ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3486
Скачиваний: 14
122
Глава 3. Линейная алгебра
одной нормы взять норму
k
x
k
1
=
n
P
i
=1
|
x
i
|
для
x
=
x
1
e
1
+
· · ·
+
x
n
e
n
и положить
k
x
k
2
=
k
x
k
, x
∈
X.
Определение 4.
Величина
k
A
k
,
определенная формулой (6), называ-
ется
нормой оператора
A
.
Можно показать, что в формуле (6) символ "sup"можно заменить сим-
волом "max т.е. можно указать такой вектор
x
0
∈
B
(0
,
1)
,
что
sup
k
x
k≤
1
k
Ax
k
=
=
k
Ax
0
k
.
Т е о р е м а 2.
L
(
X, Y
)
– линейное нормированное пространство
(относительно введенной нормы операторов).
Доказательство.
Очевидно, что
k
A
k ≥
0
и
k
0
k
= 0
.
Если же
k
A
k
= 0
,
то
Ax
= 0
∀
x
∈
B
(0
,
1) =
{
x
∈
X
:
k
x
k ≤
1
}
. Тогда
Az
=
k
z
k
A
(
z/
k
z
k
) = 0
∀
z
∈
X,
т.е.
A
= 0
.
Свойство 2) нормы, очевидно, выполняется.
Пусть
A, B
∈
L
(
X, Y
)
и
x
∈
B
(1)
.
Тогда
k
(
A
+
B
)
x
k
=
k
Ax
+
Bx
k ≤ k
Ax
k
+
k
Bx
k ≤ k
A
k
+
k
B
k
.
Следовательно,
k
A
+
B
k
= sup
k
x
k≤
1
k
(
A
+
B
)
x
k ≤ k
A
k
+
k
B
k
.
Теорема доказана.
Замечание 7.
Непосредственно из определения нормы оператора сле-
дует, что имеют место следующие равенства
k
A
k
= sup
k
x
k≤
1
k
Ax
k
= sup
z
6
=0
k
A
(
z
k
z
k
)
k
= sup
z
6
=0
k
Az
k
k
z
k
=
= inf
{
c >
0 :
k
Az
k ≤
c
k
z
k ∀
z
∈
X
}
.
В частности, из последнего равенства вытекает следующее неравенство
k
Ax
k ≤ k
A
kk
x
k
, x
∈
X,
(7)
Подсчет нормы операторов иногда удается осуществить, используя мат-
рицу рассматриваемого оператора.
Пример 11.
Пусть
X
=
Y
=
K
n
, где
K
=
R
или
K
=
C
и пусть в
пространстве задана норма (см. пример 4, § 6)
k
x
k
3
= max
1
≤
i
≤
n
|
x
i
|
, x
= (
x
1
, . . . , x
n
)
∈
K
n
.
Рассмотрим оператор
A
∈
L
(
K
n
)
и его матрицу
A
= (
a
ij
)
∈
M atr
n
(
K
)
(отно-
сительно стандартного базиса в
K
n
). Тогда, согласно выводам из примера 10,
§
18
.
Пространство линейных операторов
123
оператор
A
задается формулой (2) (где
n
=
m
)
.
Поэтому, если
x
∈
B
(0
,
1)
,
то имеет место неравенство
k
Ax
k
3
= max
1
≤
i
≤
n
n
X
j
=1
a
ij
x
j
≤
max
1
≤
i
≤
n
n
X
j
=1
|
a
ij
|
и, следовательно,
k
A
k ≤
max
1
≤
i
≤
n
n
P
j
=1
|
a
ij
|
.
Пусть натуральное число
k,
1
≤
k
≤
n
таково, что
n
X
j
=1
|
a
kj
|
= = max
1
≤
i
≤
n
n
X
j
=1
|
a
ij
|
.
Рассмотрим вектор
x
0
= (
x
1
, . . . , x
n
)
∈
B
(0
,
1)
,
где
x
j
=
|
a
kj
|
a
kj
,
если
a
kj
6
= 0
,
и
x
j
= 0
,
если
a
kj
= 0 (1
≤
j
≤
n
)
. Тогда
k
Ax
0
k
= max
1
≤
i
≤
n
n
X
j
=1
a
ij
x
j
≥
n
X
j
=1
|
a
ij
|
.
Следовательно, получено равенство
k
A
k
= max
1
≤
i
≤
n
n
X
j
=1
|
a
ij
|
.
