ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3490
Скачиваний: 14
132
Глава 3. Линейная алгебра
13. Какие из следующих множеств линейных операторов из
L
(
X, Y
)
явля-
ются подпространствами
1) множество всех операторов ранга 1;
2) множество всех операторов ранга
≤
k
(
k
≥
1);
3) множество всех операторов, ядра которых содержат некоторое фик-
сированное подпространство;
4) множество всех инъективных операторов;
5) множество всех сюръективных операторов;
6) множество всех операторов, множество значений которых лежит в
заданном подпространстве из
Y
?
14. Докажите, что
n
линейных функционалов
f
i
:
X
→
K,
1
≤
i
≤
n,
где
X
- линейное пространство размерности
n
, линейно независимы тогда и
только тогда, когда пересечение их ядер есть нулевое подпространство.
§
20. Линейные операторы и матрицы. Алгебры
линейных операторов и алгебры матриц
Всюду в этом параграфе
X, Y
– два конечномерных линейных простран-
ства (над полем
K
) с базисами
e
1
, . . . , e
n
и
f
1
, . . . , f
m
соответственно. Изла-
гаемые здесь результаты относятся к изучению взаимосвязи линейных опе-
раторов и их матриц (пространств
L
(
X, Y
)
и
M atr
m,n
(
K
)
).
Т е о р е м а 1.
Линейное пространство
L
(
X, Y
)
изоморфно линейному
пространству матриц
M atr
m,n
(
K
)
. Изоморфизм
M
:
L
(
X, Y
)
→
M atr
m,n
(
K
)
можно определить формулой
M
(
A
) =
A
,
(1)
где
A
= (
a
ij
)
∈
M atr
m,n
(
K
)
– матрица оператора
A
(относительно заданных
в
X
и
Y
базисов).
Доказательство.
По доказанному ранее,
dim L
(
X, Y
) =
dim M atr
m,n
(
K
) =
mn
и, следовательно, пространства
L
(
X, Y
)
и
M atr
m,n
(
K
)
изоморфны. Изомор-
физм пространств одинаковой размерности был установлен в теореме 4 из
§
19 и строился он так: базисные векторы одного пространства переводились
в базисные векторы другого пространства. На том же принципе основано и
построение изоморфизма
M
, определенного формулой (1).
§
20. Линейные операторы и матрицы линейных операторов
133
Напомним обозначения
I
ij
, E
ij
,
1
≤
i
≤
m,
1
≤
j
≤
n
для элементов
базисов в
L
(
X, Y
)
и
M atr
m,n
(
K
)
соответственно, используемые в
§
18 и
примере 5 из
§
15. Поскольку
E
ij
– матрица элементарного оператора
I
ij
,
то
M
(
I
ij
) =
E
ij
, т.е.
M
:
L
(
X, Y
)
→
M atr
m,n
(
K
)
– изоморфизм согласно
теореме 4 из
§
19. Теорема доказана.
Наряду с пространствами
X
и
Y
рассмотрим еще одно конечномерное
линейное пространство
Z
. Пусть
A
∈
L
(
Y, Z
)
и
B
∈
L
(
X, Y
)
– два линейных
оператора. Тогда естественным образом определена их суперпозиция (см.
§
3
)
A
◦
B
:
X
→
Z,
которая задается формулой
(
A
◦
B
)(
x
) =
A
(
Bx
)
, x
∈
X,
Лемма 1.
Суперпозиция
A
◦
B
:
X
→
Z
является линейным оператором.
Доказательство.
Для любой пары векторов
x
1
, x
2
∈
X
и любой пары
чисел
α
1
, α
2
∈
K
имеют место равенства
(
A
◦
B
)(
α
1
x
1
+
α
2
x
2
) =
A
(
B
(
α
1
x
1
+
α
2
x
2
)) =
A
(
α
1
Bx
1
+
α
2
Bx
2
) =
α
1
(
A
◦
B
)
x
1
+
α
2
(
A
◦
B
)
x
2
.
Замечание 1.
Суперпозиция
A
◦
B
линейных операторов далее назы-
вается
произведением
операторов и обозначается символом
AB
.
