ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3479
Скачиваний: 14
102
Глава 3. Линейная алгебра
Упражнения к § 16
1. Докажите, что последовательность
x
k
= (
x
k
1
, x
k
2
,
· · ·
, x
kn
)
, k
≥
1
из
K
n
(где
K
=
R
или
K
=
C
) сходится к вектору
x
0
= (
x
0
k
) = (
x
01
, x
02
,
· · ·
, x
0
n
)
по одной из норм в
K
n
(см. пример
4) тогда и только тогда, когда каждая числовая последовательность
(
x
kj
)
⊂
K,
(1
≤
j
≤
n
)
сходится к
x
0
j
.
2. Будет ли фундаментальной в
C
[0
,
1]
(см. пример 5) последовательность
функций: a)
ϕ
n
(
t
) =
t
n
, n
≥
1
,
б)
f
n
(
t
) = sin
1
n
t, n
≥
1?
3. Сходятся ли в пространство
C
[0
,
1]
следующие последовательности: а)
x
n
(
t
) =
t
n
−
t
n
+1
;
б)
y
n
(
t
) =
t
n
+
t
2
n
;
в)
t
n
+1
n
+1
−
t
n
+2
n
+2
, n
≥
1?
4. Найдите предел последовательности функций
ϕ
n
(
t
) = cos
1
n
t
в
C
[0
,
1]
.
5. Докажите неравенство
|||
x
|| − ||
y
||| ≤ ||
x
−
y
||
для любой пары векторов
из линейного нормированного пространства
X.
6. Пусть в конечномерном линейном пространстве
X
введены две нормы
|| · ||
1
,
|| · ||
2
.
Докажите существование таких констант
r
1
, r
2
>
0
,
что
имеют место включения
B
2
(0
, r
1
)
⊂
B
1
(0
,
1)
⊂
B
2
(0
, r
2
)
,
где
B
1
(0
,
1)
– шар относительно первой нормы и
B
2
(0
, r
)
– шар относи-
тельно второй нормы.
7. Для
f
∈ P
n
(
C
)
положим
||
f
||
= max
1
≤
k
≤
m
|
f
(
z
k
)
|
.
Для каких комплексных
чисел
z
1
, . . . , z
m
эта формула определяет норму на
P
n
(
C
)?
8. Докажите, что последовательность
x
n
из
(
X, ρ
)
фундаментальная тогда
и только тогда, когда
lim
k,m
→∞
ρ
(
x
n
, x
m
) = 0
.
§
17. Пространства со скалярным произведением.
Евклидовы пространства
В предыдущем параграфе мы рассматривали линейные нормированные
пространства, т.е. линейные пространства, в которых введено понятие длины
вектора (и, значит, расстояния между векторами). Однако до сих пор не было
введено понятий угла между двумя векторами, перпендикулярных векторов
§
17
.
Пространства со скалярным произведением. Евклидовы пространства
103
и других важных геометрических понятий. Все это оказывается возможным
в линейных пространствах со скалярным произведением. Именно рассмотре-
нию таких пространств посвящен данный параграф.
Определение 1.
Пусть поле
K
есть либо
R
, либо
C
.
Линейное про-
странство
H
над полем
K
называется
пространством со скалярным произ-
ведением
, если задана функция
ϕ
:
H
×
H
→
K
(значение
ϕ
(
x, y
)
функции
ϕ
на каждой паре векторов
x, y
из
H
обозначается символом
(
x, y
)
), которая
удовлетворяет следующим свойствам (аксиомам):
1)
(
x, x
)
≥
0
,
(
x, x
) = 0
⇐⇒
x
= 0;
2)
(
x
+
y, z
) = (
x, z
) + (
y, z
);
3)
(
αx, y
) =
α
(
x, y
);
4)
(
x, y
) = (
y, x
)
,
для любых
α
∈
K
и
x, y, z
∈
H.
Число
(
x, y
)
называется
скалярным произ-
ведением
векторов
x
и
y
.
Ясно, что при
K
=
R
условие 4) выглядит так:
(
x, y
) = (
y, x
)
.
Из свойств
3) и 4) получим, что имеет место свойство
3
0
)(
x, αy
) =
α
(
x, y
)
(см.задачу 1),
а из свойств 2) и 4) следует, что верно свойство
2
0
)(
x, y
+
z
) = (
x, y
) + (
x, z
)
.
