ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 551
Скачиваний: 1
Функция распределения. Примеры
Пример 3.
Пусть один раз подбрасывается монета. Если выпал “орел”, то на этом
опыт заканчивается. Если выпала “решка”, то на отрезок
[0
,
1]
наудачу
бросается точка. Пространство элементарных событий:
Ω =
{
орел
; (
решка
,
u
)
}
,
0
6
u
6
1
,
σ
-алгебра
F
порождается событиями
{
орел
}
;
{
(
решка
,
u
) :
a
6
u
<
b
}
,
0
6
a
6
b
6
1
.
Пусть вероятности равны:
P
(
{
орел
}
) =
1
2
,
P
(
{
(
решка
,
u
) :
a
6
u
<
b
}
) =
b
−
a
2
.
Рассмотрим случайную величину
X
:
X
(
орел
) =
−
1
,
X
(
решка
,
u
) =
u
.
(ФКН ВГУ)
36 / 67
Функция распределения. Примеры
Пример 3 (продолжение).
Так как
(
X
<
x
) =
∅
,
x
6
−
1
,
{
орел
}
,
−
1
<
x
6
0
,
{
орел
}
+
{
(
решка
,
u
) : 0
6
u
<
x
}
,
0
<
x
6
1
,
то
F
(
x
) =
0
,
x
6
−
1
,
1
/
2
,
−
1
<
x
6
0
,
(
x
+ 1)
/
2
,
0
<
x
6
1
.
(ФКН ВГУ)
37 / 67
Функция распределения. Свойства
F
(
−∞
) = 0
,
F
(+
∞
) = 1
.
Теорема:
1
Если
x
1
<
x
2
,
то
F
(
x
1
)
6
F
(
x
2
)
.
2
lim
x
→−∞
F
(
x
) =
F
(
−∞
) = 0
;
lim
x
→
+
∞
F
(
x
) =
F
(+
∞
) = 1
.
3
lim
x
→
x
0
−
0
F
(
x
) =
F
(
x
0
)
(непрерывность слева).
Доказательство на лекции. См. также, например, Чистяков В.П. Курс
теории вероятностей.
Любая функция
G
(
x
)
, обладающая тремя свойствами, указанными в
теореме, является функцией распределения некоторой случайной
величины.
(ФКН ВГУ)
38 / 67
Случайная величина
X
называется
величиной дискретного типа
, если
существует конечное или счетное множество чисел
x
1
,
x
2
, . . . ,
x
n
, . . .
(без
предельных точек) таких, что
P
(
X
=
x
n
) =
p
n
>
0
,
n
= 1
,
2
, . . .
;
∞
X
n
=1
p
n
= 1
.
Для дискретной случайной величины закон распределения полностью
определяется указанием значений
x
n
,
n
= 1
,
2
, . . .
, и вероятностей
p
n
, с
которыми эти значения принимает
X
.
F
(
x
)
— ступенчатая; скачок в точке
x
n
равен
p
n
.
(ФКН ВГУ)
39 / 67
Случайная величина
X
называется
величиной абсолютно непрерывного
типа
, если существует неотрицательная функция
f
(
x
)
такая, что
∀
x
F
(
x
) =
P
(
X
<
x
) =
Z
x
−∞
f
(
x
′
)
dx
′
.
Функция
f
(
x
)
называется
плотностью распределения вероятностей
.
P
(
a
6
X
<
b
) =
Z
b
a
f
(
x
)
dx
P
(
X
=
a
) = lim
n
→∞
P
a
6
X
<
a
+
1
n
= lim
n
→∞
Z
a
+1
/
n
a
f
(
x
)
dx
= 0
P
(
a
6
X
6
b
) =
P
(
a
<
X
6
b
) =
P
(
a
6
X
<
b
) =
P
(
a
<
X
<
b
)
Если
x
— точка непрерывности
f
(
x
)
, то при
∆
x
→
0
P
(
x
<
X
<
x
+ ∆
x
) =
f
(
x
)∆
x
+
o
(∆
x
)
(ФКН ВГУ)
40 / 67