ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1095
Скачиваний: 18
Интерполяционный многочлен Ньютона будем искать в следую-
щем виде:
N
(
x
) =
a
0
+
a
1
(
x
−
x
0
) +
a
2
(
x
−
x
0
)(
x
−
x
1
) +
...
+
+
a
n
(
x
−
x
0
)(
x
−
x
1
)
...
(
x
−
x
n
−
1
)
(39)
График многочлена должен проходить через заданные узлы, т.е
N
(
x
i
) =
y
i
i
= 0
,
1
, ..., n
. Для нахождения коэффициентов много-
члена получаем систему
N
(
x
0
) =
a
0
=
y
0
,
N
(
x
1
) =
a
0
+
a
1
(
x
1
−
x
0
) =
a
0
+
a
1
h
=
y
1
,
N
(
x
2
) =
a
0
+
a
1
(
x
2
−
x
0
) +
a
2
(
x
2
−
x
0
)(
x
2
−
x
1
) =
=
a
0
+ 2
a
1
h
+ 2
a
2
h
2
=
y
2
,
....
Отсюда находим коэффициенты
a
i
:
a
0
=
y
0
,
a
1
=
y
1
−
a
0
h
=
y
1
−
y
0
h
=
∆
y
0
h
36
a
2
=
y
2
−
a
0
−
2
a
1
h
2
h
2
=
y
2
−
a
0
−
2∆
y
0
2
h
2
=
∆
2
y
0
2
h
2
...
a
k
=
∆
k
y
0
k
!
h
k
,
k
= 0
,
1
,
2
, ..., n.
Подставляя в (39), получаем
N
(
x
) =
y
0
+
∆
y
0
h
(
x
−
x
0
) +
∆
2
y
0
2!
h
2
(
x
−
x
0
)(
x
−
x
1
) +
...
+
+
∆
n
y
0
n
!
h
n
(
x
−
x
0
)(
x
−
x
1
)
...
(
x
−
x
n
−
1
)
(40)
Если ввести переменную
t
=
x
−
x
0
h
, то
x
=
x
0
+
th,
x
−
x
1
h
=
x
−
x
0
−
h
h
=
t
−
1
x
−
x
2
h
=
t
−
2
,
...,
x
−
x
n
−
1
h
=
t
−
n
+ 1
37
В результате получаем
N
(
x
) =
N
(
x
0
+
th
) =
y
0
+
t
∆
y
0
+
t
(
t
−
1)
2!
∆
2
y
0
+
...
+
+
t
(
t
−
1)
...
(
t
−
n
+ 1)
n
!
∆
n
y
0
(41)
Полученное выражение называется первым интерполяционным мно-
гочленом Ньютона для интерполирования вперед. Оно справедливо
на всем отрезке
[
x
0
, x
n
]
, но для уменьшения ошибок округления ра-
зумно использовать его только для левой половины рассматривае-
мого отрезка.
Полученная формула для интерполирования вперед практически
неудобна для интерполирования функции вблизи конца отрезка. В
этом случае используют формулу для многочлена Ньютона для ин-
терполирования назад, которую мы сейчас и получим.
38
Интерполирующий полином запишем в следующем виде:
N
(
x
) =
a
0
+
a
1
(
x
−
x
n
) +
a
2
(
x
−
x
n
)(
x
−
x
n
−
1
) +
...
+
a
n
(
x
−
x
x
)(
x
−
x
n
−
1
)
...
(
x
−
x
1
)
.
(42)
Из условия совпадения значения многочлена и функции в узлах на-
ходим
N
(
x
n
) =
y
n
⇒
a
0
=
y
n
N
(
x
n
−
1
) =
y
n
−
1
⇒
y
n
+
a
1
(
−
h
) =
y
n
−
1
⇒
a
1
=
y
n
−
y
n
−
1
h
=
∆
y
n
−
1
h
Аналогично находим
a
2
=
y
n
−
2
y
n
−
1
+
y
n
−
2
2
h
2
=
∆
2
y
n
−
2
2
h
2
и в общем случае, применяя метод математической индукции можно
строго доказать, что
a
k
=
∆
k
y
n
−
k
k
!
h
k
.
39
Подставляя найденные коэффициенты в (42), получаем
N
(
x
) =
y
n
+
∆
y
n
−
1
1!
h
(
x
−
x
n
) +
∆
2
y
n
−
2
2!
h
2
(
x
−
x
n
)(
x
−
x
n
−
1
) +
...
+
∆
n
y
0
n
!
h
n
(
x
−
x
n
)
...
(
x
−
x
1
)
.
(43)
Делая замену
t
=
x
−
x
n
h
, окончательно находим
N
(
x
) =
N
(
x
n
+
th
) =
y
n
+
t
∆
y
n
−
1
+
t
(
t
+ 1)
2!
∆
2
y
n
−
2
+
...
+
+
t
(
t
+ 1)
...
(
t
+
n
−
1)
n
!
∆
n
y
0
(44)
Соотношение (44) – второй интерполяционный многочлен Ньютона
для интерполирования назад.
Отметим, что существует один и только один интерполяционный
многочлен при заданном наборе узлов интерполяции. Формулы Лагран-
жа, Ньютона и др. порождают один и тот же многочлен, разница
40