ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1099
Скачиваний: 18
В случае, если в качестве
ϕ
(
x
)
взять многочлен Лагранжа, постро-
енный на
n
+ 1
равноотстоящих узлах, то полученные с его помощью
значения коэффициентов
α
i
в (59) вместе с самой формулой (59) об-
разуют т.н. формулы Ньютона-Котеса.
5.1
Метод прямоугольников
Метод прямоугольников предполагает замену интеграла интеграль-
ной суммой
b
Z
a
f
(
x
)
dx
≈
n
X
i
=1
f
(
ξ
i
)∆
x
i
(61)
Под
ξ
может пониматься как левая, так и правая граница элемен-
тарных отрезков:
ξ
i
=
x
i
−
1
или
ξ
i
=
x
i
.
51
Соответствующие формулы метода прямоугольников
b
Z
a
f
(
x
)
dx
≈
h
1
y
0
+
h
2
y
1
+
...
+
h
n
y
n
−
1
(62)
b
Z
a
f
(
x
)
dx
≈
h
1
y
1
+
h
2
y
2
+
...
+
h
n
y
n
(63)
где
h
i
=
x
i
−
x
i
−
1
.
Более точным метод прямоугольников становится, если использо-
вать значения функции в средних точках элементарных отрезков
b
Z
a
f
(
x
)
dx
≈
n
X
i
=1
h
i
f
(
x
i
−
1
/
2
)
,
(64)
где
x
i
−
1
/
2
=
x
i
−
1
+
x
i
2
=
x
i
−
1
+
h
i
2
52
Последняя формула отражает метод средних.
5.2
Метод трапеций
Метод прямоугольников соответствует
кусочно постоянной интерполяции: на
каждом отрезке функция заменяется по-
стоянной. Метод трапеций использует
линейную интерполяцию – на каждом
отрезке функция заменятся линейной
функцией, в результате получаем ломан-
ную, соединяющую узлы. В результате
значение интеграла представляется как
сумма площадей элементарных трапе-
ций. Площадь каждой трапеции
σ
i
=
y
i
−
1
+
y
i
2
h
i
,
i
= 1
, ..., n.
53
В результате формула трапеций для численного интегрирования
имеет вид
b
Z
a
f
(
x
)
dx
≈
1
2
n
X
i
=1
h
i
(
y
i
−
1
+
y
i
)
.
(65)
В случае постоянного шага формула трапеций принимает вид
b
Z
a
f
(
x
)
dx
≈
h
y
0
+
y
n
2
+
h
n
−
1
X
i
=1
y
i
.
(66)
Очевидно, что погрешность формул прямоугольников и трапеций
определяется шагом интегрирования. С уменьшением шага увели-
чивается точность вычисления интеграла. Если увеличение числа
точек невозможно (функция задана в табличном виде), повышения
точности можно достичь увеличивая степень используемых интер-
поляционных многочленов.
54
5.3
Метод Симпсона
Разобьем отрезок интегрирования
[
a, b
]
на четное число равных ча-
стей с шагом
h
:
[
x
0
, x
2
]
,
[
x
2
, x
4
]
,...,
[
x
i
−
1
, x
i
+1
]
,...,
[
x
n
−
2
, x
n
]
,
n
– чет-
ное число. На каждом отрезке подынтегральную функцию заменим
интерполяционным многочленом второй степени:
f
(
x
)
≈
ψ
i
(
x
) =
a
i
x
2
+
b
i
x
+
c
i
В качестве
ψ
i
(
x
)
можно взять интерполяционный многочлен Лагран-
жа, проходящий через точки
(
x
i
−
1
, y
i
−
1
)
,
(
x
i
, y
i
)
,
(
x
i
+1
, y
i
+1
)
:
ψ
i
(
x
) =
(
x
−
x
i
)(
x
−
x
i
+1
)
(
x
i
−
1
−
x
i
)(
x
i
−
1
−
x
i
+1
)
y
i
−
1
+
+
(
x
−
x
i
−
1
)(
x
−
x
i
+1
)
(
x
i
−
x
i
−
1
)(
x
i
−
x
i
+1
)
y
i
+
(
x
−
x
i
−
1
)(
x
−
x
i
)
(
x
i
+1
−
x
i
−
1
)(
x
i
+1
−
x
i
)
y
i
+1
=
=
1
2
h
2
{
(
x
−
x
i
)(
x
−
x
i
+1
)
y
i
−
1
−
2(
x
−
x
i
−
1
)(
x
−
x
i
+1
)
y
i
+
+(
x
−
x
i
−
1
)(
x
−
x
i
)
y
i
+1
}
(67)
55