ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 897
Скачиваний: 3
21
1
,
1... ,
n
ij j
i
j
a x
R i
m
=
≥
=
∑
(2)
,
1... ,
j
j
j
a
x
b j
n
≤
≤
=
(3)
1
min.
n
j
j
j
c x
=
→
∑
(4)
Здесь
i
–
порядковый
номер
свойств
,
которыми
обладают
компоненты
и
смесь
, 1...
i
m
=
;
a
ij
–
величина
i
-
го
свойства
для
j
-
й
компоненты
;
R
i
–
требо
-
вание
на
величину
i
-
го
свойства
для
ед
.
смеси
;
(
)
j
j
b
a
,
–
интервал
возмож
-
ного
включения
j
-
й
компоненты
в
смесь
;
c
j
–
стоимость
единицы
j
-
й
компо
-
ненты
.
Если
неизвестные
сформулированы
в
виде
:
x
j
–
объём
вложений
j
-
й
компоненты
в
натуральном
выражении
,
то
ограничение
(1)
приведённой
выше
модели
записывается
в
виде
1
,
n
j
j
x
b
=
=
∑
где
b
–
общее
количество
смеси
,
которое
должно
быть
получено
.
В
такие
модели
,
как
правило
,
также
включаются
ограничения
(2–3).
Однако
b
j
несёт
иную
смысловую
нагрузку
.
Здесь
b
j
–
количество
j
-
й
ком
-
поненты
,
которое
есть
в
наличии
.
Если
известны
условия
изготовления
компонентов
с
учётом
имею
-
щихся
для
этой
цели
ресурсов
,
то
возникает
более
сложная
объединённая
задача
составления
оптимальной
смеси
,
для
которой
будут
с
наибольшим
эффектом
использованы
ресурсы
в
производстве
компонентов
.
Усложне
-
ние
задачи
может
происходить
и
за
счёт
внесения
в
модель
ограничений
,
связанных
с
условиями
использования
смесей
.
В
качестве
примера
рас
-
смотрим
модель
составления
оптимальных
схем
внесения
удобрений
.
Вве
-
дём
обозначения
:
j
–
вид
культуры
,
J
–
число
всех
видов
культур
;
i
–
вид
смеси
удобрений
,
I
–
число
всех
видов
смесей
;
q
–
способ
внесения
удобрений
,
Q
–
число
всех
способов
внесения
удобрений
;
r
–
номер
формы
,
в
которой
находится
действующее
вещество
в
удобрении
(
легко
-
или
труднорастворимые
);
N
r
,
P
r
,
K
r
–
количество
азота
,
фосфора
и
калия
r
-
й
формы
,
имеющегося
на
предприятии
;
N
iqjr
,
P
ijqr
,
К
ijqr
–
количество
действующего
вещества
азота
,
фосфора
и
калия
r
-
й
формы
,
необходимого
для
внесения
по
q
-
му
способу
в
i
-
ю
смесь
под
j
-
ю
культуру
на
1
га
земли
;
m
–
вид
органического
удобрения
,
M
–
число
всех
видов
органических
удобрений
;
H
m
–
количество
m
-
го
вида
органических
удобрений
,
имеющихся
на
пред
-
приятии
;
22
H
ijqm
–
количество
органического
удобрения
m
-
го
вида
,
вносимое
по
q
-
му
способу
в
i
-
ю
смесь
под
j
-
ю
культуру
на
1
га
земли
;
S
jq
–
площадь
посева
под
j
-
ю
культуру
,
в
которую
можно
внести
удобре
-
ния
по
q
-
му
способу
;
a
ijq
–
логический
коэффициент
,
равный
1,
если
можно
внести
i
-
ю
смесь
q
-
м
способом
под
j
-
ю
культуру
,
и
равный
0
в
противном
случае
;
C
ijq
–
эффективность
(
прибыль
),
полученная
при
внесении
i
-
й
смеси
q
-
м
способом
под
j
-
ю
культуру
на
1
га
земли
;
x
ijq
–
число
гектаров
земли
,
отводимое
под
j
-
ю
культуру
с
внесением
i
-
й
смеси
удобрения
q
-
м
способом
.
Получим
следующую
математическую
модель
:
1
1
1
max.
Q
I
J
ijq ijq
i
j
q
c x
=
=
=
→
∑ ∑ ∑
Азотные
удобрения
:
1
1
1
.
Q
I
l
ijqr ijq
r
i
j
q
N
x
N
=
=
=
≤
∑ ∑ ∑
Фосфорные
удобрения
:
1
1
1
.
Q
I
J
ijqr ijq
r
i
j
q
P x
P
=
=
=
≤
∑ ∑ ∑
Калийные
удобрения
:
1
1
1
.
Q
I
J
ijqr ijq
r
i
j
q
K
x
K
=
=
=
≤
∑ ∑ ∑
Органические
удобрения
:
1
1
1
,
1... .
