ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3476
Скачиваний: 14
§
29. Многочлены от операторов и матриц
207
1)
Φ
A
(1) =
I
;
2)
Φ
A
(
αf
+
βg
) =
α
Φ
A
(
f
) +
β
Φ
A
(
g
)
, α, β
∈
K, f, g
∈ P
(
K
);
т.е.
Φ
A
-
линейный оператор;
3)
Φ
A
(
f g
) = Φ
A
(
f
)Φ
A
(
g
)
(или
(
f g
)(
A
) =
f
(
A
)
g
(
A
)
).
Доказательство.
Свойство 1) очевидно. Свойства 2) и 3) доказываются
близким способом и поэтому докажем только свойство 3).
Пусть
f
(
z
) =
f
0
+
f
1
z
+
· · ·
+
f
k
z
k
, g
0
+
g
1
z
+
· · ·
+
g
m
z
m
.
Тогда
(
f g
)(
z
) =
d
0
+
d
1
z
+
· · ·
+
d
k
+
m
z
k
+
m
,
где
d
`
=
P
i
+
j
=
`
f
i
g
j
, `
= 0
,
1
, . . . , k
+
m.
Поэтому
Φ
A
(
f g
) =
= (
f g
)(
A
) =
d
0
I
+
d
1
A
+
· · ·
+
d
k
+
m
A
k
+
m
.
С другой стороны,
Φ
A
(
f
)Φ
A
(
g
) =
=
f
(
A
)
g
(
A
) = (
f
0
I
+
f
1
A
+
· · ·
+
f
k
A
k
)(
g
0
I
+
g
1
A
+
· · ·
+
g
m
A
m
) =
d
0
I
+
d
1
A
+
· · ·
+
d
k
+
m
A
k
+
m
.
Итак,
(
f g
)(
A
) =
f
(
A
)
g
(
A
)
.
Теорема доказана.
Следствие 1.
Операторы
f
(
A
)
и
g
(
A
)
перестановочны для любых
f,
g
∈ P
(
K
)
.
Доказательство
следует из коммутативности алгебры
P
(
K
)
и следу-
ющих равенств
f
(
A
)
g
(
A
) = (
f g
)(
A
) = (
gf
)(
A
) =
g
(
A
)
f
(
A
)
.
Пример 1.
Пусть
D
:
P
n
(
C
)
→ P
n
(
C
)
- оператор дифференцирования
и
p
(
z
) =
p
0
+
p
1
z
+
· · ·
+
p
k
z
k
- многочлен из алгебры
P
(
C
)
.
Поскольку
D
j
ϕ
=
ϕ
(
j
)
−
j
- ая производная многочлена
ϕ
∈ P
n
(
C
)
,
то
p
(
D
)
ϕ
=
ϕ
+
p
1
ϕ
0
+
· · ·
+
p
k
ϕ
(
k
)
, ϕ
∈ P
n
(
C
)
.
Замечание 1.
Если
A
- матрица из алгебры
M atr
n
(
K
)
,
то для лю-
бого многочлена
p
(
z
) =
p
0
+
p
1
z
+
· · ·
+
p
k
z
k
из алгебры
P
(
K
)
положим
p
(
A
) =
p
0
E
+
p
1
A
+
· · ·
+
p
k
A
k
.
Построенное отображение
Φ
A
:
P
(
K
)
→
M atr
n
(
K
)
является гомоморфизмом алгебр (т.е. имеет место аналог теоре-
мы 1). Поскольку
M
:
L
(
X
)
→
M atr
n
(
K
)
- алгебраический изоморфизм, то
M
Φ
A
(
p
) =
M
(
p
o
I
+
p
1
A
+
· · ·
+
p
k
A
k
) =
p
0
E
+
p
1
A
+
· · ·
+
p
k
A
k
= Φ
A
(
p
)
,
т.е.
p
(
A
)
- матрица оператора
p
(
A
)
,
если
A
∈
L
(
X
)
и
A
=
M
(
A
)
.
208
Глава 3. Линейная алгебра
Итак, из замечания 1 следует
Т е о р е м а 2.
Пусть
A ∈
M atr
n
(
K
)
- матрица оператора
A
∈
L
(
X
)
.
Тогда для любого многочлена
p
матрица
p
(
A
)
является матрицей оператора
p
(
A
)
.
Пусть теперь
A
∈
L
(
X
)
- оператор простой структуры с
σ
(
A
) =
{
λ
1
, . . . , λ
m
}
и рассмотрим его спектральное разложение
A
=
m
X
j
=1
λ
j
P
j
,
(1)
где
P
1
, . . . , P
m
- разложение единицы (
P
j
- проектор на
E
(
λ
j
, A
)
параллельно
другим собственным подпространствам).
