ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3488
Скачиваний: 14
§
19
.
Ядро и образ линейного оператора. Изоморфизмы
127
Итак, ввиду замечания 2 для изучения системы вида (1) является важ-
ным выполнение условий инъективности и сюръективности соответствующих
линейных операторов.
Пусть
X
и
Y
– линейные пространства, рассматриваемые над одним и
тем же полем
K
, где
K
=
R
или
K
=
C
. Для любого линейного оператора
A
∈
L
(
X, Y
)
проверка условий его инъективности и сюръективности тесно
связана со следующими множествами
KerA
=
{
x
∈
X
:
Ax
= 0
}
,
ImA
=
{
y
∈
Y
:
∃
x
∈
X, Ax
=
y
}
=
A
(
X
) =
{
Ax
:
x
∈
X
}
,
которые называются соответственно
ядром и образом
линейного оператора
A
(понятие образа отображения рассматривалось нами в
§
3, а понятие ядра
гомоморфизма групп - в определении 13 из § 5).
Лемма 1.
KerA
и
ImA
– линейные подпространства из
X
и
Y
со-
ответственно. Условие
KerA
=
{
0
}
эквивалентно условию инъективности
оператора
A
.
Доказательство.
Если
x, y
∈
Ker A
и
α, β
∈
K,
то
A
(
α x
+
β y
) =
α
1
Ax
+
βAy
1
= 0
, .. αx
+
βy
∈
KerA.
Допустим, что
y
1
, y
2
∈
Im A
и
α
1
, α
2
∈
K.
Тогда существуют эле-
менты
x
1
, x
2
∈
X
такие, что
y
i
=
Ax
i
, i
= 1
,
2
.
Следовательно,
A
(
α
1
x
1
+
α
2
x
2
) =
α
1
y
1
+
α
2
y
2
∈
ImA.
Если оператор
A
инъективен, то из равенства
A
0 = 0
следует, что
Ker A
=
{
0
}
.
Обратно, пусть
Ker A
=
{
0
}
.
Если
Ax
1
=
Ax
2
для некоторых
векторов
x
1
, x
2
∈
X,
то
Ax
1
−
Ax
2
=
A
(
x
1
−
x
2
) = 0
.
Поэтому
x
1
−
x
2
= 0
,
т.е.
x
1
=
x
2
.
Лемма доказана.
Отметим, что последнее утверждение леммы следует из упражнения 18,
§ 5.
Определение 2.
Размерность
(
dim Im A
)
образа
Im A
⊂
Y
оператора
A
называется
рангом оператора
A
. Ранг оператора
A
обозначается символом
rang A
. Размерность подпространства
Ker A
называют
дефектом оператора
A
и обозначают
def A
.
Т е о р е м а 1.
Пусть
X
и
Y
– конечномерные линейные пространства
и
A
∈
L
(
X, Y
)
.
Тогда имеет место равенство
dim X
=
dim Ker A
+
dim Im A
=
def A
+
rang A.
Доказательство.
Пусть
dim X
=
n
и
e
1
, . . . , e
k
– некоторый базис
в подпространстве
Ker A
из
X
. Согласно теореме 2, из
§
15 существует
подпространство
M
из
X
такое, что
X
=
Ker A
⊕
M
и
dim Ker A
+
128
Глава 3. Линейная алгебра
dim M
=
n
(см.теорему 1 из
§
15). Дополним базис
e
1
, . . . , e
k
из
Ker A
до
базиса в
X
с помощью некоторых векторов
e
k
+1
, . . . , e
n
из
M
.
Ясно, что
Im A
=
A
(
M
) =
{
Ax
:
x
∈
M
}
.
Докажем, что
dim Im A
=
n
−
k.
Для этого достаточно показать, что векторы
y
1
=
Ae
k
+1
, . . . , y
n
−
k
=
Ae
n
линейно независимы в
Y
(и тогда они будут образовывать базис в
Im A
.) Ес-
ли
α
1
y
1
+
· · ·
+
α
n
−
k
y
n
−
k
= 0
,
т.е.
