ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3477
Скачиваний: 14
212
Глава 3. Линейная алгебра
5. Найдите
p
(
A
)
, p
∈
P
(
K
)
для
диагональной
матрицы
A
=
(
α
i
δ
ij
)
∈
M atr
n
(
K
)
.
6. Найдите
p
(
A
)
, p
∈ P
(
K
)
для матрицы
A ∈
M atr
n
(
K
)
вида
A
=
0
0
. . .
0
λ
1
0
0
. . . λ
2
0
...
... ...
... ...
λ
n
0
. . .
0
0
.
7. Пусть
A
=
a b
c d
∈
M atr
2
(
C
)
.
Докажите, что
A
- матрица про-
стой структуры, если выполнено условие
(
a
−
d
)
2
+ 4
bc
6
= 0
.
Найдите
(при выполнении этого условия) спектральное разложение матрицы
A
и формулу для матриц
A
n
, n
≥
2
.
8. Докажите, что обратный оператор
A
−
1
к оператору простой структуры
A
∈
L
(
X
)
допускает представление вида
A
−
1
=
p
(
A
)
,
где
p
- многочлен степени не выше
n
−
1
и
n
=
dim X
(или, точнее,
не выше числа
m
−
1
, где
m
- число различных собственных значений
оператора
A
).
9. Пусть
A
- оператор простой структуры со спектром
σ
(
A
) =
=
{
λ
1
, . . . , λ
m
}
.
Получите для
A
спектральное разложение вида
A
=
m
X
j
=1
λ
j
P
j
,
где
P
j
=
1
∆
m
−
1
P
j
=0
α
ij
A
i
,
∆ =
n
Q
i,j
=1
, i>j
(
λ
i
−
λ
j
)
- определитель матрицы
Вандермонда
(
λ
i
−
1
j
)
,
1
≤
i, j
≤
m
и
α
ij
- алгебраическое дополнение
к
ij
- ому элементу этой матрицы (указание: воспользуйтесь методом
получения спектрального разложения (4) из примера 1,
§
31).
§
30. Фактор-операторы. Теорема Гамильтона-Кэли
213
§
30. Фактор-операторы. Теорема Гамильтона-Кэли
Как мы убедились, "элементарными" частями оператора простой
структуры являются скалярные операторы и они могут быть построены с
помощью многочленов от операторов.
Выделение "элементарных" частей любых линейных операторов мы осу-
ществим также, привлекая многочлены от операторов, при этом важную роль
будут играть условия на многочлены
p
∈ P
,
при которых
p
(
A
) = 0
для иссле-
дуемого оператора
A
. Такие условия будут приведены в теореме Гамильтона-
Кэли.
При доказательстве этой теоремы будет использовано следующее поня-
тие фактор-оператора.
Пусть
A
∈
L
(
X
)
и
M
- нетривиальное инвариантное подпространство
оператора
A
. Рассмотрим фактор-пространство
X/M
(см.
§
15), состоящее
из классов вида
x
+
M
=
{
x
+
m
:
m
∈
M
}
, x
∈
X.
Определим оператор
A/M
:
X/M
→
X/M
следующими равенствами
A/M
(
x
+
M
) =
Ax
+
M, x
∈
X,
т.е. оператор
A/M
переводит класс эквивалентности
˜
x
=
x
+
M,
содер-
жащий элемент
x
, в классе эквивалентности, содержащий вектор
Ax
. При
этом следует проверить, что если
x
1
, x
2
- два элемента из одного класса
эквивалентности, то элементы
Ax
1
и
Ax
2
также находятся в одном клас-
се эквивалентности. Действительно, в этом случае
x
1
−
x
2
∈
M,
и поэтому
в силу инвариантности подпространства
M
относительно A получаем, что
Ax
1
−
Ax
2
=
A
(
x
1
−
x
2
)
∈
M
(т.е.