(8)
Замечание 8.
Линейное пространство матриц
M atr
n
(
K
)
становится
нормированным, если положить
kAk
=
k
A
k
,
где
A
:
K
n
→
K
n
- линейный
оператор, определяемый матрицей
A
и
K
n
является нормированным.
Упражнения к § 18
1. Докажите равенство
A
0 = 0
для оператора
A
∈
L
(
X, Y
)
,
используя
свойство аддитивности оператора
A
.
2. Пусть
A, B
∈
L
(
X, Y
)
и
α
∈
K.
Докажите линейность операторов
A
+
B, αA.
Проверьте выполнение аксиом линейного пространства для
L
(
X, Y
)
.
3. Выясните, какие из следующих отображений линейного пространства
R
3
в себя являются линейными операторами:
a
)
Ax
= (
x
3
, x
2
, x
1
)
,
b
)
Ax
= (
x
1
, x
2
, x
2
3
)
,
c
)
Ax
= (
x
3
+ 1
, x
2
, x
1
)
, d
)
Ax
= (
x
1
−
3
x
3
,
−
x
2
, x
1
+
x
2
)
.
124
Глава 3. Линейная алгебра
4. Какие из следующих отображений линейного пространства
P
(
K
)
в
P
n
(
K
)
являются линейными операторами
a
) (
Af
)(
t
) =
f
(
−
t
)
, b
) (
Af
)(
t
) =
f
(
t
+ 1)
,
c
) (
Af
)(
t
) =
f
2
(
t
)
,
d
) (
Af
)(
t
) =
tf
(
t
)
,
g
) (
Af
)(
t
) =
f
(
t
2
)?
5. Будет ли линейным оператор
A
:
C
→
C
,
определенный формулой
A
(
z
) =
z, z
∈
C
?
6. Докажите, что каждый линейный оператор
A
:
K
→
K,
где
K
=
R
или
K
=
C
,
имеет вид
Az
=
αz, z
∈
K,
где
α
– некоторое число из
K
.
7. Найдите матрицы линейных операторов из упражнений 3 и 4 относи-
тельно стандартных базисов.
8. Докажите линейность оператора
A
:
T
n,m
→
T
n,m
, определенного фор-
мулой
Aϕ
=
α
0
ϕ
(
n
)
+
α
1
ϕ
(
n
−
1)
+
· · ·
+
α
n
ϕ
и найдите матрицу этого оператора относительно базиса
e
i
2
πk
w
t
, k
=
= 0
,
±
1
, . . . ,
±
n.
Как выглядит матрица этого оператора относительно
базиса
1
,
cos
2
π
w
t,
sin
2
π
w
t, . . . ,
cos
2
πn
w
t,
sin
2
πn
w
t
?
9. Как изменится матрица линейного оператора
A
:
X
→
X
с базисом
e
1
, . . . , e
n
в
X
, если
1) поменять местами векторы
e
i
и
e
j
;
2) вектор
e
i
умножить на число
α
6
= 0
;
3) вектор
e
i
заменить на
e
i
+
e
j
;
4) перейти к базису
e
n
, e
1
, . . . , e
n
−
1
?
10. Найдите матрицу оператора
A
:
H
→
H,
заданного в евклидовом про-
странстве
H
с ортонормированном базисом
e
1
, . . . , e
n
,
с помощью фор-
мулы
Ax
= (
x, a
)
b,
где
a, b
∈
H.
11. Докажите линейную независимость линейных операторов
D
k
:
P
n
(
R
)
→ P
n
(
R
)
, k
= 1
,
2
, . . . , n,
где
D
0
=
I,
D
1
ϕ
=
ϕ
0
, . . . ,
D
n
ϕ
=
ϕ
(
n
)
.
§
18
.
Пространство линейных операторов
125
12. Докажите линейную независимость тождественного оператора
I
:
X
→
X
(
X
– линейное пространство) и любого другого оператора
A
∈
L
(
X
)
,
переводящего некоторый вектор
x
∈
X
в
y
∈
X
такой, что
x, y
– линейно независимые векторы.
13. Пусть
x
1
, . . . , x
m
– произвольные векторы из линейного конечномерно-
го пространства
X
и
y
1
, . . . , y
m
– произвольные векторы из линейного
пространства
Y
. Всегда ли существует линейный оператор
A
:
X
→
Y,
переводящий каждый вектор
x
k
в
y
k
,
1
≤
k
≤
m
?
