ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3480
Скачиваний: 14
202
Глава 3. Линейная алгебра
Доказательство.
Пусть
M
- инвариантное подпространство операто-
ра
A
и
P
∈
L
(
X
)
- некоторый проектор на
M
(т.е.
ImP
=
M
). Тогда
AP x
∈
M
∀
x
∈
X
и поэтому
P AP x
=
AP x
∀
x
∈
X.
Обратно, если
P AP
=
AP
для некоторого проектора
P
∈
L
(
X
)
с
ImP
=
M,
то для любого вектора
m
∈
M
получаем
Am
=
AP m
=
P AP m
=
=
P Am
∈
M.
Лемма доказана.
Лемма 4.
Оператор
A
∈
L
(
X
)
допускает разложение относительно пря-
мой суммы
X
=
X
1
⊕ · · · ⊕
X
m
своих подпространств
X
k
, k
= 1
, . . . , m
то-
гда и только тогда, когда он перестановочен с операторами проектирования
P
k
, k
= 1
, . . . , m
на подпространства
X
k
, k
= 1
, . . . , m
параллельно осталь-
ным подпространствам.
Доказательство
проведем для
m
= 2
(общий случай рассматривает-
ся аналогично). Пусть
A
допускает разложение относительно прямой суммы
X
=
X
1
⊕
X
2
и
P
1
- проектор на
X
1
параллельно
X
2
. Каждый вектор
x
∈
X
представим в виде
x
=
x
1
+
x
2
, x
k
∈
X
k
, k
= 1
,
2
и тогда имеют место равен-
ства
AP
1
x
=
Ax
1
=
P
1
(
Ax
1
+
Ax
2
) =
P
1
Ax.
Допустим теперь, что
AP
1
=
P
1
A.
Тогда для любого вектора
x
1
∈
X
1
получаем
Ax
1
=
AP
1
x
1
=
P
1
Ax
1
∈
X
1
.
Аналогично для любого
x
2
∈
X
2
Ax
2
=
A
(
I
−
P
1
)
x
2
= (
I
−
P
1
)
Ax
2
∈
X
2
.
Т е о р е м а 7.
Пусть
A
∈
L
(
X
)
- оператор простой структуры со
спектром
σ
(
A
) =
{
λ
1
, . . . , λ
m
}
.
Тогда имеет место представление вида
A
=
λ
1
P
1
+
λ
2
P
2
+
· · ·
+
λ
m
P
m
,
(11)
где
P
k
- проектор на собственное подпространство
E
(
λ
k
, A
) (1
≤
k
≤
m
)
опе-
ратора
A
параллельно другим собственным подпространствам. Представле-
§
28. Инвариантные подпространства. Разложение операторов
203
ние вида (11) называется
спектральным представлением или разложением
оператора простой структуры.
Доказательство.
Из теоремы 4 следует, что
X
=
E
(
λ
1
A
)
⊕ · · · ⊕
⊕
E
(
λ
m
A
)
,
и поэтому каждый вектор
x
∈
X
можно представить в виде
x
=
x
1
+
· · ·
+
x
m
=
P
1
x
+
· · ·
+
P
m
x,
где
x
k
∈
E
(
λ
k
, A
)
,
1
≤
k
≤
n.
То-
гда
Ax
=
Ax
1
+
· · ·
+
Ax
m
=
λ
1
x
1
+
· · ·
+
λ
m
x
m
=
λ
1
P
1
x
+
· · ·
+
λ
m
P
m
x,
т.е. имеет место представление (11). Теорема доказана.
Т е о р е м а 8.
Пусть
A ∈
M atr
n
(
K
)
- матрица простой структуры
со спектром
σ
(
A
) =
{
λ
1
, . . . , λ
m
}
.
Тогда имеет место представление (называ-
емое спектральным)
A
=
λ
1
P
1
+
· · ·
+
λ
m
P
m
,
где
P
k
, k
= 1
,
· · ·
, m
- идемпотентные матрицы, для которых выполнены
свойства:
P
1
+
· · ·
+
P
m
=
E,
P
i
P
j
= 0
для
i
6
=
j.
Упражнения к §§ 27,28
1. Докажите, что
P
∈
L
(
X
)
- проектор тогда и только тогда, когда его
матрица
P
(в некотором базисе из
X
) идемпотентна.
2. Докажите, что каждый проектор
P
является оператором простой
структуры и что
σ
(
P
)
⊂ {
0
,
1
}
,
причем
σ
(
P
) =
{
0
,
1
}
,
если
P
6
= 0
и
P
6
=
I.
3. Пусть
P
∈
L
(
X
)
- проектор. Докажите существование базиса в
X
тако-
го, что матрица
P
проектора
P
имеет блочно-диагональный вид
E
1
0
0
0
,
где
E
1
- единичная матрица порядка
k
=
rang P
.
204
Глава 3. Линейная алгебра
4. Какие из следующих операторов
A
i
:
P
n
(
C
)
→ P
n
(
C
)
, i
= 1
,
2
, . . . ,
5
являются проекторами
(
A
1
ϕ
)(
z
) =
ϕ
(0)
,
(
A
2
ϕ
)(
z
) =
ϕ
(
z
)
−
ϕ
(0)
,
(
A
3
ϕ
)(
z
) =
ϕ
(
z
)
−
ϕ
(0)
z
,
(
A
4
ϕ
)(
z
) =
ϕ
(0) +
ϕ
(
z
)
2
,
(
A
5
ϕ
)(
z
) =
ϕ
(
n
)
(0)
z
n
n
!
?
5. Докажите, что след каждого проектора (идемпотентной матрицы) явля-
ется целым числом, равным рангу проектора (матрицы).
6. Докажите, что каждый оператор, подобный проектору, является проек-
тором.