Ax
1
+
M
=
Ax
2
+
M
)
.
Ясно, что оператор
A/M
является линейным.
Определение 1.
Линейный оператор
A/M
называется
фактор-опе-
ратором
.
Замечая, что
A
k
x
∈
M
∀
x
∈
M
∀
k
≥
1
,
т.е.
M
- инвариантное под-
пространство всех операторов
A
k
, k
≥
1
,
мы получаем, что подпростран-
214
Глава 3. Линейная алгебра
ство
M
инвариантно относительно всех операторов
p
(
A
)
, p
∈ P
(
K
)
.
Из ра-
венств
p
(
A
)
M
=
p
(
A
)
x
=
p
0
x
+
p
1
Ax
+
· · ·
+
p
k
A
k
x
=
p
0
I
M
x
+
p
1
A
M
x
+
· · ·
+
p
k
A
k
M
=
p
(
A
M
)
x, x
∈
M
(
I
M
- тождественный оператор в
M
) следует, что
p
(
A
)
M
=
p
(
A
M
)
,
(1)
т.е. сужение многочлена
p
∈ P
(
C
)
от оператора
A
на подпространство
M
равно многочлену
p
от сужения
A
M
оператора
A
на
M
(операция сужения
оператора на подпространство перестановочна с операцией взятия многочле-
на от оператора).
Аналогично из равенств
p
(
A
)
/M
(
x
+
M
) =
p
(
A
)
x
+
M
=
p
0
x
+
p
1
Ax
+
· · ·
+
p
k
A
k
x
+
M
=
= (
p
0
I
M
+
p
1
(
A/M
) +
· · ·
+
p
k
(
A/M
)
k
)(
x
+
M
) =
p
(
A/M
)(
x
+
M
)
следует, что
p
(
A
)
/M
=
p
(
A/M
)
.
(2)
Из всего приведенного следует
Лемма
1.
Если
M
- инвариантное подпространство оператора
A
∈
L
(
X
)
, то для любого многочлена
p
∈ P
(
K
)
имеют место равенства
(1) и (2).
Замечание 1.
При специальном выборе базиса в
X
и в фактор-прост-
ранстве
X/M
можно добиться того, что матрица фактор-оператора
A/M
является частью матрицы оператора
A
.
С этой целью возьмем некоторый базис
e
1
, . . . , e
m
в
M
и дополним
его векторами
e
m
+1
, . . . , e
n
до базиса в
X
. Тогда классы эквивалентности
˜
e
m
+1
=
e
m
+1
+
M, . . . ,
˜
e
n
=
e
n
+
M
образуют базис в фактор-пространстве
X/M
(см.
§
15).
Пусть
(
a
ij
)
- матрица оператора
A
∈
L
(
X
)
относительно рассматривае-
мого базиса
e
1
, . . . , e
n
в
X
, т.е.
Ae
j
=
n
X
i
=1
a
ij
e
i
.
§
30. Фактор-операторы. Теорема Гамильтона-Кэли
215
Тогда значения фактор-оператора
A/M
на базисных классах эквивалентно-
сти
˜
e
m
+1
, . . . ,
˜
e
n
имеют вид
A/M
˜
e
j
=
Ae
j
+
M
=
n
X
i
=1
a
ij
e
i
+
M
=
n
X
i
=
m
+1
a
ij
e
i
+
M
=
=
n
X
i
=
m
+1
a
ij
(
e
i
+
M
) =
n
X
i
=
m
+1
a
ij
˜
e
i
, j
=
m
+ 1
, . . . , n.
Таким образом, матрицей фактор-оператора
A/M
при таком выборе
базиса в
X/M
будет служить матрица
(
b
ij
)
из
M atr
n
−
m
(
K
)
вида
b
ij
=
a
(
i
+
m
)(
j
+
m
)
,
1
≤
j, i
≤
n
−
m,
являющаяся блоком матрицы
(
a
ij
)
.
