решений
Дифференцируя функцию Лагранжа по
w
и по
λ
, получаем линейную си-
стему из
(
n
+ 1)
уравнения с
(
n
+ 1)
неизвестным
(
L
0
w
= 2
τ
m
−
2
Σw
+ 2
λ
i
=
0
;
L
0
λ
=
w
0
i
−
1 = 0
.
(11.51)
Решая для случая
τ
= 0
первое уравнение этой системы
w
=
λ
Σ
−
1
i
(11.52)
и подставляя полученное выражение во второе уравнение, имеем
λ
=
1
i
0
Σ
−
1
i
(11.53)
Окончательно получаем, что при
τ
= 0
структура портфеля определяется
следующим выражением:
w
min
=
1
i
0
Σ
−
1
i
Σ
−
1
i
.
(11.54)
При
τ >
0
из (11.51) получаем
w
=
Σ
−
1
(
λ
i
+
τ
m
)
.
(11.55)
Подставляя полученное выражение во второе уравнение системы (11.51),
определим
λ
i Σ
−
1
λ
i
+
i Σ
−
1
τ
m
= 1
,
(11.56)
λ
=
1
i
0
Σ
−
1
i
−
τ
i
0
Σ
−
1
m
i
0
Σ
−
1
i
(11.57)
Заменяя
λ
в первом уравнении (11.51) полученным выражением, имеем
Σ w
=
1
i
0
Σ
−
1
i
−
τ
i
0
Σ
−
1
m
i
0
Σ
−
1
i
i
+
τ
m
,
(11.58)
w
=
1
i
0
Σ
−
1
i
Σ
−
1
i
+
τ
Σ
−
1
m
−
i
0
Σ
−
1
m
i
0
Σ
−
1
i
Σ
−
1
i
.
(11.59)