ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3491
Скачиваний: 14
§
20. Линейные операторы и матрицы линейных операторов
137
Важно отметить, что умножение матриц вводилось таким образом, что-
бы выполнялось равенство
M
(
AB
) =
AB
=
M
(
A
)
M
(
B
)
,
(6)
где
A
,
B
– матрицы операторов
A
и
B
соответственно. В следующей теореме
будет показано, что
M atr
n
(
K
)
- алгебра и, следовательно, равенство (6) вме-
сте с линейностью оператора
M
означает, что
M
является изоморфизмом
алгебр (определение 11,
§
7
).
Т е о р е м а 5.
M atr
n
(
K
)
– алгебра с единицей. Она некоммутативна,
если
n
≥
2
.
Доказательство.
Для
проверки
необходимых
свойств привлечем
изоморфизм
M
:
L
(
X
)
→
M atr
n
(
K
)
и используем тот факт, что
L
(
X
)
- ал-
гебра. Доказательство всех необходимых свойств проводится по единой схеме
и поэтому остановимся только на доказательстве ассоциативности умноже-
ния матриц.
Пусть
A
i
, i
= 1
,
2
,
3
- три матрицы из
M atr
n
(
K
)
и
A
i
, i
= 1
,
2
,
3
-
операторы из
L
(
X
)
,
задаваемые с помощью матриц
A
i
, i
= 1
,
2
,
3
соответ-
ственно. Тогда
A
i
=
M
(
A
i
)
, i
= 1
,
2
,
3
,
и поэтому имеют место равенства
(
A
1
A
2
)
A
3
=
M
(
A
1
A
2
)
M
(
A
3
) =
M
(
A
1
)
M
(
A
2
)
M
(
A
3
) =
M
(
A
1
)
M
(
A
2
A
3
) =
=
A
1
(
A
2
A
3
)
.
Некоммутативность алгебры
M atr
n
(
K
)
, n
≥
2
следует из соотношений
E
12
E
21
=
E
11
6
=
E
22
=
E
21
E
12
.
Из замечания перед теоремой 5 следует
Т е о р е м а 6.
Алгебры
L
(
X
)
, M atr
n
(
K
)
изоморфны и отображение
M
:
L
(
X
)
→
M atr
n
(
K
)
является изоморфизмом алгебр.
Т е о р е м а 7.
Оператор
A
∈
L
(
X
)
обратим тогда и только тогда,
когда обратима его матрица. Более того,
M
(
B
−
1
) =
M
(
B
)
−
1
для любого
обратимого оператора
B
∈
L
(
X
)
(т.е. матрица оператора
B
−
1
равна матрице,
обратной к матрице оператора
B
).
138
Глава 3. Линейная алгебра
Доказательство.
Во-первых,
отметим,
что
отображение
M
−
1
:
M atr
n
(
K
)
→
L
(
K
)
является гоморфизмом алгебр (см. теорему 5 из
§
19
и лемму 3 из
§
5
).
Если оператор
A
∈
L
(
X
)
обратим, то
AA
−
1
=
A
−
1
A
=
I
. Поэтому
M
(
A
−
1
A
) =
M
(
AA
−
1
) =
M
(
A
)
M
(
A
−
1
) =
M
(
A
−
1
)
M
(
A
) =
E,
т.е. мат-
рица
A
=
M
(
A
)
обратима и
M
(
A
−
1
) = (
M
(
A
)
−
1
.
Обратно, если матрица
A
=
M
(
A
)
оператора
A
обратима, то обратимость оператора
A
получается
аналогичным образом, но с использованием алгебраического гомоморфизма
M
−
1
. Теорема доказана.
Замечание 5.
Из общего определения обратного отображения следует,
что оператор
A
∈
L
(
X
)
обратим, если существует оператор
B
∈
L
(
X
)
такой,
что выполнены равенства
AB
=
I, BA
=
I.