α
1
Ae
k
+1
+
· · ·
+
α
n
−
k
Ae
n
= 0
,
то из линейно-
сти
оператора
A
следует,
что
A
n
P
j
=
k
+1
α
j
−
k
e
j
!
=
0
,
т.е.
n
P
j
=
k
+1
α
j
−
k
e
j
∈
Ker A
∩
M
=
{
0
}
.
Поэтому
α
j
= 0
∀
j
= 1
,
2
, . . . , n
−
k
(в силу линейной независимости
векторов
e
j
, j
= 1
, . . . , n
−
k
)
.
Таким образом,
dim X
=
n
=
k
+
n
−
k
=
def A
+
dim Im A.
Теорема
доказана.
Следствие.
Для оператора
A
∈
L
(
X, Y
)
существуют подпространства
M
⊂
X
и
N
⊂
Y
такие, что
X
=
Ker A
⊕
M, Y
=
N
⊕
Im A
и сужение
A
0
:
M
→
Im A
оператора
A
на
M
биективно.
Доказанная теорема служит основой для ряда важных выводов. Однако
вначале дадим
Определение 3.
Линейный оператор
A
∈
L
(
X, Y
)
называется
изомор-
физмом
, если он биективен.
Определение 4.
Два линейных пространства
X
и
Y
(рассматриваемые
над одним полем
K
) называются
изоморфными
, если существует изоморфизм
A
:
X
→
Y.
В связи с определением 4, полезно обратиться к определению 12 из § 5.
Следующие утверждения непосредственно вытекают из теоремы 1.
Т е о р е м а 2.
Изоморфные линейные пространства имеют одинаковую
размерность (пространства разной размерности не изоморфны).
Непосредственно из леммы 1 следует, что одновременное выполнение
условий 1)
Ker A
=
{
0
}
,
2)
Im A
=
Y
эквивалентно биективности опе-
ратора
A
(обратимости этого оператора). В действительности из теоремы 1
следует более сильное утверждение.
Т е о р е м а 3.
Пусть размерности линейных пространств
X
и
Y
совпа-
дают. Тогда оператор
A
∈
L
(
X, Y
)
является изоморфизмом, если выполнено
одно из следующих условий:
1)
Ker A
=
{
0
}
( т.е.
A
инъективен);
2)
Im A
=
Y
( т.е.
A
сюрьективен).
Отметим еще один результат.
§
19
.
Ядро и образ линейного оператора. Изоморфизмы
129
Т е о р е м а 4.
Два конечномерных пространства
X
и
Y
изоморфны
тогда и только тогда, когда
dim X
=
dim Y.
Доказательство.
Пространства разной размерности не изоморфны (см.
теорему 2) и поэтому необходимость условия ясна.
Пусть
dim X
=
dim Y, e
1
, . . . , e
n
– базис в
X
и
f
1
, . . . , f
n
– базис в
Y
.
Рассмотрим линейный оператор
A
:
X
→
Y,
определенный формулой
A
n
X
i
=1
α
i
e
i
!
=
n
X
i
=1
α
i
f
i
.
Ясно, что
Ker A
=
{
0
}
,
и поэтому из теоремы 3 следует, что
A
– изоморфизм.
Теорема доказана.
Следствие 1.
Каждое линейное пространство
X
(над полем
K
) раз-
мерности
n
изоморфно линейному пространству
K
n
. Если
e
1
, . . . , e
n
– базис
в
X
, то изоморфизм
A
:
X
→
K
n
задается формулой
Ax
= (
x
1
, . . . , x
n
)
∈
K
n
, x
=
x
1
e
1
+
· · ·
+
x
n
e
n
.
Следствие 2.
