ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1756
Скачиваний: 15
11.3. Модель портфеля с учетом отношения к риску
143
В компактной форме портфель, структура которого задается выражением
(11.59), можно записать следующим образом:
w
=
w
min
+
τ
w
c
(11.60)
где
w
c
– самофинансируемый портфель, структура которого определяется вто-
рым слагаемым выражения (11.59).
Экономический смысл портфеля
w
c
состоит в том, что он не принадлежит
достижимому множеству и в нем реализуется механизм самофинансирования,
предусматривающий покупку одних активов за счет продажи других.
Таким образом, удалось показать, что эффективный портфель может быть
представлен в виде линейной комбинации портфеля
w
min
, зависящего только
от ковариационной матрицы
Σ
и обеспечивающего минимальный доход при
минимальном риске, и портфеля
w
c
, генерирующего максимально возможную
доходность.
Для данного портфеля, в силу того, что
C
(
m
w
, m
c
) =
w
0
c
Σw
min
= 0
,
(11.61)
эффективное множество в системе координат риск–доходность (
σ
w
, m
w
) опре-
деляется по следующим формулам:
m
w
=
m
min
+
τ m
c
(11.62)
σ
w
=
q
σ
2
min
+
τ
2
σ
2
c
(11.63)
Рассмотрим модель Дж. Тобина с учетом отношения инвестора к риску. В
этом случае мы максимизируем ожидаемую доходность портфеля за минусом
возможных потерь в виде дисперсии. Формально функция цели и ограничение
этой задачи записываются следующим образом:
2
τ
(
r
f
w
0
+
w
0
m
)
−
w
0
Σw
→
max
,
w
0
i
= 1
.
(11.64)
Наличие параметра
τ
, отражающего отношение к риску, позволяет рас-
сматривать при решении этой задачи два случая
τ
= 0
и
τ >
0
. Очевидно, что
144
Глава 11. Основные подходы к моделированию портфельных решений
для инвесторов, не имеющих определенных ожиданий и готовых инвестировать
только в безрисковый актив,
τ
= 0
. Тот же вывод получается формальным об-
разом.
При
τ
= 0
функция Лагранжа записывается следующим образом:
L
(
w
, λ
) =
−
w
0
Σ w
+ 2
λ
(
w
0
+
w
0
i
−
1)
(11.65)
Дифференцируя функцию Лагранжа по всем переменным, получаем систе-
му из (
n
+ 2)
уравнений
L
0
w
0
= 2
λ
= 0
,
L
0
w
=
−
2
Σ w
+ 2
λ
i
= 0
,
L
0
λ
=
w
0
+
w
0
i
= 1
.
(11.66)
Решение этой системы имеет вид
λ
= 0
,
w
= 0
,
w
0
= 1
.
В соответствии с полученным решением, эффективный портфель содержит
единственный актив с неизменным уровнем доходности. Структура портфеля с
нулевым риском имеет вид
w
min
= (1
,
0
, . . . ,
0)
. Все предельно ясно: не хочешь
рисковать – вкладывай в безрисковые активы и довольствуйся минимальным
уровнем дохода.
Аналогично для
τ >
0
. Записываем функцию Лагранжа
L
(
w
, λ
) = 2
τ
(
r
f
w
0
+
w
0
m
)
−
w
0
Σ w
+ 2
λ
(
w
0
+
w
0
i
−
1)
,
(11.67)
у которой на одно слагаемое больше. Дифференцируем эту функцию
L
0
w
0
=
τ r
f
+
λ
= 0
,
L
0
w
=
τ
m
−
Σ w
+
λ
i
= 0
,
L
0
λ
=
w
0
+
w
0
i
= 1
,
(11.68)
и решаем полученную систему.
11.4. Модель САРМ
145
Из первого уравнения получаем
λ
=
−
τ r
f
.
(11.69)
Подставив полученное выражение в первое уравнение системы (11.66)
τ
m
−
Σ w
−
τ r
f
i
= 0
.
(11.70)
получаем выражение для расчета структуры той части портфеля, которая вклю-
чает рискованные активы
w
=
τ
Σ
−
1
(
m
−
r
f
i
)
.
(11.71)
Если первое уравнение системы (11.68) подставить в (11.64), то получаем
формулу для расчета той доли, которую в портфеле должны занимать инве-
стиции в безрисковый актив
w
0
+
τ
(
m
−
r
f
i
)
0
Σ
−
1
i
= 1
.
(11.72)
w
0
= 1
−
τ
(
m
−
r
f
i
)
0
Σ
−
1
i
.
(11.73)
11.4. Модель САРМ
Модель оценки финансовых активов (CAPM, Capital Asset Pricing Model)
с разной степенью строгости и подробности описана во многих руководствах по
теории финансов, e.g. [28,31]. Изначально CAPM была построена как однопери-
одная статическая модель общего равновесия совершенного рынка. Дальнейшее
развитие шло по пути отказа от некоторых ограничений, свойственных идеаль-
ному совершенному рынку.
