ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1755
Скачиваний: 15
148
Глава 11. Основные подходы к моделированию портфельных решений
получен в результате решения задачи
τ
m
(
r
f
w
m
0
+
w
0
m
)
−
w
0
Σw
,
(11.79)
w
m
0
+
w
0
i
−
1
,
(11.80)
где
w
0
= (
w
m
1
, . . . , w
m
n
)
.
Функция Лагранжа записывается обычным образом:
L
(
w
, λ
) = 2
τ
m
(
r
f
w
m
0
+
w
0
m
)
−
w
0
Σw
+ 2
λ
(
w
m
0
+
w
0
i
−
1)
.
(11.81)
Ее дифференцирование позволяет получить систему уравнений
L
0
w
m
0
=
τ
m
r
f
+
λ
= 0
,
L
0
w
=
τ
m
m
−
Σ
w
+
λ
i
= 0
,
L
0
λ
=
w
m
0
+
w
0
i
= 1
,
(11.82)
которой должен удовлетворять рассматриваемый портфель.
Выразив
λ
первого уравнения системы
λ
=
−
τ
m
r
f
(11.83)
и подставив полученное выражение во второе уравнение, имеем систему урав-
нений в матричной форме
Σw
=
τ
m
(
m
−
r
f
i
)
.
(11.84)
Чтобы был понятен результат умножения, распишем детали этой системы
уравнений:
D
(
r
1
)
C
(
r
1
, r
2
)
· · ·
C
(
r
1
, r
n
)
C
(
r
2
, r
1
)
D
(
r
2
)
· · ·
C
(
r
2
, r
n
)
...
...
...
...
C
(
r
n
, r
1
)
C
(
r
n
, r
2
)
· · ·
D
(
r
n
)
w
1
w
2
...
w
n
=
τ
m
m
1
−
r
f
m
2
−
r
f
...
m
n
−
r
f
.
11.4. Модель САРМ
149
Результат перемножения произвольной
i
-й строки и вектора
w
может быть
записан следующим образом:
C
(
r
i
, r
m
) =
τ
m
(
m
i
−
r
f
)
,
i
= 1
, n,
(11.85)
т.к.
C
(
r
i
, r
m
) =
w
1
C
(
r
i
, r
1
) +
w
2
C
(
r
i
, r
2
) +
. . .
+
w
n
C
(
r
i
, r
n
)
=
C
(
r
i
, w
1
r
1
+
w
1
r
2
+
. . .
+
w
n
r
n
)
,
i
= 1
, n,
(11.86)
Если теперь первое уравнение системы (11.82) умножить на
w
0
, а второе
уравнение – на
w
и полученные результаты сложить, то имеем выражение
τ
m
w
0
r
f
+
τ
m
w
0
m
−
w
0
Σw
+
λw
0
+
λ
w
0
i
= 0
.
(11.87)
Сгруппировав некоторые члены
τ
m
(
w
0
r
f
+
w
0
m
)
−
w
0
Σw
+
λ
(
w
0
+
w
0
i
) = 0
.
(11.88)
и учитывая, что
w
0
r
f
+
w
0
m
=
E
(
r
m
)
,
w
0
+
w
0
i
= 1
,
λ
=
−
τ
m
r
f
,
можно (11.88) переписать в виде
τ
m
E
(
r
m
)
−
w
0
Σw
−
τ
m
r
f
= 0
.
(11.89)
Окончательно получаем
w
0
Σw
=
τ
m
(
E
(
r
m
)
−
r
f
)
(11.90)
или
D
(
r
m
) =
τ
m
(
E
(
r
m
)
−
r
f
)
.
(11.91)
150
Глава 11. Основные подходы к моделированию портфельных решений
Завершая вывод уравнения Шарпа-Линтнера, разделим (11.86) на (11.91)
C
(
r
i
, r
m
)
D
(
r
m
)
=
m
i
−
r
f
E
(
r
m
)
−
r
f
.
(11.92)
Очевидные преобразования позволяют записать
m
i
=
r
f
+
C
(
r
i
, r
m
)
D
(
r
m
)
E
(
r
m
)
−
r
f
.
(11.93)
или
E
(
r
i
) =
r
f
+
β
i
(
E
(
r
m
)
−
r
f
)
.
(11.94)
В связи с тем, что вывод уравнения осуществлялся в предположении, что
рынок находится в равновесии, вектор
w
m
характеризует одновременно и спрос,
и предложение на финансовом рынке, т.е. этот вектор является рыночным порт-
фелем. Компоненты этого вектора отражают доли каждого актива на рынке,
определяемой как отношение его совокупной стоимости (произведение текущей
рыночной стоимости актива на количество его единиц, находящихся в обра-
щении на рынке) к сумме совокупных рыночных стоимостей всех активов на
финансовом рынке
w
0
= (
w
0
, w
1
, . . . , w
n
)
,
w
i
=
P
ti
n
ti
P
N
i
=1
P
ti
n
ti
.
