ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3483
Скачиваний: 14
§
17
.
Пространства со скалярным произведением. Евклидовы пространства
107
Определение 6.
Пусть
M
– подпространство из
H
. Вектор
x
∈
H
называется
перпендикулярным (ортогональным)
подпространству
M
(при
этом используется обозначение
x
⊥
M
), если
x
⊥
m
∀
m
∈
M.
Совокупность
всех векторов, перпендикулярных подпространству
M
, называется подпро-
странством (см. упражнение 7),
ортогональным
M
и обозначается символом
M
⊥
.
Замечание 2.
Если
M
– подпространство из
H
, то
M
T
M
⊥
=
{
0
}
.
Действительно, если
x
∈
M
T
M
⊥
,
то
(
x, x
) = 0
,
и поэтому
x
= 0
.
Определение 7.
Пусть
M
– подпространство из
H
. Вектор
a
∈
M
называется
ортогональной проекцией
вектора
x
∈
H
на
M
, если вектор
x
−
a
перпендикулярен
M
(см.рис. 15).
Т е о р е м а 3.
Пусть
M
– конечномерное подпространство из
H
и
e
1
,
· · ·
, e
n
– ортонормированный базис в
M
. Тогда для любого вектора
x
∈
H
вектор
x
1
=
n
X
k
=1
(
x, e
k
)
e
k
(1)
является единственной ортогональной проекцией вектора
x
на
M
, причем
имеет место равенство
||
x
||
2
=
n
X
k
=1
|
(
x, e
k
)
|
2
+
||
x
−
n
X
k
=1
(
x, e
k
)
e
k
||
2
.
(2)
Доказательство.
Непосредственно
из
определения проекции и
свойств скалярного произведения следует, что вектор
x
1
=
n
P
k
=1
α
k
e
k
из
M
является ортогональной проекцией вектора
x
на
M
тогда и только тогда,
когда
x
−
n
P
k
=1
α
k
e
k
, e
j
)
= 0
∀
j
= 1
, . . . , n
или, что эквивалентно, вы-
полняются равенства
α
j
= (
x, e
j
)
, j
= 1
,
· · ·
, n.
Следовательно, проекция
x
1
имеет вид
x
1
=
n
P
j
=1
(
x, e
j
)
e
j
.
Поскольку векторы
x
2
=
x
−
x
1
и
x
1
перпен-
дикулярны друг другу, то из теоремы Пифагора и её следствия 1 следует,
что
||
x
||
2
=
||
x
1
||
2
+
||
x
2
||
2
=
n
X
k
=1
|
(
x, e
k
)
|
2
+
||
x
−
n
X
k
=1
(
x, e
k
)
||
2
.
Теорема доказана.
Следствие 1 (неравенство Бесселя).
Если
{
e
1
, . . . , e
n
}
– конечное
ортонормированное множество из
H,
то для любого вектора
x
∈
H
имеет
108
Глава 3. Линейная алгебра
место неравенство Бесселя
n
X
k
=1
|
(
x, e
k
)
|
2
≤ ||
x
||
2
(3)
(т.е. длина проекции вектора
x
не превосходит длины вектора
x
).
Следствие 2
(неравенство Шварца)
. Для любой пары векторов
x, y
∈
H
имеет место неравенство Шварца
|
(
x, y
)
| ≤ ||
x
|| ||
y
||
.
Доказательство.
Если
y
= 0
, то доказываемое неравенство очевидно.
Если
y
6
= 0
,
то, применяя к вектору
x
с использованием одноэлементного ор-
тонормированного множества
e
1
=
y/
||
y
||
,
неравенство Бесселя (3), получим
|
(
x, e
1
)
|
2
=
|
(
x, y/
||
y
||
)
|
2
≤ ||
x
||
2
,
откуда следует доказываемое неравенство.
Неравенство Шварца позволяет ввести понятие угла между двумя век-
торами
x, y
∈
H
. А именно, угол
0
≤
ϕ < π
определяется из равенства (при
K
=
R
)
cos
ϕ
=
(
x, y
)
||
x
|| ||
y
||
.
"Подсказкой"для такого определения служит пример 1.
Следствие 3 (неравенство Коши-Буняковского).
