ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3481
Скачиваний: 14
112
Глава 3. Линейная алгебра
Упражнения к § 17
1. Докажите
следующие
свойства
скалярного
произведения:
2
0
) (
x, y
+
z
) = (
x, y
) + (
x, z
)
,
3
0
) (
x, αy
) =
α
(
x, y
)
.
2. Пусть
z
1
, . . . , z
m
– различные комплексные числа. Докажите, что в ли-
нейном пространстве
P
n
(
C
)
,
где
n < m
формула
(
f, g
) =
m
X
k
=1
f
(
z
k
)
g
(
z
k
)
, f, g
∈ P
n
(
C
)
задает скалярное произведение. Верно ли это утверждение
для
m
≤
n
?
3. Какие из следующих отображений
f
i
:
C
2
×
C
2
→
C
, i
= 1
,
2
,
3
,
4
задают
скалярное произведение в
C
2
:
a
)
f
1
(
x, y
) =
x
1
y
2
+
x
2
y
2
,
b
)
f
2
(
x, y
) =
x
1
y
1
;
c
)
f
3
(
x, y
) =
x
1
y
2
+
x
2
y
1
,
d
)
f
4
(
x, y
) = 5
x
1
y
1
+ 3
x
2
y
2
?
4. Докажите, что в пространстве
H
со скалярным произведением для лю-
бой пары векторов
x, y
∈
H
имеет место
тождество параллелограмма
k
x
+
y
k
2
+
k
x
−
y
k
2
= 2(
k
x
k
2
+
k
y
k
2
)
.
5. Докажите, что множество
S
=
1
√
2
π
,
cos
t
√
π
,
sin
t
√
π
,
cos 2
t
√
π
,
sin 2
t
√
π
, . . . ,
cos
nt
√
π
,
sin
nt
√
π
, . . .
образует ортонормированное множество в линейном пространстве
C
2
π
(см. пример 4).
6. Докажите, что функции
1
√
2
π
,
cos
t
√
π
,
sin
t
√
π
, . . . ,
cos
nt
√
2
,
sin
nt
√
2
образуют ортонормированный базис в подпространстве
T
n,
2
π
из
C
2
π
(см.
пример 4).
7. Пусть
H
- линейное пространство со скалярным произведением и
M
-
подмножество из
H
. Докажите, что множество
M
⊥
образует линейное
подпространство из
H
.
§
17
.
Пространства со скалярным произведением. Евклидовы пространства
113
8. Докажите, что если
|
(
x, y
)
|
=
k
x
kk
y
k
, x, y
∈
H,
то векторы
x
и
y
линей-
но зависимы.
9. Докажите, что векторы
x, y
∈
H
равны тогда и только тогда, когда
(
x, a
) = (
y, a
)
∀
a
∈
H.
10. Докажите, что в пространстве
C
[
a, b
]
(см. пример 3) угол между век-
торами (функциями)
f
n
(
t
) =
t
n
, f
n
+1
(
t
) =
t
n
+1
стремится к нулю при
n
→ ∞
.
11. Вычислите угол между функциями
ϕ
и
ψ
из пространства
C
[0
,
2
π
]
(см.
пример 3), если
a
)
ϕ
(
t
) =
t, ψ
(
t
) = 1;
b
)
ϕ
(
t
) =
t, ψ
(
t
) = sin
t.
12. Пусть
e
1
, . . . , e
n
– базис из евклидова пространства
H
, обладающий
свойством
(
e
i
, e
j
) = 0
для
i
6
=
j
. Докажите, что для любого вектора
x
∈
H
имеют место равенства
x
=
n
X
k
=1
(
x, e
k
)
(
e
k
, e
k
)
e
k
,
k
x
k
2
=
n
X
k
=1
|
(
x, e
k
)
|
2
k
e
k
k
2
.
13. Осуществите в евклидовом пространстве
R
3
процесс ортогонализации
для следующих векторов
1)
x
1
= (2
,
2
,
1)
,
x
2
= (3
,
4
,
1)
,
x
3
= (1
,
−
3
,
−
1);
2)
x
1
= (1
,
−
2
,
2)
, x
2
= (
−
1
,
0
,
−
1)
, x
3
= (5
,
−
3
,
−
7)
.
14. Проверьте, что следующие совокупности векторов образуют ортонорми-
рованные множества из
R
3
и дополните их до ортонормированных ба-
зисов
1)
x
1
=
−
11
15
,
−
2
15
,
2
3
,
x
2
=
−
2
15
,
−
14
15
,
−
1
3
;
2)
x
1
=
1
2
,
−
1
2
,
√
2
2
.
