ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 507
Скачиваний: 1
Плотность распределения вероятностей. Свойства
1
f
(
x
)
>
0
,
−∞
<
x
<
∞
;
2
Z
∞
−∞
f
(
x
)
dx
= 1
;
3
F
′
(
x
) =
f
(
x
)
в точках непрерывности
f
(
x
)
.
Плотность распределения полностью определяет распределение случайной
величины.
Плотность распределения абсолютно непрерывной величины непрерывна.
(ФКН ВГУ)
41 / 67
Плотность распределения вероятностей. Примеры
Нормальное распределение
f
(
x
) =
1
√
2
πσ
exp
−
(
x
−
a
)
2
/
(2
σ
2
)
,
−∞
<
a
<
∞
;
σ >
0
.
Случайная величина называется нормально распределенной с параметрами
(
a
, σ
)
.
Показательное распределение
f
(
x
) =
α
e
−
α
x
,
x
>
0
,
0
,
x
6
0
.
Равномерное распределение
f
(
x
) =
(
1
b
−
a
,
x
∈
[
a
,
b
]
,
0
,
x
/
∈
[
a
,
b
]
,
a
<
b
.
(ФКН ВГУ)
42 / 67
Примеры дискретных распределений
Биномиальное распределение
P
(
X
=
m
) =
C
m
n
p
m
(1
−
p
)
n
−
m
,
0
<
p
<
1;
m
= 0
,
1
, . . . ,
n
.
Пуассоновское распределение
P
(
X
=
m
) =
λ
m
m
!
e
−
λ
,
m
= 0
,
1
, . . .
;
λ >
0
.
Геометрическое распределение
P
(
X
=
m
) = (1
−
p
)
m
−
1
p
,
m
= 0
,
1
, . . .
;
0
<
p
<
1
.
Гипергеометрическое распределение
P
(
X
=
m
) =
C
m
M
C
n
−
m
N
−
M
C
n
N
,
m
= 0
,
1
, . . . ,
min(
M
,
n
)
.
(ФКН ВГУ)
43 / 67
Совместные распределения нескольких случайных величин
Пусть на вероятностном пространстве
(Ω
,
F
,
P
)
заданы случайные величины
X
1
=
X
1
(
ω
)
,
X
2
=
X
2
(
ω
)
, . . . ,
X
n
=
X
n
(
ω
)
,
ω
∈
Ω
.
Каждому
ω
=
⇒
n
-мерный вектор.
Определение
Функцию от переменных
x
1
, . . . ,
x
n
:
F
X
1
...
X
n
(
x
1
, . . . ,
x
n
) =
P
(
X
1
<
x
1
, . . . ,
X
n
<
x
n
)
,
назовем
многомерной функцией распределения
случайного вектора
(
X
1
, . . . ,
X
n
)
.
(ФКН ВГУ)
44 / 67
Совместные распределения нескольких случайных величин
Свойства многомерной функции распределения
F
X
1
...
X
n
(
x
1
, . . . ,
x
n
)
монотонна по каждому аргументу,
lim
x
1
→
+
∞
,...,
x
n
→
+
∞
F
X
1
...
X
n
(
x
1
, . . . ,
x
n
) = 1
,
lim
x
k
→−∞
F
X
1
...
X
n
(
x
1
, . . . ,
x
n
) = 0
,
lim
x
n
→
+
∞
F
X
1
...
X
n
(
x
1
, . . . ,
x
n
) =
F
X
1
...
X
n
−
1
(
x
1
, . . . ,
x
n
−
1
)
.
Аналогичное свойство выполняется при переходе к пределу по любому
аргументу.
Случайный вектор дискретного типа
∃
~
x
k
= (
x
k
1
,
x
k
2
, . . . ,
x
kn
)
,
k
= 1
,
2
, . . .
:
P
(
X
1
=
x
k
1
, . . . ,
X
n
=
x
kn
) =
p
x
k
1
x
k
2
···
x
kn
,
X
(
x
,...,
x
)
p
x
k
1
···
x
kn
= 1
.
(ФКН ВГУ)
45 / 67