ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3485
Скачиваний: 14
§
18
.
Пространство линейных операторов
117
определенное равенством
P
M
x
=
m,
где
m
– проекция вектора
x
на
M,
является линейным оператором. Его называют
ортогональным проектором
или оператором ортогонального проектирования
.
Естественным образом возникает вопрос: можно ли привести формулу,
задающую любой линейный оператор
A
∈
L
(
X, Y
)
хотя бы для конечно-
мерных линейных пространств
X
и
Y
. Ответ на этот вопрос можно дать,
привлекая матрицы из линейного пространства
M atr
m,n
(
K
)
.
Пример 6.
Пусть
e
1
, . . . , e
n
– базис в
X
и
f
1
, . . . , f
m
- базис в
Y
. Рас-
смотрим произвольную матрицу
A
= (
a
ij
)
из
M atr
m,n
(
K
)
и с ее помощью
определим отображение
A
:
X
→
Y
следующей формулой
Ax
=
n
X
j
=1
a
1
j
x
j
!
f
1
+
n
X
j
=1
a
2
j
x
j
!
f
2
+
· · ·
+
n
X
j
=1
a
mj
x
j
!
f
m
=
=
m
X
i
=1
n
X
j
=1
a
ij
x
j
!
f i,
(1)
где
x
=
x
1
e
1
+
· · ·
+
x
n
e
n
– произвольный вектор из
X
. Свойство аддитивности
отображения
A
следует из равенств
A
(
x
+
y
) =
n
X
j
=1
a
1
j
(
x
j
+
y
j
)
!
f
1
+
· · ·
+
n
X
j
=1
a
mj
(
x
j
+
y
j
)
!
f
m
=
=
n
X
j
=1
a
1
j
x
j
!
f
1
+
. . .
n
X
j
=1
a
mj
x
j
!
f
m
+
n
X
j
=1
a
1
j
y
j
!
f
1
· · ·
+
+
n
X
j
=1
a
mj
y
j
!
f
m
=
Ax
+
Ay,
где
y
=
y
1
e
1
+
· · ·
+
y
n
e
n
∈
X.
Аналогично проверяется свойство однородности отображения
A
. Таким
образом,
A
:
X
→
Y
– линейный оператор.
Отметим, что если
X
=
K
n
и
Y
=
K
m
, то формула (1) перепишется в
виде
Ax
=
n
X
j
=1
a
1
j
x
j
,
n
X
j
=1
a
2
j
x
j
, . . . ,
n
X
j
=1
a
mj
x
j
!
.
(2)
Несколько позже будет показано, что для каждого оператора из
L
(
X, Y
)
найдется матрица
A
= (
a
ij
)
∈
M atr
m,n
(
K
)
такая, что он определя-
ется формулой (1).
118
Глава 3. Линейная алгебра
В следующем примере строится отображение
A
:
X
→
X
(
X
– ком-
плексное линейное пространство), не являющееся линейным оператором. Од-
нако, если
X
рассматривать как вещественное линейное пространство, то
A
:
X
→
X
– линейный оператор.
Пример 7.
Пусть
X
=
C
и отображение
A
:
C
→
C
определим форму-
лой
A
(
z
) =
Rez, z
∈
C
.
Ясно, что
A
не обладает свойством однородности. Пусть
α
=
i.
Тогда
A
(
iz
) =
Re
(
iz
) =
−
Imz.
Если бы
A
был линейным оператором, то
A
(
iz
) =
=
iRez.
Таким образом,
A
не является линейным оператором. Если же
α
∈
R
,
то
A
(
αz
) =
Re
(
αz
) =
αRez
=
αA
(
z
)
.
Это означает, что
A
– линейный
оператор, если рассматривать
C
как вещественное линейное пространство.
Зафиксируем два линейных пространства
X, Y
и рассмотрим множе-
ство линейных операторов
L
(
X, Y
)
. Замечательным является тот факт, что
L
(
X, Y
)
является линейным пространством, если определить операцию сло-
жения операторов и операцию умножения чисел из
K
на операторы следую-
щим образом:
(
A
+
B
)
x
=
Ax
+
Bx, x
∈
X,
(
αA
)
x
=
αAx, x
∈
X
для любых
A, B
∈
L
(
X, Y
)
и
α
∈
K.
Проверка линейности операторов
A
+
B, αA
отнесена к задаче 2.
Нулевым элементом линейного пространства
L
(
X, Y
)
служит
нуле-
вой оператор
, который обозначается символом 0 и определяется по правилу
0
x
= 0
∈
Y, x
∈
X.
Противоположный элемент для оператора
A
∈
L
(
X, Y
)
задается равенством
−
A
= (
−
1)
A.
Легко проверяется, что
L
(
X, Y
)
– линейное пространство. Например,
свойство
A
+
B
=
B
+
A
следует из следующих равенств
(
A
+
B
)
x
=
Ax
+
Bx
=
Bx
+
Ax
= (
B
+
A
)
x, x
∈
X.
Проверка остальных аксиом линейного пространства отнесена к задаче 2.