(11.95)
где
P
ti
– рыночная стоимость
i
-го актива в момент
t
;
n
ti
– количество
i
-го актива
на рынке в момент
t
.
Определить реальную структуру рыночного портфеля довольно сложно.
Поэтому при решении практических задач, как правило, используются бирже-
вые индексы. С их помощью удается получить достаточно полное представление
о состоянии финансового рынка. Правда, не все исследователи согласны с та-
ким упрощением. Известна так называемая критика Р. Ролла [46,47], в которой
подвергается сомнению правомерность использования биржевых индексов для
построения модели САРМ. Несмотря на критику Р. Ролла, в практике обос-
нования инвестиционных решений эту модель строят, используя исторические
данные о доходностях индекса и финансового актива.
11.4. Модель САРМ
151
Основное уравнение модели Шарпа-Линтнера имеет вид:
E
(
r
i
) =
r
f
+
β
i
(
E
(
r
m
)
−
r
f
)
,
β
i
=
C
(
r
i
, r
m
)
D
(
r
m
)
,
(11.96)
где
r
f
– доходность безрискового актива,
r
m
– доходность рыночного портфе-
ля,
β
i
– бета-коэффициент актива, отражающий систематический риск актива,
фактически степень «когерентности» изменений доходности актива с измене-
ниями доходности рыночного портфеля.
Нередко модель Шарпа-Линтнера формулируется в терминах избыточной
доходности (excess return), имеющей смысл рыночной премии за риск:
z
m
=
r
m
−
r
f
.
(11.97)
В таком случае
E
(
z
i
) =
β
i
E
(
z
m
)
,
β
i
=
C
(
z
i
, z
m
)
D
(
z
m
)
.
(11.98)
Важнейшим моментом в модели является понятие рыночного портфеля,
под которым понимается портфель, состоящий из всех рискованных активов,
и в котором доля каждого актива соответствует его относительной рыночной
стоимости (условие равновесия).
Очевидно, что рыночный портфель должен являться одним из множества
эффективных портфелей по Г. Марковицу. Под эффективным портфелем пони-
мается совокупность длинных и коротких позиций по активам, обеспечивающая
минимальный уровень риска при заданном уровне доходности.
Основным практически важным следствием модели CAPM в версии Шарпа-
Линтнера является то, что инвестиции всех рациональных участников рынка
одинаковы по структуре и состоят из безрискового актива и рыночного порт-
феля.
Ниже предлагается рассмотреть некоторые вполне очевидные соображе-
ния, имеющие место в рамках данной модели.
Во-первых, все инвесторы держат рискованные активы в одинаковой про-
порции. Данная пропорция соответствует структуре рыночного портфеля, т.е.
портфеля, в который входят все рискованные активы согласно их удельному
весу в совокупной стоимости всех рискованных активов на рынке.
152
Глава 11. Основные подходы к моделированию портфельных решений
Во-вторых, степень неприятия риска инвестором отражается в соотноше-
нии между долей безрискового и рискованных активов в его портфеле. Чем
больше инвестор избегает риска, тем больше будет доля безрискового актива и
тем меньше доля рискованных активов.
В-третьих, ожидаемая доходность
i
-актива
E
(
r
i
)
пропорциональна степени
рискованности этого актива, причем мерой риска является ковариация
C
(
r
i
, r
m
)
доходностей этого актива и рыночного портфеля.
Основное уравнение модели:
E
(
r
i
) =
r
f
+
β
i
(
E
(
r
m
)
−
r
f
)
,
β
i
=
C
(
r
i
, r
m
)
D
(
r
m
)
,
(11.99)
где
r
f
– доходность безрискового актива,
r
m
– доходность рыночного портфе-
ля,
β
i
– бета-коэффициент актива, отражающий систематический риск актива,
фактически степень «когерентности» изменений доходности актива с измене-
ниями доходности рыночного портфеля.
Наклон линии регрессии (так называемая рыночная линия ценной бумаги
– Security Market Line,
SML
) показывает величину рыночной премии за едини-
цу риска, а точка пересечения линии регрессии – доходность актива с нулевым
бета-коэффициентом. Уравнение линии
SML
имеет вид (11.99). С помощью гра-
фика, представленного ниже, можно оценить эффективность актива.
Рис. 11.3. Рыночная линия ценной бумаги
Линия показывает, что в состоянии равновесия ожидаемая доходность ак-
тива равна ставке без риска плюс вознаграждение за рыночный риск, который