В действительности достаточно выполнения одного из этих равенств. Напри-
мер, если выполнено равенство
BA
=
I
, то
A
- инъективный оператор (см.
упражнение 16 из
§
3
), и поэтому, в силу теоремы 3,
§
19
он обратим.
Замечание 6.
Теоремы 6 и 7 позволяют свести вопрос об обратимости
линейных операторов к обратимости матриц рассматриваемых операторов.
Естественно ожидать, что с изменением базиса в
X
изменится и гомо-
морфизм
M
:
L
(
X
)
→
M atr
n
(
K
)
(изменятся матрицы рассматриваемых
операторов). Выясним, как меняется матрица оператора при изменении ба-
зиса в
X
.
Итак, наряду с заданным базисом
e
1
, . . . , e
n
в
X
, по которому построен
гомоморфизм
M
:
L
(
X
)
→
M atr
n
(
K
)
, рассмотрим еще один базис
e
0
1
, . . . , e
0
n
.
Найдем формулу, выражающую матрицу
A
0
= (
a
0
ij
)
оператора
A
∈
L
(
X
)
в
новом базисе
e
0
1
, . . . , e
0
n
через его матрицу
A
=
M
(
A
) = (
a
ij
)
в старом базисе.
С этой целью введем в рассмотрение обратимый оператор
U
∈
L
(
X
)
,
§
20. Линейные операторы и матрицы линейных операторов
139
определяемый на базисных векторах
e
1
, . . . , e
n
равенствами
U e
j
=
e
0
j
, j
= 1
, . . . , n.
Пусть
I
0
ij
,
1
≤
i, j
≤
n
- базис в
L
(
X
)
, который строится по новому базису в
X,
т.е.
I
0
ij
e
0
j
=
e
0
i
и
I
0
ij
e
0
k
= 0
,
если
k
6
=
j
. Тогда имеют место равенства
I
0
ij
=
U I
ij
U
−
1
,
1
≤
i, j
≤
n,
так как операторы в обеих частях этих равенств совпадают на базисе
(
e
0
k
)
,
1
≤
k
≤
n.
Из определения матрицы оператора получаем, что
A
=
n
X
i,j
=1
a
0
ij
I
0
ij
=
n
X
i,j
=1
a
0
ij
U I
ij
U
−
1
=
U
n
X
i,j
=1
a
0
ij
I
ij
!
U
−
1
.
Применяя к обеим частям этих равенств изоморфизм
M
:
L
(
X
)
→
M atr
n
(
K
)
,
получим
A
=
M
(
A
) =
M
(
U
)
A
0
M
(
U
−
1
) =
U A
0
U
−
1
,
A
0
=
U
−
1
AU
,
(7)
где
U
- матрица оператора
U
в старом базисе
e
1
, . . . , e
n
.
Это означает, что
матрица
U
= (
u
ij
)
получена из разложений
e
0
j
=
n
X
i
=1
u
ij
e
i
, j
= 1
, . . . , n
(8)
элементов нового базиса по старому базису.
Прежде чем сформулировать полученный способ вычисления матрицы
A
0
оператора
A
относительно нового базиса, дадим два используемых далее
определения.
Определение 2.
Две матрицы
A
1
,
A
2
∈
M atr
n
(
K
)
называются
подоб-
ными
, если существует обратимая матрица
U ∈
M atr
n
(
K
)
такая, что имеет
место равенство
A
2
=
U
−
1
A
1
U
.
(9)
140
Глава 3. Линейная алгебра
Матрица
U
называется
трансформирующей матрицей
.
Определение 3.
Два оператора
A
1
, A
2
∈
L
(
X
)
называются
подобными
,
если существует обратимый оператор
U
∈
L
(
X
)
такой, что
A
2
=
U
−
1
A
1
U.
(10)
Оператор
U
называется
оператором преобразования
.
Лемма 3.
Подобные операторы имеют подобные матрицы. Если два
оператора имеют подобные матрицы, то операторы подобны.