15. В пространстве
P
n
(
R
)
определите скалярное произведение так, чтобы
многочлены
ϕ
0
(
t
) = 1
, ϕ
1
(
t
) =
t, . . . , ϕ
n
(
t
) =
t
n
образовывали ортонор-
мированный базис.
16. Найдите какой-нибудь ортонормированный базис в каждом из следую-
щих подпространств евклидова пространства
R
3
1)
M
1
=
{
x
= (
x
1
, x
2
, x
3
)
∈
R
3
, x
1
+
x
2
= 0
}
,
2)
M
2
=
{
x
∈
R
3
, x
1
+
x
2
−
x
3
= 0
}
.
114
Глава 3. Линейная алгебра
17. Найдите ортонормированный базис в ортогональном дополнении к сле-
дующим подпространствам из евклидова пространства
R
4
:
1) подпространству
M
, являющемуся линейной комбинацией векто-
ров
x
= (1
,
1
,
1
,
1)
, y
= (1
,
−
1
,
1
,
−
1);
2) подпространству
M
=
{
(
α,
−
α, α,
−
α
) :
α
∈
R
}
.
18. Найдите проекцию многочлена
ϕ
(
z
) =
z
2
из
P
2
(
C
)
на подпространство
P
1
(
C
) ((
x, y
) =
1
R
−
1
x
(
t
)
y
(
t
)
dt, x, y
∈ P
2
(
C
))
.
19. В евклидовом пространстве
P
2
(
R
)
(со скалярным произведением
(
x, y
) =
1
R
0
x
(
t
)
y
(
t
)
dt
найдите ортонормированный базис.
20. Найдите расстояние от вектора
a
= (1
,
−
1
,
1)
∈
R
3
до подпространства
M
=
{
x
= (
x
1
, x
2
, x
3
)
∈
R
3
:
x
1
+
x
2
+
x
3
= 0
}
.
21.
Углом между вектором
x
∈
H
и подпространством
M
из
H
называ-
ется точная нижняя грань значений угла, который образует вектор
x
с
ненулевыми векторами из
M
.
Докажите, что угол между вектором
x
∈
H
и конечномерным под-
пространством
M
⊂
H
равен углу между вектором
x
и его проекцией
на
M
.
22. Докажите, что углы, которые вектор
x
∈
H
образует с произвольным
подпространством
M
из
H
и его ортогональным дополнением, в сумме
равны
π/
2
.
23. Найдите угол между вектором
x
= (
−
3
,
15
,
1
,
−
5)
∈
R
4
и подпростран-
ством
M
, являющимся линейной оболочкой векторов
x
1
= (2
,
3
,
−
4
,
−
6)
, x
2
= (1
,
8
,
−
2
,
−
16)
, x
3
= (1
,
−
5
,
−
2
,
10)
.
24. В пространстве
C
[0
,
1]
со скалярным произведением
(
x, y
) =
1
R
0
x
(
t
)
y
(
t
)
dt
найдите проекцию функции
ϕ
(
t
) =
t
3
на каждое
из подпространств
P
k
(
R
)
, k
= 0
,
1
,
2
.
25. Вычислите величину
inf
a,b
∈
R
1
R
0
(
√
x
−
ax
−
b
)
2
dx.
§
18
.
Пространство линейных операторов
115
26. В пространстве многочленов
P
(
R
)
со скалярным произведением
(
f, g
) =
=
1
R
−
1
f
(
x
)
g
(
x
)
dx
найти расстояние от многочлена
x
n
до подпространства
P
n
−
1
(
R
)
.
27. Докажите, что на линейном пространстве матриц
M atr
m,n
(
K
)
формула
(
A
,
B
) =
P
ij
a
ij
b
ij
,
где
A
= (
f
ij
)
,
B
= (
b
ij
)
∈
M atr
n
(
K
)
определяет
скалярное произведение, при этом
kABk ≤ kAkkBk
,
A
,
B ∈
M atr
n
(
K
)
.
§
18. Пространство линейных операторов
В этом параграфе мы вводим и начинаем изучение гомоморфизмов ли-
нейных пространств, называемых линейными операторами (понятие гомо-
морфизмов других алгебраических объектов рассматривалось в
§
7
).
Определение 1.