Для любых двух
наборов чисел
x
= (
x
1
, . . . , x
n
)
, y
= (
y
1
, . . . , y
n
)
∈
K
n
имеет место неравен-
ство
n
X
i
=1
x
i
y
i
≤
n
X
i
=1
|
x
i
|
2
!
1
/
2
n
X
i
=1
|
y
i
|
2
!
1
/
2
.
Следствие 4.
Для нормы
||
x
||
=
p
(
x, x
)
в
H
выполнено условие 3),
т.е. имеет место неравенство
||
x
+
y
|| ≤ ||
x
||
+
||
y
|| ∀
x, y
∈
H.
Доказательство.
Используя неравенство Шварца получаем
k
x
+
y
k
2
= (
x
+
y, x
=
y
) =
k
x
k
2
+ (
x, y
) + (
y, x
) +
k
y
k
2
=
k
x
k
2
+ 2
Re
(
x, y
) +
k
y
k
2
≤ k
x
k
2
+ 2
k
x
kk
y
k
+
k
y
k
2
= (
k
x
k
+
k
y
k
)
2
, x, y
∈
H.
§
17
.
Пространства со скалярным произведением. Евклидовы пространства
109
Следствие 5.
Для любых комплексных чисел
x
1
, . . . , x
n
, y
1
, . . . , y
n
име-
ет место неравенство
n
X
i
=1
|
x
i
+
y
i
|
2
!
1
/
2
≤
n
X
i
=1
|
x
i
|
2
!
1
/
2
+
n
X
i
=1
|
y
i
|
2
!
1
/
2
.
До сих пор нами не установлено существование ортонормированного базиса в
евклидовом пространстве. В следующей теореме указывается способ постро-
ения ортонормированного базиса, исходя из некоторого заданного базиса.
Т е о р е м а 4 (процесс ортогонализации Грама-Шмидта).
Пусть
f
1
, . . . , f
n
– линейно независимые векторы из
H
. Тогда векторы
e
1
, . . . , e
n
,
определенные следующими равенствами
e
1
=
g
1
/
||
g
1
||
, g
1
=
f
1
,
e
2
=
g
2
/
||
g
2
||
, g
2
=
f
2
−
(
f
2
, e
1
)
e
1
,
e
3
=
g
3
/
||
g
3
||
, g
3
=
f
3
−
(
f
3
, e
2
)
e
2
−
(
f
3
, e
1
)
e
1
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
n
=
g
n
/
||
g
n
||
, g
n
=
f
n
−
(
f
n
, e
n
−
1
)
e
n
−
1
− · · · −
(
f
n
, e
1
)
e
1
,
образуют ортонормированное множество в
H
. В частности,
e
1
, . . . , e
n
– ор-
тонормированный базис в
H
, если
H
конечномерно и
f
1
, . . . , f
n
– базис в
H
.
Доказательство.
Каждый из построенных векторов
g
k
, k
= 1
, . . . , n
ненулевой (это следует из линейной независимости векторов
f
1
, . . . , f
n
) и по-
этому
||
g
k
|| 6
= 0
∀
k
= 1
, . . . , n.
По определению,
||
e
k
||
= 1
∀
k
= 1
, . . . , n
причем непосредственно из теоремы 3, являющейся основой для определе-
ния векторов
g
1
, g
2
, . . . , g
n
,
следует их взаимная ортогональность и, следова-
тельно, взаимно ортогональны векторы
e
1
, . . . , e
n
.
Из следствия 2 теоремы
1 следует их линейная независимость и, следовательно, в силу следствия 2
теоремы 2 из
§
2 они образуют базис в
H
, если
dim H
=
n.
Отметим, что использование теоремы 3 осуществляется следующим об-
разом. Берется одномерное подпространство
M
1
⊂
H
с ортонормированным
базисом
{
e
1
}
. Тогда
(
f
2
, e
1
)
e
1
проекция вектора
f
2
на
M
1
и, следовательно,
g
2
=
f
2
−
(
f
2
, e
1
)
e
1
перпендикулярен
M
1
. Затем рассматривается двумерное
подпространство
M
2
c с ортонормированным базисом
{
e
1
, e
2
}
и тогда вектор
g
3
= (
f
3
, e
2
)
e
2
+ (
f
3
, e
1
)
e
1
– проекция вектора
f
3
на
M
2
и, следовательно,
110
Глава 3. Линейная алгебра
g
3
⊥
M
2
( в частности,
g
3
⊥
e
1
и
g
3
⊥
e
2
). Аналогичным образом строятся век-
торы
g
4
, . . . , g
n
.