7. Докажите, что если проекторы
P
1
и
P
2
перестановочны, то их произве-
дение
P
=
P
1
P
2
является проектором. При этом
ImP
=
ImP
1
\
ImP
2
, Ker P
=
KerP
1
+
Ker P
2
=
=
{
x
1
+
x
2
:
x
k
∈
Ker P
k
, k
= 1
,
2
}
.
Если же
P
1
P
2
=
P
2
P
1
= 0
,
то
P
1
+
P
2
- проектор на подпространство
ImP
1
L
ImP
2
.
8. Пусть
A
=
m
P
k
=1
λ
k
P
k
спектральное разложение оператора простой
структуры. Докажите, что если
λ
6
=
λ
k
,
∀
k
= 1
, . . . , m,
то
(
A
−
λI
)
−
1
=
=
m
P
k
=1
1
λ
k
−
λ
P
k
(указание: используйте свойства проекторов из замечания
1).
9. Докажите, что ядро и образ линейного оператора
A
∈
L
(
X
)
инвариант-
ны относительно
A
.
10. Докажите, что операторы
A
и
A
−
λI, λ
∈
K
имеют одни и те же инва-
риантные подпространства.
11. Докажите, что если оператор
A
∈
L
(
X
)
обратим, то
A
и
A
−
1
имеют
одни и те же инвариантные пространства.
§
28. Инвариантные подпространства. Разложение операторов
205
12. Пусть операторы
A
и
B
перестановочны. Докажите, что образ и ядро
оператора
A
инвариантны относительно
B
.
13. Докажите, что любое собственное подпространство оператора
A
∈
L
(
X
)
инвариантно относительно любого перестановочного с ним оператора
B
∈
L
(
X
)
.
14. Пусть оператор
A
∈
L
(
X
)
имеет
n
=
dim X
различных собственных
значений. Докажите, что каждый оператор
B
∈
L
(
X
)
, перестановочный
с ним, является оператором простой структуры и собственные векторы
оператора
A
будут являться собственными векторами оператора
B
.
15. Докажите, что любые два перестановочных линейных оператора
A, B
∈
L
(
X
)
, где
X
- комплексное пространство, имеют общий собствен-
ный вектор.
16. Докажите, что оператор дифференцирования
D
:
P
n
(
K
)
→ P
n
(
K
)
не
приводится никакой парой подпространств.
17. Найдите инвариантное подпространство линейного оператора
A
=
=
C
2
→
C
2
, Ax
= (
x
1
+
x
2
, x
1
−
x
2
)
, x
= (
x
1
, x
2
)
.
18. Пусть
H
- евклидово пространство. Найдите условия, при которых опе-
ратор
Ax
= (
x, a
)
b, a, b
∈
H
является проектором.
19. Пусть
P
1
, . . . , P
m
- разложение единицы. Докажите линейную независи-
мость проекторов
P
1
, . . . , P
m
(как элементов пространства операторов).
20. Пусть
A
∈
L
(
X
)
и
P
∈
L
(
X
)
- проектор на подпространство
X
1
⊂
X.
Докажите, что оператор
A
перестановочен с
p
тогда и только тогда,
когда подпространства
X
1
и
X
2
=
Im
(
I
−
P
)
являются инвариантными
для
A
.
206
Глава 3. Линейная алгебра
§
29. Многочлены от операторов и матриц
В предыдущем параграфе было введено понятие прямой суммы опера-
торов и показано, что изучение исходного оператора
A
, допускающего пред-
ставление
A
=
A
1
⊕
A
2
⊕ · · · ⊕
A
m
,
по существу сводится к изучению его
частей
A
k
,
1
≤
k
≤
m.
Для оператора
A
простой структуры эти части яв-
ляются скалярными операторами
(
A
k
=
λ
k
I
k
)
и поэтому их изучение совсем
просто.
Однако при использовании разложений операторов возникает ряд во-
просов. Во-первых, следует выяснить, насколько элементарными (просты-
ми) могут быть части оператора, прямой суммой которых он является. Во-
вторых, конкретный способ построения этих частей.
Выяснение этих вопросов осуществляется нами с помощью многочленов
от операторов, которые рассматриваются в этом параграфе.
Рассмотрим три алгебры:
P
(
K
)
- алгебра многочленов,
L
(
X
)
- алгебра
линейных операторов, действующих в конечномерном линейном простран-
стве
X
(над полем
K
) и
M atr
n
(
K
)
- алгебра матриц (
n
=
dim X
). Будем
считать, что в
X
выбран базис
e
1
, . . . , e
n
, так что можно рассмотреть алгеб-
раический изоморфизм
M
:
L
(
X
)
→
M atr
n
(
K
)
,
построенный в
§
20.
Пусть
A
- некоторый оператор из алгебры
L
(
X
)
. Каждому многочлену
p
(
z
) =
p
0
+
p
1
z
+
· · ·
+
p
k
z
k
из алгебры
P
(
K
)
поставим в соответствие оператор
p
(
A
)
из
L
(
X
)
, положив
p
(
A
) =
p
o
A
0
+
p
1
A
+
· · ·
+
p
k
A
k
, A
0
=
I.
Определение 1.
Оператор
p
(
A
)
назовем
многочленом от оператора
A
.
Таким образом, каждому многочлену
p
поставлен в соответствие опера-
тор
p
(
A
)
(оператор
A
∈
L
(
X
)
фиксирован). Получено отображение
Φ
A
из
алгебры
P
(
K
)
в алгебру
L
(
X
)
.
Т е о р е м а 1.
Отображение
Φ
A
:
P
(
K
)
→
L
(
X
)
является гомомор-
физмом алгебр, т.е. имеют место следующие свойства