ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1098
Скачиваний: 18
с помощью правых разностей
∇
y
1
=
y
2
−
y
1
,
∆
x
=
h,
y
0
1
≈
y
2
−
y
1
h
,
(51)
с помощью центральных
δy
1
=
y
2
−
y
0
,
∆
x
= 2
h,
y
0
1
≈
y
2
−
y
0
2
h
,
(52)
Аналогично можно вычислить старшие производные
y
00
1
= (
y
0
1
)
0
≈
y
0
2
−
y
0
1
h
≈
(
y
2
−
y
1
)
/h
−
(
y
1
−
y
0
)
/h
h
=
y
2
−
2
y
1
+
y
0
h
Для вычисления производных могут использоваться интерполяци-
онные формулы. Например, в случае интерполяционного многочлена
Ньютона:
dN
dx
=
dN
dt
dt
dx
=
1
h
dN
dt
(53)
Найдя в явном виде производную
dN
dt
, получим формулу для вычис-
ления производной функции. Также можно для этих целей восполь-
зоваться многочленом Лагранжа.
46
5
Численное интегрирование
Пусть на отрезке
[
a, b
]
задана функция
y
=
f
(
x
)
. Разобьем отрезок
на
n
элементарных отрезков
[
x
i
−
1
, x
i
]
(
i
= 1
,
2
, ..., n
). На каждом
из этих отрезков выберем произвольную точку
ξ
i
и составим сумму
произведений значения функции
f
(
ξ
i
)
на длину отрезка
∆
x
i
:
S
n
=
n
X
i
=1
f
(
ξ
i
)∆
x
i
(54)
S
n
– интегральная сумма.
Определенным интегралом от функции
f
(
x
)
на отрезке
[
a, b
]
назы-
вается предел интегральной суммы при неограниченном увеличении
числа точек разбиения, так что длина наибольшего отрезка стремит-
ся к нулю:
b
Z
a
f
(
x
)
dx
=
lim
max
∆
x
i
→
0
n
X
i
=1
f
(
ξ
i
)∆
x
i
(55)
47
Во многих случаях, если подынтегральная функция задана в ана-
литическом виде, интеграл вычисляется непосредственно по форму-
ле Ньютона-Лейбница:
b
Z
a
f
(
x
)
dx
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
(56)
Но реально воспользоваться этой формулой получается не всегда.
Основные причины:
вид функции
f
(
x
)
не позволяет выразить первообразную в элемен-
тарных функциях
аналитический вид функции
f
(
x
)
неизвестен, известны значения
функции в фиксированных точках. В этих случаях используются
приближенные методы интегрирования и, прежде всего, численные.
Задача численного интегрирования функции заключается в вычис-
лении значения определенного интеграла на основании ряда значе-
ний подынтегральной функции. Численное вычисление однократно-
48
го интеграла называют квадратурой, двойного — кубатурой.
В случае однократного интеграла подынтегральную функцию
f
(
x
)
заменяют на рассматриваемом отрезке
[
a, b
]
интерполирующей или
аппроксимирующей функцией
ϕ
(
x
)
, а затем приближенно полагают
b
Z
a
f
(
x
)
dx
≈
b
Z
a
ϕ
(
x
)
dx
(57)
причем интеграл в правой части равенства (57) вычисляется непо-
средственно. В результате находим
b
Z
a
ϕ
(
x
)
dx
=
n
X
i
=0
α
i
y
i
.
(58)
49
Т.о., мы получили, что
b
Z
a
f
(
x
)
dx
≈
n
X
i
=0
α
i
y
i
.
(59)
Здесь
y
i
– значения функции в узлах интерполяции,
α
i
– числовые
коэффициенты. Формула (59) носит название квадратурная форму-
ла, правая часть – квадратурная сумма.
В зависимости от способа ее вычисления возникают разные методы
численного интегрирования – прямоугольника, трапеций, парабол,
сплайнов и т.д.
Квадратурная формула (59) может быть записана в другом виде
b
Z
a
f
(
x
)
dx
≈
n
X
i
=0
σ
i
(60)
где
σ
i
– приближенное значение площади элементарной криволиней-
ной трапеции, соответствующей отрезку
[
x
i
−
1
, x
i
]
.
50