Вычислим матрицу оператора
AB
:
X
→
Z,
если известны матрицы
A
= (
a
ik
)
∈
M atr
p,m
(
K
)
,
B
= (
b
kj
)
∈
M atr
m,n
(
K
)
операторов
A
:
Y
→
Z
и
B
:
X
→
Y
соответственно относительно базисов
e
1
, . . . , e
n
в
X
,
f
1
, . . . , f
m
в
Y
и
g
1
, . . . , g
p
в
Z
. Имеют место равенства
(
AB
)
e
j
=
A
(
Be
j
) =
A
(
m
P
k
=1
b
kj
f
k
) =
=
m
P
k
=1
b
kj
Af
k
=
m
P
k
=1
b
kj
(
p
P
i
=1
a
ik
g
i
) =
p
P
i
=1
(
m
P
k
=1
a
ik
b
kj
)
g
i
.
Из этих равенств получаем, что имеет место
Лемма 2.
Матрица
(
c
ij
)
∈
M atr
p,n
(
K
)
оператора
C
=
AB
определяется
равенствами
c
ij
=
m
X
k
=1
a
ik
b
kj
, i
= 1
, . . . , p, j
= 1
, . . . , n.
(2)
134
Глава 3. Линейная алгебра
Учитывая результат леммы 2, естественно определить произведение двух
матриц следующим образом.
Определение 1.
Матрицу
(
c
ij
)
∈
M atr
p,n
(
K
)
, определенную равенства-
ми (2), называют
произведением матриц
A
=
(
a
ik
)
∈
M atr
p,m
(
K
)
,
B
= (
b
kj
)
∈
M atr
m,n
(
K
)
и обозначают символом
AB
.
Замечание 2.
Обратим внимание, что произведение
AB
двух матриц
A
и
B
имеет смысл только в случае, если число столбцов матрицы
A
равно
числу строк матрицы
B
. Тогда матрица
AB
будет иметь то же число строк
, что и сомножитель
A
и то же число столбцов, что и сомножитель
B
.
Замечание 3.
Пусть
A
∈
L
(
K
n
, K
m
)
и
(
a
ij
)
∈
M atr
m,n
(
K
)
– его матри-
ца относительно стандартных базисов в
K
n
и
K
m
. Тогда оператор
A
задается
с помощью матрицы
(
a
ij
)
в виде формулы (2) из
§
18
.
Эту формулу удобно,
используя понятие произведения матриц, записывать в виде произведения
Ax
=
a
11
a
12
. . .
a
1
n
a
21
a
22
. . .
a
2
n
...
...
...
...
a
m
1
a
m
2
. . . a
mn
x
1
x
2
...
x
n
=
n
P
j
=1
a
1
j
x
j
...
n
P
j
=1
a
mj
x
j
=
AX
(3)
матрицы
A
= (
a
ij
)
на матрицу
X
из
M atr
n,
1
(
K
)
, полученную с помощью
записи вектора
x
= (
x
1
, . . . , x
n
) (вектор-строки из
M atr
1
,n
(
K
)
)в качестве
вектора-столбца
X
, рассматриваемого в качестве элемента из
M atr
n,
1
(
K
)
.
Такой подход позволяет, в частности, записать значение любого линей-
ного функционала
f
:
K
n
→
K
на каждом векторе
x
= (
x
1
, . . . , x
n
)
∈
K
n
в
виде произведения
f
(
x
) = (
f
1
, . . . , f
n
)
x
1
...
x
n
=
n
X
j
=1
f
j
x
j
матрицы
(
f
1
, . . . , f
n
)
∈
M atr
1
,n
(
K
)
на матрицу
x
1
...
x
n
∈
M atr
n,
1
(
K
)
,
где
f
k
=
f
(
e
k
)
,
1
≤
k
≤
n, e
1
= (1
,
0
, . . . ,
0)
, . . . , e
n
= (0
,
0
, . . . ,
1)
∈
K
n
.
§
20. Линейные операторы и матрицы линейных операторов
135
Т
е
о
р
е
м
а
2.
Суперпозиция
AB
двух изоморфизмов
A
:
Y
→
X, B
:
X
→
Z
является изоморфизмом и
(
AB
)
−
1
=
B
−
1
A
−
1
.
(4)
Доказательство.
Суперпозиция
AB
двух биективных отображений
A
и
B
есть биективное отображение и имеет место формула (4) (см. теорему 3
из
§
3
). Поскольку
AB
и
(
AB
)
−
1
– линейные операторы (см. теорему 5 из
§
19
и лемму 1), то
AB
– изоморфизм. Теорема доказана.
Следствие 1.