Доказательство.
Пусть
A
1
, A
2
∈
L
(
X
)
– подобные операторы, тогда
имеет место равенство (10), где
U
– обратимый оператор из
L
(
X
)
. Применяя
к обеим частям этого равенства изоморфизм
M
, получим равенство вида (9),
где
A
k
– матрица оператора
A
k
(
k
= 1
,
2
) и
U
– матрица оператора
U
.
Обратно, если матрица
A
1
,
A
2
этих операторов подобны, т.е. имеет место
равенство вида (9), то из него следует равенство (10) после применения к
обеим частям его изоморфизма
M
−
1
:
M atr
n
(
K
)
→
L
(
X
)
. Лемма доказана.
Теперь мы имеем возможность подвести итог приведенным выше рас-
суждениям.
Т е о р е м а 8.
Матрица
A
0
оператора
A
∈
L
(
X
)
в новом базисе
e
0
1
, . . . , e
0
n
подобна матрице
A
оператора
A
в старом базисе
e
1
, . . . , e
n
и имеет
место равенство
A
0
=
U
−
1
AU
,
где трансформирующая матрица
U
= (
u
ij
)
определяется соотношениями (8)
и называется
матрицей оператора перехода
от старого базиса к новому.
Кроме того, матрица
A
0
является матрицей оператора
U
−
1
AU
в базисе
e
1
, . . . , e
n
.
Предположим теперь, что
X
– линейное нормированное пространство.
Тогда
L
(
X
)
также является линейным нормированным пространством (см.
теорему 2 из
§
18
).
Определение 4.
Линейное нормированное пространство
B
, являющее-
§
20. Линейные операторы и матрицы линейных операторов
141
ся алгеброй, называется
нормированной
алгеброй, если для любой пары эле-
ментов
a, b
∈
B
выполнено неравенство
k
ab
k ≤ k
a
kk
b
k
.
Т е о р е м а 9.
L
(
X
)
– нормированная алгебра.
Доказательство.
Пусть
A
1
A
2
∈
L
(
X
)
.
Тогда для любого вектора
x
∈
X
с
k
x
k ≤
1
имеют место неравенства
k
A
1
A
2
x
k
=
k
A
1
(
A
2
x
)
k ≤ k
A
1
kk
A
2
x
k ≤ k
A
1
kk
A
2
k
.
Следовательно,
k
A
1
A
2
k ≤ k
A
1
kk
A
2
k
.
Теорема доказана.
Если в алгебре
M atr
n
(
K
)
введена норма (см. замечание 8, § 12), то имеет
место
Следствие 2.
M atr
n
(
K
)
- нормированная алгебра.
Отметим, что на алгебре
M atr
n
(
K
)
можно ввести норму и другим, чем
в замечании 8 способом. Например, можно положить
k A k
=
max
1
≤
i
i,j
≤
n
|
a
ij
|
.
Однако, при
n
≥
2
относительно этой нормы
M atr
n
(
K
)
не является норми-
рованной алгеброй.
Упражнения к § 20
1. Найдите произведение
BA
операторов
B
:
P
n
(
C
)
→ P
n
(
C
)
,
A
:
P
n
(
C
)
→ P
n
(
C
)
,
заданных формулами
(
Aϕ
)(
z
) =
ϕ
(
z
)
−
ϕ
(0)
z
, Bϕ
=
ϕ
(0)
.
2. Для каких
m, n, k, `
определены произведения
AB
и
BA
линейных опе-
раторов
A
:
P
m
(
R
)
→ P
n
(
R
)
, B
:
P
k
(
R
)
→ P
`
(
R
)?
3. Докажите, что для операторов
A, A
2
, . . . , A
n
, . . .
из
L
(
X
)
имеют место
включения подпространств
KerA
⊂
KerA
2
⊂
. . . ,
ImA
⊃
ImA
2
⊃
. . . .