Пусть
X
и
Y
– два линейных пространства, рассмат-
риваемых над одним и тем же полем
K
. Отображение
A
:
X
→
Y
называется
линейным оператором
, если выполнены следующие два условия:
1)
A
(
x
1
+
x
2
) =
A
(
x
1
) +
A
(
x
2
)
(свойство аддитивности);
2)
A
(
αx
) =
αA
(
x
)
(свойство однородности)
для любых
x, x
1
, x
2
∈
X
и
α
∈
K.
Ясно, что линейность отображения
A
:
X
→
Y
эквивалентна выполне-
нию условия
A
(
αx
1
+
βx
2
) =
αA
(
x
1
) +
βA
(
x
2
)
∀
α, β
∈
K
∀
x
1
, x
2
∈
X
.
Значение линейного оператора
A
на каждом векторе
x
обозначается,
как правило, символом
Ax
(вместо
A
(
x
)
). Множество линейных операторов,
определенных на
X
со значениями в
Y
, обозначается символом
L
(
X, Y
)
.
Полагается
L
(
X
) =
L
(
X, Y
)
для
X
=
Y
. Отображение
f
:
X
→
X
вида
f
(
x
) =
Ax
+
b,
где
A
∈
L
(
X
)
и
b
∈
X,
назовем
аффинным преобразованием
.
Замечание 1.
Свойство аддитивности линейного оператора
A
означает,
что он является гомоморфизмом абелевых групп
X
и
Y
.
Замечание 2.
Из свойства однородности следует, что
A
0 =
A
(0
·
0) =
0
A
(0) = 0
,
т.е. нулевой вектор пространства
X
переходит в нулевой вектор
пространства
Y
.
Замечание 3.
Требование, чтобы линейные пространства
X
и
Y
рас-
сматривались над одним полем
K
, связано с корректностью формулировки
свойства однородности.
Определение 2.
Линейный оператор
A
:
X
→
Y
называется
линейным
функционалом
, если
Y
=
K,
где
K
– поле, над которым рассматривается
пространство
X
. Функционал называется
вещественным
, если
K
=
R
и –
комплексным
, если
K
=
C
.
116
Глава 3. Линейная алгебра
Множество линейных функционалов
L
(
X, K
)
обозначается символом
X
∗
и называется
сопряженным к
X
пространством
.
Рассмотрим несколько примеров линейных операторов (функционалов).
Пример 1.
Пусть
X
=
Y
=
P
n
(
K
)
(либо
X
=
Y
=
T
n,w
). Рассмотрим
отображение
D
:
X
→
X,
определенное формулой
D
ϕ
=
ϕ
0
,
называемое
оператором дифференцирования
. Свойства аддитивности и одно-
родности следуют из обычных свойств производной.
Пример 2.
Пусть
X
=
Y
=
C
[
a, b
]
.
Отображение
J
:
C
[
a, b
]
→
C
[
a, b
]
,
определенное формулой
(
J ϕ
)(
t
) =
t
Z
a
ϕ
(
s
)
ds, ϕ
∈
C
[
a, b
]
, t
∈
[
a, b
]
,
является линейным оператором; он называется
оператором интегрирования
.
Его линейность обеспечивается известными свойствами интеграла.
Пример 3.
Пусть
X
=
P
n
(
K
)
(или
X
=
C
[
a, b
]
). Отображение
ϕ
:
X
→
K,
определенное формулой
ϕ
(
x
) =
b
Z
a
x
(
s
)
ds, x
∈
X,
является линейным функционалом.
Пример 4.
Пусть
H
– пространство со скалярным произведением над
полем
K
и
a
– некоторый вектор из
H
. Тогда из свойств скалярного произ-
ведения следует, что отображение
ϕ
:
H
→
K,
определенное формулой
ϕ
(
x
) = (
x, a
)
, x
∈
H,
является линейным функционалом.
В частности, для любого вектора
a
= (
α
1
, . . . , α
n
)
∈
C
n
(см. пример 2 из
§
4) отображение
ϕ
:
X
→
K,
определенное формулой
ϕ
(
x
) = (
x, a
) =
n
X
i
=1
α
i
x
i
, x
= (
x
1
, . . . , x
n
)
∈
K
n
,
является линейным функционалом. Позже мы убедимся (следствие 2 теоремы
1), что любой линейный функционал
ϕ
:
C
n
→
C
имеет именно такой вид.
Пример 5.
Пусть
M
– конечномерное подпространство из пространства
со скалярным произведением
H
. Тогда отображение
P
=
P
M
:
H
→
H,