В частности, линейным пространством является сопряженное к линейному
пространству
X
пространство
X
∗
.
Далее рассматриваются конечномерные линейные пространства
X
и
Y
с базисами
e
1
, . . . , e
n
в
X
и
f
1
, . . . , f
n
в
Y
.
§
18
.
Пространство линейных операторов
119
Замечание 4.
Для задания линейного оператора
A
:
X
→
Y
достаточно
определить его на базисных векторах
e
1
, . . . , e
n
.
Тогда, пользуясь линейно-
стью оператора
A
, для любого вектора
x
=
n
P
i
=1
α
i
e
i
получаем, что вектор
Ax
должен иметь вид
Ax
=
A
n
X
i
=1
α
i
e
i
!
=
n
X
i
=1
α
i
Ae
i
.
Символом
I
ij
, где
1
≤
i
≤
m,
1
≤
j
≤
n
обозначим оператор из
L
(
X, Y
)
,
который на базисных векторах
e
k
,
1
≤
k
≤
n
определяется следующими
равенствами
I
ij
e
k
=
0
,
k
6
=
j,
f
i
,
k
=
j.
В силу замечания 4 оператор
I
ij
автоматически определен на всем простран-
стве
X
. Операторы
I
ij
,
1
≤
i
≤
m,
1
≤
j
≤
n
назовем
элементарными
.
Т е о р е м а 1.
Совокупность элементарных операторов
I
ij
,
1
≤
i
≤
m,
1
≤
j
≤
n
образует базис в
L
(
X, Y
)
( и поэтому
dimL
(
X, Y
) =
mn
)
.
Доказательство.
Проверим линейную независимость рассматриваемых
операторов. Допустим, что
P
1
≤
i
≤
m,
1
≤
j
≤
n
α
ij
I
ij
= 0
, где
α
ij
∈
K.
Тогда
P
1
≤
i
≤
m,
1
≤
j
≤
n
α
ij
I
ij
e
k
= 0
,
1
≤
k
≤
n
или
P
1
≤
i
≤
m
α
ik
I
ik
e
k
=
P
1
≤
i
≤
m
α
ik
f
i
= 0
. От-
сюда в силу линейной независимости векторов
f
1
, . . . , f
m
получаем
α
ik
= 0
,
1
≤
i
≤
m,
1
≤
k
≤
n.
Пусть теперь
A
- произвольный оператор из
L
(
X, Y
)
. Каждый вектор
Ae
j
(1
≤
j
≤
n
)
разложим по базису пространства и получим
Ae
j
=
m
X
i
=1
a
ij
f
i
=
X
1
≤
i
≤
m,
1
≤
k
≤
n
a
ik
I
ik
e
j
.
(3)
Теперь ясно, что оператор
A
допускает представление вида
A
=
X
1
≤
i
≤
m,
1
≤
j
≤
n
a
ij
I
ij
.
(4)
Теорема доказана.
Следствие 1.
Для любого оператора
A
∈
L
(
X, Y
)
найдется единствен-
ная матрица
A
= (
a
ij
)
из
M atr
m,n
(
K
)
такая, что оператор
A
имеет вид (1)
(задается с помощью матрицы
A
)
.
Следствие 2.
Пусть
H
– евклидово пространство (над полем
K
). Тогда
любой функционал
f
∈
H
∗
имеет вид
f
(
x
) = (
x, a
)
,
120
Глава 3. Линейная алгебра
где
a
– некоторый вектор из
H
.
Доказательство.
Пусть
e
1
, . . . , e
n
– некоторый ортонормированный ба-
зис в
H
и
α
i
=
f
(
e
i
)
, i
= 1
, . . . , n
. Положим
a
=
P
1
≤
i
≤
m
α
i
e
i
.
Тогда для любого
x
=
x
1
e
1
+
· · ·
+
x
n
e
n
∈
H
имеют место равенства
f
(
x
) =
n
X
i
=1
x
i
f
(
e
i
) =
n
X
i
=1
x
i
α
i
= (
x, a
)
.
Определение 3.
Матрица
(
a
ij
)
из
M atr
m,n
(
K
)
,
определенная при до-
казательстве теоремы 1 с помощью формулы (3) (или (4)), называется
мат-
рицей оператора
A
.
Таким образом, для получения
j
- го столбца
(1
≤
j
≤
n
)
матрицы опе-
ратора
A
следует применить оператор
A
к
j
- ому базисному вектору
e
j
и
полученный вектор
Ae
j
из пространства
Y
разложить по базису
f
1
, . . . , f
m
пространства
Y
. Полученные числа
a
1
j
, . . . , a
mj
будут образовывать
j
- й
столбец матрицы
A ∈
M atr
m,n
(
K
)
оператора
A
. Матрица
A
будет квадрат-
ной, если
dim X
=
dim Y.
Особо отметим, что матрица оператора зависит от выбора базисов в
X
и
Y
. В случае, когда
X
=
Y
принято выбирать один и тот же базис
(
f
k
=
e
k
, k
= 1
, . . . , n
)
.