Ввиду равенств
P
i
P
j
= 0
для
i
6
=
j
и
P
2
i
=
P
i
, i
= 1
, . . . , m
получаем
A
k
=
m
X
j
=1
λ
k
j
P
j
, k
≥
1
.
Поэтому для любого многочлена
p
(
z
) =
p
0
+
p
1
z
+
· · ·
+
p
k
z
k
из
P
(
K
)
имеет
место равенство
p
(
A
) =
m
X
j
=1
p
0
P
j
+
m
X
j
=1
p
1
λ
j
P
j
+
· · ·
+
m
X
j
=1
p
k
λ
k
j
P
j
и, следовательно,
p
(
A
) =
m
X
j
=1
p
(
λ
j
)
P
j
=
k
X
i
=1
µ
i
P
0
i
,
(2)
где
{
µ
1
, . . . , µ
2
}
=
σ
(
p
(
A
))
и
P
0
i
=
P
p
(
λ
`
)=
µ
i
P
`
(докажите, что
P
0
1
, . . . , P
0
k
-
разложение единицы).
Из равенства (2) получаем, что если
x
i
∈
E
(
λ
i
, A
)
,
то
p
(
A
)
x
i
=
m
X
j
=1
p
(
λ
j
)
P
j
x
i
=
m
X
j
=1
p
(
λ
j
)
P
j
P
i
x
i
=
p
(
λ
i
)
x
i
,
т.е. собственное подпространство
E
(
λ
i
, A
)
является собственным подпрост-
ранством оператора
p
(
A
)
, отвечающим собственному значению
p
(
λ
i
)
. Непо-
средственно из определения оператора простой структуры следует, что
p
(
A
)
§
29. Многочлены от операторов и матриц
209
- оператор простой структуры со спектром
σ
(
p
(
A
)) =
{
p
(
λ
1
)
, . . . , p
(
λ
m
)
}
=
p
(
σ
(
A
))
и он имеет спектральное разложение вида (2).
Таким образом, доказана
Т е о р е м а 3.
Если
A
∈
L
(
X
)
- оператор простой структуры со спек-
тральным разложением вида (1), то для любого многочлена оператор
p
(
A
)
является оператором простой структуры со спектром
p
(
σ
(
A
)) =
{
p
(
λ
1
, . . . ,
p
(
λ
m
)
}
,
с теми же собственными подпространствами, что и
A
, и имеющим
спектральное разложение вида (2).
Следствие 2.
Оператор
p
(
A
)
допускает представление
p
(
A
) =
p
((
λ
1
)
I
1
⊕
p
(
λ
2
)
I
2
⊕ · · · ⊕
p
(
λ
m
)
I
m
,
(3)
где
I
j
- тождественный оператор в подпространстве
X
j
=
E
(
λ
j
, A
)
,
1
≤
j
≤
m.
Утверждение этого следствия можно получить несколько по-иному, непо-
средственно используя понятие прямой суммы операторов и следующее за-
мечание.
Замечание 2.
Пусть оператор
A
есть прямая сумма операторов
A
1
, . . . ,
A
m
, т.е.
A
=
A
1
⊕ · · · ⊕
A
m
,
где
A
j
∈
L
(
X
)
, j
= 1
, . . . , m
и
X
=
X
1
⊕ · · · ⊕
X
m
.
Любой вектор
x
∈
X
представим в виде
x
=
x
1
+
· · ·
+
x
m
, x
j
∈
X
j
,
j
= 1
, . . . , m
и тогда имеет место равенство
Ax
=
A
1
x
1
+
· · ·
+
A
m
x
m
.
Применяя к обеим частям этого равенства оператор
A
, получим
A
2
x
=
AA
1
x
1
+
· · ·
+
AA
m
x
m
=
A
1
A
1
x
1
+
· · ·
+
A
m
A
m
x
m
=
A
2
1
x
1
+
· · ·
+
A
2
m
x
m
.
Аналогично для любого
j
≥
3
получаем
A
j
x
=
A
j
1
x
1
+
· · ·
+
A
j
m
x
m
,
т.е.
A
j
=
A
j
1
⊕ · · · ⊕
A
j
m
.
Поэтому для любого многочлена
p
(
z
) =
p
0
+
p
1
z
+
· · ·
+
p
k
z
k
имеет место представление
p
(
A
) =
p
(
A
1
)
⊕
p
(
A
2
)
⊕ · · · ⊕
p
(
A
m
)
.
(4)
210
Глава 3. Линейная алгебра
Ясно, что если
A
j
=
λ
j
I
i
,
то получим представление (3).
