ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1114
Скачиваний: 18
вило Крамера, метод Гаусса, метод главных элементов, метод квад-
ратных корней и др.
2)
итерационные методы
, позволяющие получать корни системы с
заданной точностью путем сходящихся бесконечных процессов; при-
меры: метод итераций, метод Гаусса-Зейделя, метод релаксации и
т.д.
Точные методы используют конечные формулы для вычисления
неизвестных. Плюсы:
– решение получается после заранее известного числа операций,
– универсальность и простота метода.
Минусы:
– в памяти машины должна находиться вся матрица, поэтому при
больших матрицах это требует большого объема памяти.
– накопление ошибок округления, поскольку на любом этапе исполь-
зуются все предыдущие результаты. Поэтому даже точные методы
на самом деле являются приближенными, при этом затруднительно
76
оценить погрешность.
Итерационные методы – методы последовательного приближения.
Суть состоит в задании начального приближения и последователь-
ности операций, после выполнения которой будут получаться следу-
ющие приближения. Плюсы:
– нет необходимости хранить в памяти машины всю матрицу,
– нет накопления погрешностей, поскольку точность вычисления в
каждой итерации определяется лишь результатом предыдущей ите-
рации.
Минусы:
– эффективность существенно зависит от удачного выбора началь-
ного приближения и быстроты сходимости метода.
77
6.3
Точные (прямые) методы
1. Формулы Крамера.
Для системы
n
линейных уравнений с
n
неизвестными
A
x
=
b
(85)
с невырожденной матрицей
A
∆ = det
A
6
= 0
единственное решение находится умножением (85) слева на матрицу
A
−
1
, т.е.
A
−
1
A
x
=
A
−
1
b
⇒
x
=
A
−
1
b
.
В курсе линейной алгебры показывается, что для неизвестных спра-
ведливы формулы (Крамера)
x
1
=
∆
1
∆
,
x
2
=
∆
2
∆
,
...,
x
n
=
∆
n
∆
(86)
где
∆
i
– определители, получающиеся из определителя системы
∆
заменой его
i
-го столбца столбцом свободных членов
b
.
78
Например, для системы
a
11
x
+
a
12
y
=
b
1
(87)
a
21
x
+
a
22
y
=
b
2
.
(88)
неизвестные записываются следующим образом:
x
= ∆
1
/
∆
,
y
= ∆
2
/
∆
,
(89)
где
∆ =
a
11
a
12
a
21
a
22
,
∆
1
=
b
1
a
12
b
2
a
22
,
∆
2
=
a
11
b
1
a
21
b
2
Т.о., решение системы из
n
уравнений с
n
неизвестными сводится
к вычислению
n
+ 1
определителя порядка
n
. Т.к. вычисление опре-
делителей большого порядка требует выполнения большого объема
арифметических операций, то применение данного метода ограниче-
но.
79
2. Метод Гаусса.
Алгоритм последовательного исключения неизвестных носит на-
звание метода Гаусса. В основе метода лежит приведение матрицы
системы к треугольному виду. Этого можно достичь, последователь-
но исключая неизвестные из уравнений:
– с помощью первого уравнения исключаем
x
1
из второго и всех по-
следующих уравнений системы;
– с помощью второго уравнения исключаем
x
2
из третьего и всех
последующих уравнений системы;
.............
– продолжаем до тех пор, пока в левой части последнего (
n
-го) урав-
нения не останется одно слагаемое с
x
n
. В результате матрица бу-
дет приведена к треугольному виду. Данный процесс носит название
прямого хода метода Гаусса.
Далее решая последнее уравнение, находим
x
n
и подставляем его
в предыдущее уравнение. Затем решаем его, находим
x
n
−
1
и т.д. В
80