Определение 2.
Конечномерное линейное пространство со скалярным
произведением называется
евклидовым пространством
.
Рассмотрим примеры пространств со скалярным произведением и, в
частности, евклидовых пространств.
Пример 1.
Линейное пространство
V
3
свободных векторов физического
пространства является трехмерным евклидовым пространством. Скалярное
произведение векторов
a, b
∈
V
3
задается равенством
(
a, b
) =
|
a
||
b
|
cos ϕ,
где
|
a
|
,
|
b
|
– длины векторов
a, b
и
ϕ
– угол между векторами
a
и
b
. Свойства
скалярного произведения доказываются в
аналитической геометрии
.
Пример 2.
Рассмотрим линейное пространство
K
n
, где
K
=
R
,
либо
K
=
C
. Для любой пары векторов
x
= (
x
1
,
· · ·
, x
n
)
, y
= (
y
1
,
· · ·
, y
n
)
∈
K
n
их скалярное произведение определяется формулой
(
x, y
) =
n
X
i
=1
x
i
y
i
( =
n
X
i
=1
x
i
y
i
, K
=
R
)
.
Легко проверяется, что
K
n
является евклидовым пространством.
Пример 3.
Рассмотрим комплексное (вещественное) линейное простран-
104
Глава 3. Линейная алгебра
ство
C
[
a, b
]
и для любых двух функций
x, y
∈
C
[
a, b
]
положим
(
x, y
) =
b
Z
a
x
(
t
)
y
(
t
)
dt
( =
b
Z
a
x
(
t
)
y
(
t
)
dt, K
=
R
)
.
Отметим, что если
z
∈
C
[
a, b
]
– комплекснозначная функция, то по опреде-
лению
b
Z
a
z
(
t
)
dt
=
b
Z
a
Rez
(
t
)
dt
+
i
b
Z
a
Imz
(
t
)
dt.
Из известных свойств интеграла получаем выполнение всех свойств скаляр-
ного произведения (проверьте !). Итак,
C
[
a, b
]
– бесконечномерное простран-
ство со скалярным произведением.
Пример 4.
Формула
(
x, y
) =
w
Z
0
x
(
t
)
y
(
t
)
dt
задает скалярное произведение в
C
w
.
Пример 5.
В пространстве
P
n
(
C
)
определим скалярное произведение с
помощью формулы
(
f, g
) =
n
X
k
=0
f
k
g
k
,
если
f
(
z
) =
f
0
+
f
1
z
+
· · ·
+
f
n
z
n
, g
(
z
) =
g
0
+
g
1
z
+
· · ·
+
g
n
z
n
.
В том же
линейном пространстве используется также скалярное произведение вида
(
f, g
)
1
=
b
Z
a
f
(
t
)
g
(
t
)
dt,
где
a, b
– фиксированные числа из
R
,
причем
a < b.
Замечание 1.
Каждое пространство
H
со скалярным произведением
можно сделать нормированным, если положить
||
x
||
=
p
(
x, x
)
, x
∈
H.
Первые две аксиомы нормы непосредственно следуют из свойств 1) и 3)
скалярного произведения, а выполнение третьей аксиомы нормы проверим
несколько позже.
В применении к пространствам из примеров 1) - 5) получим в соответ-
ствующих пространствах следующие нормы
§
17
.
Пространства со скалярным произведением. Евклидовы пространства
105
||
x
||
=
n
P
i
=1
|
x
i
|
2
1
/
2
(евклидова норма в
C
n
);
||
x
||
=
b
R
a
|
x
(
t
)
|
2
dt
!
1
/
2
(норма в
C
[
a, b
]
и
P
n
);
||
x
||
=
w
R
0
|
x
(
t
)
|
2
dt
1
/
2
(
норма в
C
w
)
||
f
||
=
n
P
k
=0
|
f
k
|
2
1
/
2
(
норма в
P
n
)
.
Далее символом
H
обозначается линейное пространство со скалярным
произведением.
Определение 3.
Два вектора
x, y
из
H
называются
ортогональными
(перпендикулярными),
если их скалярное произведение
(
x, y
)
равно нулю (в
этом случае будет использовано обозначение
x
⊥
y
).