Пусть далее
A
∈
L
(
X
)
- оператор простой структуры, имеющий спек-
тральное разложение вида (1). Из спектрального разложения (2) для операто-
ра
A
видно, что если многочлен
f
j
∈ P
(
K
)
обладает свойствами:
f
j
(
λ
j
) = 1
и
f
j
(
λ
i
) = 0
для
i
6
=
j, i
= 1
, . . . , n,
то получим следующую формулу для
проектора
P
j
=
f
j
(
A
)
.
Используя интерполяционную формулу Лагранжа (
§
11
), мы видим, что та-
кими свойствами обладает многочлен
f
j
(
λ
) =
m
Y
k
=1
, k
6
=
j
λ
−
λ
k
λ
j
−
λ
k
.
Поэтому имеют место следующие представления проекторов
P
j
=
1
m
Q
k
=1
, k
6
=
j
(
λ
j
−
λ
k
)
(
A
−
λ
1
I
)
. . .
(
A
−
λ
j
−
1
I
)(
A
−
λ
j
+1
I
)
. . .
(
A
−
λ
m
I
)
.
(5)
Таким образом, установлена
Т е о р е м а 4.
Оператор
A
∈
L
(
X
)
простой структуры со спектром
σ
(
A
) =
{
λ
1
, . . . , λ
m
}
имеет спектральное разложение вида
A
=
m
X
j
=1
λ
j
1
m
Q
k
=1
, k
6
=
j
(
λ
j
−
λ
k
)
(
A
−
λ
1
I
)
. . .
(
A
−
λ
j
−
1
I
)(
A
−
λ
j
+1
I
)
. . .
(
A
−
λ
m
I
)
.
(6)
Формула (6) называется
интерполяционной формулой Сильвестра
.
Следствие 3.
Если оператор
A
из условий теоремы 4 обратим, то
A
−
1
=
m
P
j
=1
1
λ
j
P
j
,
где проекторы
P
j
,
1
≤
j
≤
m
определены формулой (5).
Т е о р е м а 5.
Пусть
A ∈
M atr
n
(
K
)
- матрица простой структуры с
собственными значениями
λ
1
, . . . , λ
m
.
Тогда имеет место разложение вида
A
=
m
X
j
=1
λ
j
P
j
,
(7)
§
29. Многочлены от операторов и матриц
211
где
P
j
, j
= 1
, . . . , m
- идемпотентные матрицы вида
P
j
=
1
m
Q
k
=1
, k
6
=
j
(
λ
j
−
λ
k
)
(
A −
λ
1
E
)
. . .
(
A −
λ
j
−
1
E
)(
A −
λ
j
+1
E
)
. . .
(
A −
λ
m
E
)
,
обладающие свойствами:
E
=
P
1
+
P
2
+
· · ·
+
P
m
,
P
i
P
j
= 0
для
i
6
=
j.
Доказательство.
Оператор
A
∈
L
(
X
)
,
определяемый матрицей
A
, яв-
ляется по определению оператором простой структуры и поэтому имеет ме-
сто разложение (6). Применяя к обеим частям равенства (6) алгебраический
изоморфизм
M
:
L
(
X
)
→
M atr
n
(
K
)
,
получим разложение (7). Теорема до-
казана.
Определение 2.
Представление вида (7) для матрицы простой струк-
туры называется ее
спектральным разложением
.
Упражнения к § 29
1. Пусть
D
:
P
n
(
C
)
→ P
n
(
C
)
- оператор дифференцирования и
p
(
z
) = 1 +
z
1!
+
z
2
2!
+
· · ·
+
z
n
n
!
.
Докажите, что оператор
p
(
D
)
совпадает с оператором
(
Aϕ
)(
z
) =
ϕ
(
z
+ 1)
, ϕ
∈ P
n
(
C
)
.
2. Пусть
A
=
a b
c d
∈
M atr
2
(
R
)
.
Найдите все числа
a, b, c, d
∈
R
такие, что
A
n
=
E
для некоторого натурального
n
.
3. Пусть
x
0
- собственный вектор оператора
A
∈
L
(
X
)
, отвечающий соб-
ственному значению
λ
0
. Докажите, что для любого многочлена
p
∈ P
(
K
)
вектор
x
0
является собственным вектором оператора
p
(
A
)
,
отвечающим собственному значению
p
(
λ
0
)
.
Почему обратное утвержде-
ние не всегда имеет место ?
4. Пусть
H
- евклидово пространство и оператор
A
∈
L
(
H
)
имеет вид
Ax
= (
x, a
)
b.
Найдите
p
(
A
)
для любого многочлена
p
. Докажите, что
A
- оператор простой структуры, если
(
b, a
)
6
= 0
.