ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1115
Скачиваний: 18
терполирование: для заданной функции
f
(
x
)
строится интерполи-
рующая функция
ϕ
(
x
)
, принимающая в заданных точках
x
i
те же
значения
y
i
, что и функция
f
(
x
)
:
ϕ
(
x
i
) =
y
i
,
i
= 0
,
1
, ... n
(26)
причем
x
i
6
=
x
k
при
i
6
=
k
,
x
i
– узлы интерполяции.
Интерполирующая функция может строиться сразу для всего рас-
сматриваемого интервала
x
– глобальная интерполяция, или отдель-
но для разных частей этого интервала – кусочная (локальная) интер-
поляция. Если полученная функция
ϕ
(
x
)
применяется для нахож-
дения значения функции
f
(
x
)
за пределами отрезка, содержащего
узлы, то говорят об экстраполяции.
Рассмотрим использование в качестве функции
ϕ
(
x
)
интерполяци-
онного многочлена
ϕ
(
x
) =
P
m
(
x
) =
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
...
+
a
m
x
m
.
(27)
При глобальной интерполяции мы будем использовать все
n
+1
урав-
нений системы (26), что позволяет найти
n
+ 1
коэффициент, откуда
26
следует, что максимальная степень интерполяционного многочлена
–
m
=
n
:
P
n
(
x
) =
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
...
+
a
n
x
n
.
(28)
Подставляя (28) в (26) получаем:
a
0
+
a
1
x
0
+
a
2
x
2
0
...
+
a
n
x
n
0
=
y
0
a
0
+
a
1
x
1
+
a
2
x
2
1
...
+
a
n
x
n
1
=
y
1
...
(29)
a
0
+
a
1
x
n
+
a
2
x
2
n
...
+
a
n
x
n
n
=
y
n
(29) – система линейных алгебраических уравнений относительно
неизвестных коэффициентов
a
i
. Определитель такой системы – опре-
делитель Вандермонда – отличен от нуля, если среди узлов
x
i
нет
совпадающих. Следовательно, в этом случае система (29) имеет един-
ственное решение. Решив систему (29) построим интерполяционный
многочлен – метод неопределенных коэффициентов.
Недостатки такого метода:
– при большом количестве узлов получается высокая степень мно-
27
гочлена,
– привязка к узлам интерполяции, которые, если они получены в
результате измерений, могут содержать случайные погрешности.
Другой способ – подбор наиболее простой аппроксимирующей функ-
ции, график которой проходит максимально близко от узлов.
Мера отклонения функции
ϕ
(
x
)
от заданной функции
f
(
x
)
:
S
=
n
X
i
=0
|
ϕ
(
x
i
)
−
y
i
|
2
.
(30)
Метод наименьших квадратов состоит в подборе аппроксимирующей
функции так, чтобы
S
было наименьшим.
28
3.2
Интерполирование
Кусочно-линейная интерполяция
КЛИ состоит в том, что заданные точки
(
x
i
, y
i
)
соединяются пря-
молинейными отрезками, и функция
f
(
x
)
приближается ломанной
с вершинами в узлах. Всего имеется
n
интервалов
(
x
i
−
1
, x
i
)
, для
каждого из них интерполяционным многочленом является уравне-
ние прямой, проходящей через две точки.
29
Например, для
i
-го интервала урав-
нение прямой, проходящей через точки
(
x
i
−
1
, y
i
−
1
)
и
(
x
i
, y
i
)
имеет вид:
y
−
y
i
−
1
y
i
−
y
i
−
1
=
x
−
x
i
−
1
x
i
−
x
i
−
1
(31)
Отсюда находим
y
=
a
i
x
+
b
i
,
x
i
−
1
6
x
6
x
i
(32)
a
i
=
y
i
−
y
i
−
1
x
i
−
x
i
−
1
,
b
i
=
y
i
−
1
−
a
i
x
i
−
1
30