ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1094
Скачиваний: 18
состоит в алгоритме их построения.
3.3
Точность интерполяции
Значения интерполяционного многочлена
y
=
ϕ
(
x
)
и рассматрива-
емой функции
y
=
f
(
x
)
в узлах
x
=
x
i
,
(
i
= 0
,
1
, ..., n
)
в точности
совпадают. Если исследуемая функция — многочлен степени
n
, то
f
(
x
)
≡
ϕ
(
x
)
. В остальных случаях разность
R
(
x
) =
f
(
x
)
−
ϕ
(
x
)
6
= 0
Очевидно, что
R
(
x
)
есть погрешность интерполяции и носит назва-
ние — остаточный член интерполяционной формулы. Можно пока-
зать, что остаточный член интерполяционного многочлена Лагран-
жа имеет вид
R
L
(
x
) =
(
x
−
x
0
)(
x
−
x
1
)
...
(
x
−
x
n
)
(
n
+ 1)!
f
(
n
+1)
(
x
0
)
(45)
41
В этой формуле
f
(
n
+1)
(
x
0
)
– производная
(
n
+1)
- го порядка функ-
ции
f
(
x
)
в некоторой точке
x
0
∈
[
x
0
, x
n
]
. Из анализа (45) следует,
что погрешность интерполяции тем выше, чем ближе точка
x
лежит
к концам отрезка
[
x
0
, x
n
]
. Если же использовать интерполяционный
многочлен вне отрезка
[
x
0
, x
n
]
, то погрешность возрастает очень за-
метно.
Остаточный член интерполяцинного многочлена Ньютона для слу-
чая равноотстоящих узлов следует из (45):
R
N
(
x
) =
t
(
t
−
1)
...
(
t
−
n
)
(
n
+ 1)!
f
(
n
+1)
(
x
0
)
h
n
+1
,
t
=
x
−
x
0
h
.
(46)
Из вида остаточного члена следует, что повышение степени ин-
терполяционного многочлена уменьшает погрешность, однако из-за
неясного поведения
f
(
n
+1)
(
x
)
возможны проблемы. Поэтому на прак-
тике для повышения точности целесообразно уменьшать шаг и выби-
рать специальное расположение узлов (например, сгущая их к кон-
цам отрезка). При этом как правило стараются использовать много-
42
члены малой степени.
3.4
Сплайны
В настоящее время для интерполяции широко используются куби-
ческие сплайн-функции (сплайны), представляющие собой специаль-
ным образом построенные многочлены третьей степени. Они пред-
ставляют собой математическую модель гибкого тонкого стержня,
закрепленного между узлам интерполяции при условии минимума
его потенциальной энергии. Общий вид сплайна:
S
i
(
x
) =
a
i
+
b
i
(
x
−
x
i
−
1
) +
c
i
(
x
−
x
i
−
1
)
2
+
d
i
(
x
−
x
i
−
1
)
3
(47)
на отрезке
x
i
−
1
6
x
6
x
i
. Неизвестных коэффициентов
a
i
, b
i
, c
i
, d
i
возникает
4
n
штук, и для их нахождения надо столько же уравнений.
Условия прохождения графика
S
i
через узлы
S
i
(
x
i
−
1
) =
y
i
−
1
,
S
i
(
x
i
) =
y
i
,
i
= 1
,
2
, ..., n
43
дают
2
n
уравнений. Еще
2
n
−
2
возникают из условий непрерывности
первых и вторых производных во внутренних узлах интерполяции:
S
0
i
(
x
i
) =
S
0
i
+1
(
x
i
)
,
S
00
i
(
x
i
) =
S
00
i
+1
(
x
i
)
,
i
= 1
,
2
, ..., n
−
1
И последние два уравнения получают из условия закрепления кон-
цов сплайна
S
0
(
x
0
) =
k
1
,
S
0
(
x
n
) =
k
2
или
S
00
(
x
0
) =
m
1
,
S
00
(
x
n
) =
m
2
причем
k
1
и
k
2
определяют угол наклона сплайна в точках закреп-
ления, а
m
1
и
m
2
– кривизну в точках закрепления. При свободном
закреплении
m
1
=
m
2
= 0
и полученная таким образом функция называется свободным куби-
ческим сплайном.
44
4
Численное дифференцирование
Производной функции
y
=
f
(
x
)
называется предел отношения при-
ращения функции
∆
y
к приращению аргумента
∆
x
при
∆
x
→
0
:
y
0
=
f
0
(
x
) = lim
∆
x
→
0
f
(
x
+ ∆
x
)
−
f
(
x
)
∆
x
= lim
∆
x
→
0
∆
y
∆
x
(48)
В случае если функция задана в виде таблицы, для вычисления
производной используется приближенное равенство
y
0
≈
∆
y
∆
x
(49)
Эта формула называется аппроксимацией производной с помощью
конечных разностей.
С помощью левых разностей производная может быть записана
следующим образом
∆
y
1
=
y
1
−
y
0
,
∆
x
=
h,
y
0
1
≈
y
1
−
y
0
h
,
(50)
45