Теорема доказана.
Таким образом, в каждом евклидовом пространстве существует ортонор-
мированный базис.
Пример 8.
Рассмотрим базис
ϕ
0
(
t
) = 1
, ϕ
1
(
t
) =
t, . . . , ϕ
n
(
t
) =
t
n
в ев-
клидовом
пространстве
P
n
(
R
)
со
скалярным
произведением
(
x, y
) =
R
1
−
1
x
(
t
)
y
(
t
)
dt.
Этот базис не является ортонормированным. Резуль-
татом указанной в теореме 4 процедуры ортогонализации являются много-
члены Лежандра
p
0
(
t
) =
1
√
2
, p
k
(
t
) =
p
k
+ 1
/
2
2
k
k
!
d
k
dt
k
(
t
2
−
1)
k
, k
= 1
, . . . , n.
Определение 8.
Скажем, что пространство
H
является ортогональ-
ной прямой суммой своих подпространств
H
1
и
H
2
, если
H
=
H
1
L
H
2
и
x
1
⊥
x
2
∀
x
1
∈
H
1
,
∀
x
2
∈
H
2
.
Т е о р е м а 5.
Пусть
M
– подпространство из евклидова пространства
H
. Тогда
H
является ортогональной прямой суммой подпространств
M
и
M
⊥
.
Доказательство.
Пусть
e
1
, . . . , e
k
– ортонормированный базис в
M
.
Тогда, согласно теореме 3, вектор
x
∈
M
единственным образом представля-
ется в виде
x
=
x
1
+
x
2
, где
x
1
∈
M, x
2
∈
M
⊥
и
x
1
– проекция вектора
x
на
M
.
Рассмотрим еще одно определение проекции вектора на подпростран-
ство, которое будет эквивалентно ранее введенному определению.
Определение 9.
Вектор
a
из подпространства
M
линейного простран-
ства
H
называется
ортогональной проекцией
вектора
x
∈
H
на
M
, если для
любого вектора
m
∈
M, m
6
=
a
имеет место неравенство
||
x
−
a
||
<
||
x
−
m
||
(т.е. расстояние от вектора
x
до вектора
a
меньше расстояния от вектора
x
до любого отличного от
a
вектора
m
из
M
).
§
17
.
Пространства со скалярным произведением. Евклидовы пространства
111
Рис. 15
Т е о р е м а 6.
Оба определения ортогональной проекции эквивалент-
ны.
Доказательство.
Пусть
x
1
∈
M
– ортогональная проекция вектора
x
на
M
в смысле определения 7 и
m
– произвольный вектор из
M
, отличный
от
x
1
. Из равенства
x
−
m
=
x
−
x
1
+
x
1
−
m,
где
x
1
−
m
⊥
x
−
x
1
,
применяя
теорему Пифагора, получаем
||
x
−
m
||
2
=
||
x
−
x
1
||
2
+
||
x
1
−
m
||
2
>
||
x
−
x
1
||
2
.
Таким образом,
x
1
– проекция вектора
x
в смысле определения 9. Из этого
же равенства следует, что если
x
1
- проекция вектора
x
на
M
в смысле
определения 9,
m
=
x
1
- проекция
x
на
M
по определению 7 и
x
1
6
=
x
0
1
,
то
k
x
−
x
0
1
k
<
k
x
−
x
1
k
.
Получено противоречие. Теорема доказана.
Замечание 3.
Непосредственно из определения 9 ортогональной проек-
ции следует, что для любого вектора
x
∈
H
его проекция
a
на подпростран-
стве
M
⊂
H
обладает свойством
||
x
−
a
||
= inf
m
∈
M
||
x
−
m
||
.
Величину
inf
m
∈
M
||
x
−
m
||
называют
расстоянием от вектора
x
до подпро-
странства
M
. Таким образом, для того чтобы найти это расстояние, доста-
точно найти проекцию
a
(например, использовать теорему 3 в случае конеч-
номерного подпространства
M
) и вычислить длину вектора
x
−
a.