Несмотря на то, что классическая модель CAPM записывается обычно в ви-
де эконометрической модели, она является моделью общего равновесия. Идея
такого равновесия восходит к исследованиям Дж. Тобина, но ее строгий вывод
был проведен несколько позже в [35]. Модель оперирует рыночным портфелем
рискованных активов и безрисковым активом в рамках статики, что предпола-
гает абсолютную ликвидность во всех секторах рынка и одинаковый горизонт
планирования для всех инвесторов.
146
Глава 11. Основные подходы к моделированию портфельных решений
Исходные предположения, гарантирующие корректность модели:
1. Инвесторы избегают риска и максимизируют ожидаемую полезность своего
благосостояния на конец периода.
2. Все инвесторы являются ценополучателями и не могут своими действиями
оказывать влияние на цены активов.
3. На рынке действуют
K
инвесторов с одинаковыми ожиданиями, т.е. инве-
сторы одинаково оценивают математическое ожидание и дисперсию доход-
ностей рисковых активов и имеют одинаковый временной горизонт в один
период.
4. Все активы бесконечно делимы и торгуемы на рынке. Количество любого
актива фиксировано.
5. Налоги, транзакционные издержи, какое-либо регулирование рынка и огра-
ничения на короткие продажи отсутствуют.
6. Информация полностью доступна и бесплатна для всех участников рынка.
7. Рынок находится в равновесии, т.е. спрос на финансовые активы равен их
предложению.
Исходя из этих предположений, портфели рискованных активов у всех ин-
весторов будут одинаковы. Инвесторы различаются лишь размерами осуществ-
ляемого ими безрискового заимствования или кредитования. Общий для всех
инвесторов портфель рискованных активов называется рыночным портфелем.
Рыночный портфель включает все ценные бумаги, причем доля каждой цен-
ной бумаги равна отношению ее рыночной стоимости к суммарной рыночной
стоимости всех ценных бумаг.
В настоящее время существует несколько версий модели. Наиболее извест-
на модель CAPM в версии Шарпа-Линтнера [38, 52].
В основе модели Шарпа-Линтнера лежит дополнительное предположение
о том, что все инвесторы, действующие на рынке, могут занимать и инвести-
ровать по безрисковой ставке
r
f
. Данное предположение создает ситуацию, в
соответствии с которой рынок состоит из безрискового актива с доходностью
r
f
и
n
рискованных активов с доходностями
r
i
,
i
= 1
, n
.
Далее будем считать, что ковариационная матрица
Σ
и вектор средних
доходностей
m
0
= (
m
1
, m
2
, . . ., m
n
)
определены. Причем доходность хотя бы
одного рискового актива по величине отличается от доходности безрисково-
го актива, т.е.
∃
i
= 1
, n
:
m
i
6
=
r
f
. роме того, предполагается, что матри-
11.4. Модель САРМ
147
ца ковариаций
Σ
положительно определена, т.е. для любого портфеля
w
0
=
(
w
1
, w
2
, . . . , w
n
)
6
= (0
,
0
, . . . ,
0) :
w
0
Σw
>
0
. Если эти условия выполняются,
то существует единственный эффективный портфель
k
-го инвестора
w
(
k
)
0
=
w
k
0
, w
k
1
, . . . , w
k
n
,
k
= 1
, K
, представимый в вид
w
(
k
)
=
w
min
+
τ
(
k
)
w
c
,
(11.74)
где
w
0
min
= (1
,
0
, . . . ,
0)
– портфель с нулевым риском, т.к. состоит только из
безрискового актива, а
w
0
c
= (
w
c
0
, w
c
1
, . . . , w
cn
)
– портфель, первая компонен-
та которого равна
w
c
0
=
−
(
m
−
r
f
i
)
Σ
−
1
i
,
(11.75)
а вектор из остальных компонент определяется в соответствии с матричным
выражением
w
cj
= (
m
−
r
f
i
)
0
Σ
−
1
,
j
= 1
, n.
(11.76)
Фактически все инвесторы сформировали свои портфели в соответствии с
моделью Г. Марковица и зависящие от индивидуального отношения к риску,
характеризуемому параметром
τ
.
Если предположить, что величина инвестиций в портфель
k
-го инвестора
равна
v
(
k
)
, то совокупный спрос на рынке можно определить в виде взвешенного
портфеля, который легко рассчитывается, если просуммировать с соответству-
ющими весами все портфели инвесторов (11.74)
w
m
=
K
X
k
=1
v
(
k
)
P
K
k
=1
v
(
k
)
w
(
k
)
!
=
K
X
k
=1
v
(
k
)
P
K
k
=1
v
(
k
)
w
min
+
τ
(
k
)
w
c
!
.
(11.77)
Окончательно получаем портфель совокупного спроса
w
m
=
w
min
+
τ
m
w
c
,
(11.78)
где
τ
m
=
P
K
k
=1
v
(
k
)
P
K
k
=1
v
(
k
)
τ
(
k
)
!
.
Данный портфель
w
0
m
= (
w
m
0
, w
m
1
, . . . , w
mn
)
является эффективным, т.к. пред-
ставляет собой линейную комбинацию эффективных портфелей и может быть