14. Ответьте на вопрос задачи 13 при условии линейной независимости век-
торов
x
1
, . . . , x
m
.
15. Пусть
A
∈
L
(
X, Y
)
. Укажите такие базисы в
X
и
Y
, чтобы матрица
оператора
A
относительно этих базисов имела простейший вид
1 0
. . .
0 0
. . .
0
0 1
. . .
0 0
. . .
0
... ...
... ... ...
... ...
0 0
. . .
1 0
. . .
0
0 0
. . .
0 0
. . .
0
... ...
... ... ...
... ...
0 0
. . .
0 0
. . .
0
.
Чему равно минимальное число единиц в этой матрице?
16. Пусть
D
:
P
n
(
R
)
→ P
n
(
R
)
– оператор дифференцирования. Найдите
матрицу оператора
D
,
если базис в
P
n
(
R
)
состоит из многочленов вида
1)
1 +
t, t
+ 2
t
2
,
3
t
2
−
1 (
n
= 2);
2)
1
,
1 +
t,
1 +
t
1!
+
t
2
2!
, . . . ,
1 +
t
1!
+
t
2
2!
+
· · ·
+
t
n
n
!
;
3)
1
,
1 +
t,
1 +
t
+
t
2
, . . . ,
1 +
t
+
t
2
+
· · ·
+
t
n
.
17. Проверьте линейность оператора
P
M
из примера 5.
18. Какое из следующих утверждений неверно:
а) всякий линейный оператор переводит линейно зависимую систему
векторов в линейно зависимую;
б) линейно независимая система векторов переводится в линейно
независимую.
126
Глава 3. Линейная алгебра
19. Пусть
A
= (
a
ij
)
– матрица оператора
A
∈
L
(
X
)
относительно базиса
e
1
, . . . , e
n
и
σ
– перестановка из
S
n
. Докажите, что матрица оператора
A
в базисе
e
σ
(1)
, . . . , e
σ
(
n
)
имеет вид
(
a
σ
(
i
)
σ
(
j
)
)
.
20. Докажите, что норма оператора
A
:
K
n
→
K
n
,
задаваемого матрицей
A
= (
a
ij
)
∈
M atr
n
(
K
)
,
при
k
x
k
1
=
n
P
i
=1
|
x
i
|
(см. пример 4, § 16),
определяется формулой
k
A
k
= max
1
<j
≤
n
n
P
i
=1
|
a
ij
|
.
§
19. Ядро и образ линейного оператора. Изоморфизмы
Стимулом для изучения линейных операторов является тесная связь тео-
рии линейных операторов с вопросами разрешимости систем линейных алгеб-
раических уравнений вида
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
. . .
+
a
1
n
x
n
=
b
1
,
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
. . .
+
a
2
n
x
n
=
b
2
,
...
...
...
...
...
...
...
...
...
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
. . .
+
a
mn
x
n
=
b
m
,
(1)
где
b
i
, a
ij
∈
K,
1
≤
i
≤
m,
1
≤
j
≤
n
и
K
=
R
,
либо
K
=
C
. В
§
13
мы
рассмотрели один из известных методов решения такой системы уравнений.
Наряду с системой (1) рассмотрим уравнение вида
Ax
=
b,
(2)
где
A
:
K
n
→
K
m
– линейный оператор, определенный равенствами (2) из
§
18, с помощью матрицы
(
a
ij
)
,
составленной из коэффициентов системы (1),
и
b
= (
b
1
, . . . , b
m
)
∈
K
m
.
Определение 1.
Вектор
x
0
= (
x
1
, . . . , x
m
)
∈
K
m
назовем
решением
уравнения (2), если
Ax
0
=
b.
Замечание 1.
Непосредственно из определения оператора
A
следует,
что каждое решение системы (1) является решением уравнения (2) и, обратно,
каждое решение уравнения (2) является решением системы уравнений (1)
(говорят, что
система уравнений
(1) и уравнение (2)
эквивалентны
).
Замечание 2.
Условие совместности системы уравнений (1) для любого
упорядоченного набора чисел
(
b
1
, . . . , b
m
)
∈
K
m
означает свойство сюръек-
тивности оператора
A
. Условие единственности решения системы (1) экви-
валентно условию инъективности оператора
A
.