Q
I
J
ijqm ijq
m
i
j
q
H
x
H
m
M
=
=
=
≤
=
∑ ∑ ∑
Площади
:
1
,
1... ,
1... ,
I
ijq ijq
jq
i
a x
S
j
J
q
Q
=
≤
=
=
∑
0,
1... ,
1... ,
1... .
ijq
x
i
I
j
J
q
Q
≥
=
=
=
2.2.
Задачи
на
закрепление
приемов
моделирования
процесса
смешивания
Задача
1.
Из
четырёх
видов
основных
материалов
(
медь
,
цинк
,
сви
-
нец
,
никель
)
составляют
три
вида
сплавов
латуни
:
обычный
,
специальный
и
для
художественных
изделий
.
Цены
единицы
веса
меди
,
цинка
,
свинца
и
никеля
составляют
0,8
р
., 0,6
р
., 0,4
р
.
и
1,0
р
.,
а
единицы
веса
сплава
,
соот
-
ветственно
, 2
р
., 3
р
., 4
р
.
Сплав
для
художественных
изделий
должен
содержать
не
менее
6 %
никеля
,
не
менее
50 %
меди
и
не
более
30 %
свинца
;
специальный
–
не
ме
-
нее
4 %
никеля
,
не
менее
70 %
меди
,
не
менее
10 %
цинка
и
не
более
20 %
свинца
.
В
обычный
сплав
компоненты
могут
входить
без
ограничения
.
23
Производственная
мощность
предприятия
позволяет
выпускать
(
за
определённый
срок
)
не
более
400
ед
.
веса
обычного
сплава
,
не
более
700
ед
.
веса
специального
сплава
и
не
более
100
ед
.
веса
сплава
для
художест
-
венных
изделий
.
Найти
производственный
план
,
обеспечивающий
максимальную
прибыль
.
Решение
.
Обозначим
через
x
ij
долю
i
-
й
компоненты
в
j
-
й
смеси
.
То
-
гда
получим
следующие
ограничения
модели
:
11
21
31
41
12
22
32
42
13
23
33
43
1,
1,
1.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
(1)
Ограничения
на
количество
компонентов
в
смесях
:
12
22
32
42
13
33
43
0,7; 0,1; 0,2; 0,04,
0,5; 0,3; 0,06.
x
x
x
x
x
x
x
≥
≥
≤
≥
≥
≤
≥
(2)
Требование
неотрицательности
переменных
:
0,
1...4,
1...3.
ij
x
i
j
≥ ∀ =
=
(3)
Целевая
функция
представляет
собой
сумму
величин
прибыли
,
полу
-
чаемой
с
единицы
веса
каждого
сплава
:
(
)
(
)
(
)
11
21
31
31
12
22
32
42
13
23
33
43
2 0,8
0,6
0,4
1,0
3 0,8
0,6
0,4
1,0
4 0,8
0,6
0,4
1,0
max.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
−
−
−
+
+ −
−
−
−
+
+ −
−
−
−
→
(4)
Ограничения
(1–3)
и
целевая
функция
(4)
представляют
собой
мо
-
дель
для
получения
искомой
информации
.
Задача
2.
Госпиталь
стремится
минимизировать
стоимость
мясного
питания
(
говядина
,
свинина
и
баранина
).
Больничный
рацион
должен
со
-
держать
,
по
крайней
мере
, 1,5
фунта
жирного
мяса
на
человека
в
неделю
.
Говядина
,
которая
стоит
1,25
доллара
за
фунт
,
содержит
20 %
жирной
и
80 %
постной
части
.
Свинина
– 1,5
доллара
за
фунт
и
содержит
60 %
жир
-
ной
и
40 %
постной
части
,
баранина
стоит
1,4
доллара
за
фунт
и
состоит
из
30 %
жирной
и
70 %
постной
части
.
Госпиталь
имеет
холодильную
пло
-
щадь
не
более
чем
на
900
фунтов
мяса
.
В
госпитале
на
мясной
диете
200
пациентов
.
Сколько
фунтов
каждого
вида
мяса
необходимо
покупать
еженедельно
для
того
,
чтобы
обеспечить
необходимую
калорийность
ра
-
циона
при
минимальной
стоимости
?
Решение
.
Пусть
x
i
–
количество
мяса
i
-
го
вида
,
закупаемого
госпита
-
лем
.
Тогда
получим
следующие
ограничения
модели
.
Ограничение
на
объ
-
ем
холодильной
камеры
:
24
1
2
3
900.
x
x
x
+
+ ≤
(1)
Ограничение
на
калорийность
рациона
:
(
)
1
2
3
1
0,2
0,6
0,3
1,5.
200
x
x
x
+
+
≥
(2)
Требование
неотрицательности
переменных
: 0,
1...3.
i
x
i
≥ ∀ =
. (3)
Целевая
функция
–
минимизация
расходов
на
закупки
:
1
2
3
1,25
1,5
1,4
min.
x
x
x
+
+
→
(4)
Целевая
функция
(4)
и
ограничения
(1–3)
образуют
искомую
модель
.