Если линейное пространство
X
изоморфно линейному
пространству
Y
, а
Y
изоморфному линейному пространству
Z
, то
X
и
Z
–
изоморфные линейные пространства.
Теперь
рассмотрим
линейное
пространство
линейных
операторов
L
(
X
) =
L
(
X, X
)
,
где
X
- конечномерное линейное пространство линейных
операторов.
Нами была введена операция умножения линейных операторов. В дан-
ном случае она задает внутренний закон композиции
(
AB
∈
L
(
X
)
∀
A, B
∈
L
(
X
))
.
Т е о р е м а 3.
L
(
X
)
- алгебра с единицей.
Доказательство.
Итак, в
L
(
X
)
введены два внутренних закона ком-
позиции (сложение и умножение операторов) и внешний закон композиции
(умножение на числа из поля
K
). Проверим выполнение равенств 1)-5) из
определения 9,
§
7
.
Предварительно отметим, что тождественный оператор
I
∈
L
(
X
)
играет
роль единицы, так как
IA
=
AI
=
A
∀
A
∈
L
(
X
)
, т.е. выполнено свойство
5).
Свойства 1), 2) и 4) следуют из соответствующих свойств линейных
операторов. Докажем выполнение равенства
α
(
AB
) = (
αA
)
B
∀
α
∈
K,
∀
A, B
∈
L
(
X
)
.
Действительно, для любого вектора
x
∈
X
(
α
(
AB
))
x
=
α
(
AB
)
x
=
α
(
A
(
Bx
)) = (
αA
)(
Bx
) = ((
αA
)
B
)
x.
136
Глава 3. Линейная алгебра
Свойство ассоциативности операции умножения было ранее установлено
для общих отображений (§ 3).
Осталось проверить, что
A
является кольцом, т.е. выполнены условия
1) - 3) из определения 1,
§
7
.
Свойства 1) и 3) выполнены. Поэтому проверке
подлежит выполнение равенств из свойства 2). Докажем только первое из
них (второе устанавливается аналогично). Пусть
x
∈
X
. Тогда для любых
трех операторов
A, B, C
∈
L
(
X
)
имеют место равенства
((
A
+
B
)
C
)
x
= (
A
+
B
)(
Cx
) =
A
(
Cx
) +
B
(
Cx
) =
= (
AC
)
x
+ (
BC
)
x
= (
AC
+
BC
)
x.
Теорема доказана.
Т е о р е м а 4.
Пусть
dim X
≥
2
.
Тогда
L
(
X
)
- некоммутативная
алгебра, не являющаяся полем.
Доказательство.
Так как
dim X
≥
2
,
то
dim L
(
X
)
≥
(
dim X
)
2
≥
4
.
Пусть
I
ij
,
1
≤
i, j
≤
n
- обычный базис в
L
(
X
)
. Тогда
I
12
I
21
=
I
11
6
=
I
21
I
12
=
=
I
22
,
т.е.
L
(
X
)
- некоммутативная алгебра.
Поскольку
Rang I
ij
= 1
∀
i, j
= 1
, . . . , n,
то
Im
(
I
(
ij
)
)
6
=
X
и поэтому все
операторы
I
ij
,
1
≤
i, j
≤
n
необратимы. Теорема доказана.
Замечание 4.
Если
dim X
= 1
,
то алгебра
L
(
X
)
изоморфна полю
K
,
так как любой оператор
A
∈
L
(
X
)
имеет вид
Ax
=
αx, x
∈
X,
где
α
∈
K.
Теперь
рассмотрим
линейное
пространство
квадратных
матриц
M atr
n
(
K
) =
M atr
n,n
(
K
)
.
Нами было определено произведение матриц. В
случае квадратных матриц
A
= (
a
ij
)
,
B
= (
b
ij
)
из
M atr
n
(
K
)
их произведе-
ние
AB
есть матрица
(
c
ij
)
из
M atr
n
(
K
)
,
которая определяется равенствами
(см. равенства (2))
c
ij
=
n
X
k
=1
a
ik
b
kj
,
1
≤
i, j
≤
n
(5)
Непосредственно из теоремы 1 следует, что линейные пространства
L
(
X
)
и
M atr
n
(
K
) (
n
=
dim X
)
изоморфны и изоморфизм задается линейным опе-
ратором
M
:
L
(
X
)
→
M atr
n
(
K
)
,
определенным формулой (1) (при
X
=
Y
)
.