Пример 8.
Рассмотрим оператор дифференцирования
D
:
P
n
(
K
)
→ P
n
(
K
)
из примера 1. Вычислим матрицу
D
= (
d
ij
)
∈
M atr
n
+1
(
K
)
этого
оператора относительно базиса
ϕ
0
(
z
) = 1
, ϕ
1
(
z
) =
z, . . . , ϕ
(
z
) =
z
n
простран-
ства
P
n
(
K
)
.
Поскольку
D
ϕ
0
= 0
,
то первый столбец матрицы
D
состоит из нулей.
Далее,
(
D
ϕ
1
)(
z
) =
ϕ
0
(
z
) = 1
·
1 + 0
·
z
+
· · ·
+ 0
·
z
n
,
(
D
ϕ
2
)(
z
) = 2
ϕ
1
(
z
) = 0
·
1 + 2
·
z
+
· · ·
+ 0
·
z
n
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(
D
ϕ
n
)(
z
) =
nϕ
n
−
1
(
z
) = 0
·
1 + 0
·
z
+
· · ·
nz
n
−
1
+ 0
·
z
n
.
Поэтому матрица
D
оператора
D
имеет вид
0 1 0
· · ·
0
0 0 2
· · ·
0
... ... ... ... ...
0 0 0
· · ·
n
0 0 0
· · ·
0
§
18
.
Пространство линейных операторов
121
Пример 9.
Рассмотрим оператор дифференцирования
D
в простран-
стве
T
n,w
(
D
:
T
n,w
→
T
n,w
)
с базисом
1
, e
i
2
π
w
t
, e
−
i
2
π
w
t
, . . . , e
i
2
πn
w
t
, e
i
2
πn
w
t
и найдем его матрицу
D
∈
M atr
2
n
+1
(
C
)
.
Поскольку
D
(
ϕ
k
) =
i
2
π k
w
ϕ
k
,
где
ϕ
k
(
t
) =
e
i
2
π k
w
t
, k
= 0
,
±
1
, . . . ,
±
n,
то
матрица
D
= (
d
ij
)
∈
M atr
2
n
+1
(
C
)
диагональная и имеет вид:
d
00
= 0
, d
11
=
i
2
π
w
, d
22
=
−
i
2
π
w
, . . . , d
2
n
−
1 2
n
−
1
=
i
2
π n
w
, d
2
n
2
n
=
−
i
2
π n
w
.
Пример 10.
Матрица оператора
A
:
X
→
Y
из примера 6 совпадает с
матрицей
A
= (
a
ij
)
,
с помощью которой он определяется. Верно и обратное.
Если
A
= (
a
ij
)
– матрица оператора
A
:
X
→
Y
относительно базисов
e
1
, . . . , e
n
в
X
и
f
1
, . . . , f
m
в
Y
, то из замечания 4 и формулы (3) следует,
что оператор
A
задается с помощью матрицы
A
, т.е. определяется с помощью
формулы (1)(с помощью формулы (2) в случае
X
=
K
n
, Y
=
K
m
).
Замечание 5.
Равенство (4) показывает, что матрица оператора
A
фор-
мируется из координат оператора
A
(рассматриваемого в качестве вектора
пространства
L
(
X, Y
)
) по базису
I
ij
,
1
≤
i
≤
m,
1
≤
j
≤
n
пространства
L
(
X, Y
)
.
Замечание 6.
Допустим, что
X
и
Y
– конечномерные линейные про-
странства с базисами
e
1
, . . . , e
n
в
X
и
f
1
, . . . , f
m
в
Y
. Предположим, кроме
того, что
Y
– евклидово пространство,
f
1
, . . . , f
m
ортонормированный ба-
зис в
Y
. Если
A
∈
L
(
X, Y
)
, то, умножая обе части равенства (3) на вектор
f
k
(1
≤
k
≤
m
)
,
получим, что элементы матрицы
A
оператора
A
определя-
ются равенствами
a
kj
= (
Ae
j
, f
k
)
,
1
≤
k
≤
m,
1
≤
j
≤
n.
(5)
Далее линейные пространства
X
и
Y
считаются нормированными. Для
каждого линейного оператора
A
∈
L
(
X, Y
)
положим
k
A
k
= sup
k
x
k≤
1
k
Ax
k
.
(6)
Конечность величины
k
A
k
следует из следующего неравенства
k
Ax
k
=
k
A
n
P
i
=1
x
i
e
i
k
=
k
n
P
i
=1
x
i
Ae
i
k
≤
n
P
i
=1
|
x
i
|
max
1
≤
k
≤
n
k
Ae
k
k
≤
≤
C
k
x
k
max
1
≤
k
≤
n
k
Ae
k
k ≤
C
max
1
≤
k
≤
n
k
Ae
k
k
,
если
k
x
k ≤
1
.
Оценка
n
P
i
=1
|
x
i
| ≤
C
k
x
k
,
C >
0
следует из эквивалентности любой пары норм в конечномерном нор-
мированном линейном пространстве (см. замечание 2 из
§
16
), если в качестве