2.3.
Задачи
для
самостоятельного
решения
Задача
1.
Потребность
в
азотных
удобрениях
составляет
10
млн
т
.
Их
можно
удовлетворить
за
счёт
производства
двух
продуктов
:
аммиачной
селитры
и
аммиачной
воды
.
Для
их
производства
необходим
аммиак
,
об
-
щий
расход
которого
для
удовлетворения
соответствующих
нужд
в
плано
-
вом
году
не
может
превышать
8
млн
т
.
Технологические
нормы
матери
-
альных
затрат
,
удельные
текущие
расходы
и
капитальные
вложения
в
про
-
изводство
каждого
из
продуктов
даны
в
таблице
.
Химический
про
-
дукт
Технологические
нормы
затрат
аммиака
,
т
/
т
Удельные
капи
-
тальные
вложе
-
ния
,
р
./
т
Себестоимость
единицы
продук
-
та
,
р
./
т
Аммиачная
селитра
Аммиачная
вода
0,6
1,0
3,0
6,0
7,0
6,5
Определить
план
производства
селитры
и
аммиачной
воды
в
плановом
году
,
необходимых
для
удовлетворения
потребности
народного
хозяйства
в
азотных
удобрениях
,
с
наименьшими
суммарными
затратами
.
Решить
задачу
при
знании
нормативной
эффективности
капитало
-
вложений
0,1.
Проследить
,
как
отражаются
на
оптимальном
плане
изменения
значе
-
ний
нормативной
эффективности
капиталовложений
от
0,1
до
0,3.
Задача
2.
Нефтеперерабатывающий
завод
получает
4
полуфабрика
-
та
: 400
тыс
.
л
алкилата
, 250
тыс
.
л
крекингбензина
, 350
тыс
.
л
бензина
прямой
перегонки
и
100
тыс
.
л
изопентона
.
В
результате
смешивания
этих
четырёх
компонентов
в
разных
пропорциях
образуются
три
сорта
авиаци
-
онного
бензина
:
сорт
А
2 : 3 : 5 : 2,
сорт
В
3 : 1 : 2 : 1,
сорт
С
2 : – : 1 : 3.
25
Стоимость
1
тыс
.
л
указанных
сортов
бензина
составляет
соот
-
ветственно
120
р
., 100
р
.
и
150
р
.
Определить
план
смешивания
компонентов
,
при
котором
будет
дос
-
тигнута
максимальная
стоимость
всей
продукции
.
Определить
оптимальный
план
смешивания
из
условия
макси
-
мального
использования
компонентов
.
Задача
3.
Компания
по
производству
удобрений
может
произвести
в
текущем
месяце
1400
т
нитратов
, 1600
т
фосфатов
и
1200
т
поташа
.
Это
количество
имеется
в
распоряжении
или
уже
заказано
и
не
может
быть
по
-
лучено
в
большем
количестве
,
пока
не
пройдут
следующие
30
дней
.
Необ
-
ходимо
определить
способы
смешивания
активных
ингредиентов
с
опре
-
делёнными
инертными
ингредиентами
,
предложение
которых
не
ограни
-
чено
,
в
два
основных
удобрения
,
которые
позволят
максимизировать
при
-
были
в
текущем
месяце
.
Двумя
основными
удобрениями
являются
тип
1 (5 : 10 : 10)
и
тип
2
(10 : 10 : 5).
Числа
в
скобках
представляют
процентное
отношение
(
по
ве
-
су
)
нитратов
,
фосфатов
и
поташа
соответственно
(
оставшуюся
долю
со
-
ставляют
инертные
ингредиенты
).
Цены
ингредиентов
показаны
в
таблице
.
Ингредиенты
удобрения
Цена
за
тонну
Нитраты
Фосфаты
Поташ
Инертные
удобрения
160
140
100
8
Затраты
смешения
,
упаковки
и
продажи
одинаковы
для
обоих
смесей
и
со
-
ставляют
15
долларов
за
тонну
.
Цены
на
удобрения
,
по
которым
компания
может
их
реализовать
,
в
настоящее
время
составляют
50
долларов
за
тонну
типа
1
и
55
долларов
для
типа
2.
Необходимо
определить
,
сколько
производить
каждого
типа
смеси
в
этом
месяце
,
чтобы
максимизировать
общую
прибыль
.
Задача
4.
«
Южная
алкогольная
корпорация
»
импортирует
три
сорта
виски
–
ирландское
,
шотландское
и
канадское
.
Виски
смешиваются
со
-
гласно
рецептам
,
устанавливающим
максимум
или
минимум
процентного
содержания
ирландского
и
канадского
в
каждой
смеси
.
Смесь
Спецификация
Цена
на
1/5
галлона
Old Oierhoul
Highband Spec
Young Frezy
Не
меньше
60 %
ирландского
Не
больше
20 %
канадского
Не
больше
60 %
канадского
Не
меньше
15 %
ирландского
Не
больше
50 %
канадского
6,80
5,70
4,50