Линейные пространства
P
n
(
K
)
и
K
n
+1
изоморфны. Изо-
морфизм
A
:
P
n
(
K
)
→
K
n
+1
можно определить формулой
Af
= (
f
0
, f
1
, . . . , f
n
)
, f
(
z
) =
f
0
+
f
1
z
+
· · ·
+
f
n
z
n
.
Следствие 3.
Линейное пространство
M atr
m,n
(
K
)
изоморфно каждо-
му из линейных пространств
(
K
n
)
m
,
(
K
m
)
n
.
Соответствующие изоморфизмы
Φ
1
:
M atr
m,n
(
K
)
→
(
K
n
)
m
,
Φ
2
:
M atr
m,n
(
K
)
→
(
K
m
)
n
задаются формулами
Φ
1
(
A
) = (
a
1
, . . . , a
m
)
,
Φ
2
(
A
) = (
b
1
, . . . , b
n
)
,
A
= (
a
ij
)
∈
M atr
m,n
(
K
)
,
где
a
1
= (
a
11
, . . . , a
1
n
)
, . . . , a
m
= (
a
m
1
)
, . . . , a
mn
)
– строки матрицы
A
и
b
1
=
(
a
11
, . . . , a
m
1
)
, . . . , b
n
= (
a
1
n
, . . . , a
mn
)
– столбцы матрицы, рассматриваемые
как элементы пространств
K
n
и
K
m
соответственно.
В
частности,
изоморфны
пространства
M atr
1
,n
(
K
)
и
K
n
,
M atr
m,
1
(
K
)
K
m
.
Т е о р е м а 5.
Если
A
:
X
→
Y
изоморфизм линейных пространств
X
и
Y
, то обратный оператор
A
−
1
:
Y
→
X
(существующий в силу теоремы
1 из
§
3) также является изоморфизмом.
Доказательство.
Поскольку обратное отображение к биективному отоб-
ражению биективно (см.
§
3), то достаточно доказать, что
A
−
1
:
Y
→
X
является линейным оператором.
Пусть
y
=
α
1
y
1
+
α
2
y
2
∈
Y
, где
y
1
, y
2
∈
Y
и
α
1
, α
2
∈
K.
Если
Ax
i
=
y
i
,
i
= 1
,
2
,
где
x
1
, x
2
∈
X,
то
A
(
α
1
x
1
+
α
2
x
2
) =
α
1
y
1
+
α
2
y
2
=
y,
и поэтому
A
−
1
(
α
1
y
1
+
α
2
y
2
) =
α
1
x
1
+
α
2
x
2
=
α
1
A
−
1
y
1
+
α
2
A
−
1
y
2
.
Теорема доказана.
130
Глава 3. Линейная алгебра
Будем далее считать линейные пространства
X
и
Y
нормированными.
Определение 5.
Линейные нормированные пространства
X
и
Y
назы-
ваются
изометрически
изоморфными
,
если
существует
изоморфизм
A
:
X
→
Y,
обладающий свойством
k
Ax
k
=
k
x
k ∀
x
∈
X
(и, значит,
k
A
k
=
k
A
−
1
k
= 1)
.
Изометрически изоморфные линейные пространства имеют одинаковые
алгебраические и геометрические свойства, если отвлечься от природы эле-
ментов этих множеств.
Вернемся к рассмотрению системы уравнений вида (1) (уравнения (2))
при условии, что
n
=
m
. Учитывая замечание 2, из теоремы 3 получаем
следующее утверждение.
Т е о р е м а 6.
Имеют место следующие утверждения:
1. Для того чтобы система уравнений (1) была совместной при любой
правой части
b
= (
b
1
, . . . , b
m
)
,
необходимо и достаточно, чтобы соответству-
ющая однородная система уравнений (т.е.
Ax
= 0
) имела только нулевое
решение
0 = (0
, . . . ,
0)
∈
K
n
.
2. Если система уравнений (1) совместна для любой правой части
b
=
= (
b
1
, . . . , b
m
)
,
то она имеет единственное решение.
Т е о р е м а 7
(об общем виде решений системы уравнений (1)). Пусть
x
1
– некоторое решение системы уравнений (1) (и, значит, уравнения (2)).