Т е о р е м а 1 (теорема Пифагора)
. Если векторы
x, y
∈
H
пер-
пендикулярны, то имеет место равенство
||
x
+
y
||
2
=
||
x
||
2
+
||
y
||
2
.
Доказательство.
Из определения нормы и свойств скалярного произ-
ведения следуют равенства
||
x
+
y
||
2
= (
x
+
y, x
+
y
) = (
x, x
) + (
x, y
) + (
y, x
) + (
y, y
) =
||
x
||
2
+
||
y
||
2
.
Определение 4.
Подмножество
M
из
H
называется
ортонормирован-
ным
, если выполнены условия: 1)
||
x
||
= 1
∀
x
∈
M
; 2)
(
x, y
) = 0
∀
x, y
∈
M,
x
6
=
y.
Лемма 1.
Пусть
{
e
1
,
· · ·
, e
m
}
– конечное ортонормированное множе-
ство из
H
. Тогда для любых двух векторов
x, y
∈
H
вида
x
=
m
P
i
=1
α
i
e
i
,
y
=
m
P
i
=1
β
i
e
i
имеет место равенство
(
x, y
) =
m
X
i
=1
α
i
β
i
.
Доказательство.
Используя свойства векторов из ортонормированного
множества, получаем следующие равенства
(
x, y
) =
m
X
i
=1
α
i
e
i
,
m
X
j
=1
β
j
e
j
!
=
m
X
i
=1
(
α
i
e
i
, β
i
e
i
) =
m
X
i
=1
α
i
β
i
(
e
i
, e
i
) =
m
X
i
=1
α
i
β
i
.
106
Глава 3. Линейная алгебра
Следствие 1.
Пусть
x
=
m
P
i
=1
α
i
e
i
– вектор из условий леммы 1. Тогда
||
x
||
2
=
m
P
i
=1
|
α
i
|
2
.
Следствие 2.
Векторы из ортонормированного множества
e
1
,
· · ·
, e
n
линейно независимы.
Доказательство.
Если
n
P
i
=1
α
i
e
i
= 0
,
то из следствия 1 получаем
0 =
n
P
i
=1
|
α
i
|
2
.
Определение 5.
Базис
e
1
,
· · ·
, e
m
из евклидова пространства
H
назы-
вается
ортонормированным
, если векторы
e
1
,
· · ·
, e
m
образуют ортонорми-
рованное множество.
Пример 6.
Обычный базис
e
1
= (1
,
0
,
· · ·
,
0)
,
· · ·
, e
n
= (0
,
0
,
· · ·
,
1)
из
евклидова пространства
K
n
(пример 1) является ортонормированным.
Пример 7.
Функция
e
k
(
t
) =
1
√
w
e
i
2
πk
w
t
, k
= 0
,
±
1
,
· · ·
,
±
n
образуют ортонормированный базис в подпространстве
T
n,w
из пространства
C
w
(см. пример 4).
Т е о р е м а 2.
Пусть
H
– евклидово пространство и
e
1
,
· · ·
, e
n
–
ортонормированный базис в
H
, тогда для любого вектора
x
∈
H
справедливо
равенство
x
=
n
X
i
=1
(
x, e
i
)
e
i
.
Доказательство.
Пусть
x
=
n
P
i
=1
α
i
e
i
– разложение вектора
x
по базису
e
1
,
· · ·
, e
n
. Тогда
(
x, e
k
) =
n
P
i
=1
α
i
e
i
, e
k
=
α
k
.
Числа
(
x, e
k
)
, k
= 1
,
· · ·
, n
называются
коэффициентами Фурье
вектора
x
.
Следствие.
Любая функция
ϕ
из
T
n,w
представима в виде
ϕ
(
t
) =
n
X
k
=
−
n
ϕ
k
exp
i
2
πk
w
t
, t
∈
R
,
где
ϕ
k
=
1
w
w
R
0
ϕ
(
t
)
exp
−
i
2
π kt
w
dt,
−
n
≤
k
≤
n.
Числа
ϕ
k
,
−
n
≤
k
≤
n
называются
коэффициентами Фурье
функции
ϕ.