Тогда каждое решение
x
∗
системы (1) представимо в виде
x
∗
=
x
0
+
x
1
,
где
x
0
– некоторое решение однородной системы уравнений вида (1).
Доказательство.
Пусть
x
∗
– произвольное решение системы (1) и по-
этому
Ax
=
b
, где
A
– линейный оператор, задаваемый с помощью матрицы
(
a
ij
)
. Так как
Ax
1
=
b
, то
A
(
x
∗
−
x
1
) =
b
−
b
= 0
,
т.е. для
x
0
=
x
∗
−
x
1
имеем
Ax
0
= 0
,
и поэтому
x
∗
=
x
0
+
x
1
.
Теорема доказана.
Упражнения к § 19
1. Найдите
образ
и
ядро
оператора
дифференцирования
D
:
P
n
(
K
)
→ P
n
(
K
)
.
Чему равен ранг этого оператора?
2. Найдите ядро, образ и ранг оператора
A
:
R
3
→
R
3
, если он задается
одной из следующих формул
a
)
Ax
= (
x
1
+
x
2
−
x
3
, x
1
+
x
2
−
x
3
, x
1
+
x
2
−
x
3
);
§
19
.
Ядро и образ линейного оператора. Изоморфизмы
131
b
)
Ax
= (2
x
1
−
x
2
−
x
3
, x
1
−
2
x
2
+
x
3
, x
1
+
x
2
−
2
x
3
);
c
)
Ax
= (0
, x
1
−
x
2
, x
1
+
x
3
)
, x
= (
x
1
, x
2
, x
3
)
∈
R
3
.
3. Приведите пример линейного оператора из
L
(
R
3
)
такого, что
R
3
не яв-
ляется прямой суммой ядра и образа этого оператора.
4. В пространстве
P
n
(
K
)
постройте два различных линейных оператора с
одним ядром и образом.
5. Пусть
M
– подпространство из конечномерного пространства
X
и
N
–
подпространство
из
конечномерного
пространства
Y
такие,
что
dim X
=
dim M
+
dim N.
Докажите, что найдется оператор
A
∈
L
(
X, Y
)
, для которого
M
=
Ker A N
=
Im A.
6. Пусть
A
∈
L
(
X, Y
)
и подпространство
L
из
Y
содержится в образе
Im A
оператора
A
. Докажите, что прообраз
A
−
1
(
L
)
подпространства
L
является подпространством в
X
и его размерность равна
dim L
+
def A.
7. Рассмотрите линейный оператор
T
:
P
n
(
C
)
→
C
m
, определенный фор-
мулой
T ϕ
= (
ϕ
(
z
1
)
, ϕ
(
z
2
)
, . . . , ϕ
(
z
m
))
,
где
z
1
, . . . , z
m
– различные числа из
C
.
Найдите размерность ядра и ранг
этого оператора.
8. Найдите ядро и образ линейного оператора интегрирования
J
:
P
n
−
1
(
R
)
→ P
n
(
R
)
,
определенного формулой
(
J ϕ
)(
t
) =
Z
t
0
ϕ
(
s
)
ds.
Будет ли он инъективным, сюръективным, биективным?
9. Докажите, что ранг суммы двух операторов не превосходит суммы ран-
гов операторов.
10. Докажите, что каждый линейный оператор
A
:
X
→
Y
ранга 1 имеет
вид
Ax
=
λ
(
x
)
b, x
∈
X,
где
λ
∈
X
∗
и
b
– некоторый вектор из
Y
.
11. Пусть
A, B
∈
L
(
X, Y
)
имеют ранг 1, одно и то же ядро и одинаковый
образ. Докажите, что
A
и
B
коллинеарны.
12. Докажите, что любой линейный оператор ранга
r
представим в виде
суммы
r
линейных операторов ранга 1, но не представим в виде суммы
меньшего числа операторов ранга 1.