Определение 2.
Многочлен
p
∈ P
(
K
)
назовем
аннулирующим
опера-
тор
A
∈
L
(
X
)
(матрицу
A ∈
M atr
n
(
K
)
), если
p
(
A
) = 0 (
p
(
A
) = 0)
.
Много-
член
p
наименьшей положительной степени со старшим коэффициентом, рав-
ным единице и аннулирующим оператор
A
∈
L
(
X
)
(матрицу
A ∈
M atr
n
(
K
)
)
называется
минимальным многочленом
оператора
A
(матрицы
A
).
Для скалярного оператора
A
вида
αI
минимальным многочленом яв-
ляется многочлен первой степени
p
(
λ
) =
λ
−
α.
Для оператора
A
∈
L
(
X
)
, имеющего матрицу вида
A
=
0 1 0
. . .
0 0
0 0 1
. . .
0 0
... ... ... ...
... ...
0 0 0
. . .
0 1
0 0 0
. . .
0 0
∈
M atr
n
(
K
)
,
получаем
A
n
= 0
, т.е.
p
(
A
) = 0
для
p
(
λ
) =
λ
n
,
и этот многочлен является ми-
нимальным для оператора
A
. Минимальным является он и для матрицы
A
.
Лемма 2.
Минимальный многочлен для оператора
A
∈
L
(
X
)
(матрицы
A ∈
M atr
n
(
K
)
) единствен.
Доказательство.
Допустим, что
f
и
g
- два минимальных многочлена
для оператора
A
. Поэтому имеют место равенства (см. теорему 1 из
§
29)
(
f
−
g
)(
A
) =
f
(
A
)
−
g
(
A
) = 0
,
216
Глава 3. Линейная алгебра
т.е.
f
−
g
- многочлен, аннулирующий оператор
A
и имеющий степень, мень-
шую степени многочленов
f
и
g
. Следовательно,
f
−
g
= 0
.
Аналогичные
рассуждения верны для матриц.
Т е о р е м а Гамильтона - Кэли
. Пусть
X
- комплексное линей-
ное пространство. Характеристический многочлен
p
A
линейного оператора
A
∈
L
(
X
)
аннулирует этот оператор.
Доказательство проведем индукцией по размерности комплексных
пространств. Если
dim X
= 1
, то каждый оператор
A
∈
L
(
X
)
скалярный,
т.е. имеет вид
A
=
αI, α
∈
C
.
Поэтому
p
A
(
λ
) =
α
−
λ
и
p
A
(
A
) =
αI
−
αI
= 0
.
Пусть теперь
dim X
=
n
≥
2
и допустим, что утверждение теоремы
верно для всех комплексных линейных пространств размерности
≤
n
−
1
.
Согласно теореме 3 из
§
26, оператор
A
имеет, по крайней мере, одно
собственное значение
λ
1
.
Пусть
e
1
- соответствующий собственный вектор и
M
=
{
αe
1
:
α
∈
C
}
- одномерное подпространство из
X
. Наряду с вектором
e
1
рассмотрим векторы
e
2
, e
3
, . . . , e
n
так, чтобы они образовывали базис в
X
.
Тогда, согласно замечанию 1, векторы
˜
e
2
, . . . ,
˜
e
n
образуют базис в фактор-
пространстве
X/M.
Рассмотрим фактор-оператор
A/M.
Из леммы 1 (
§
28)
и того же замечания 1 следует, что матрица
A
имеет вид
A
=
λ
1
A
12
0
B
∈
M atr
n
(
C
)
,
где
B ∈
M atr
n
−
1
(
C
)
- матрица оператора
A/M
. Из вида матрицы
A
видно,
что
p
A
(
λ
) = (
λ
1
−
λ
)
p
(
λ
)
,
где
p
(
λ
) =
det
(
B −
λE
)
- многочлен степени
n
−
1
.
Тогда имеет место равенство
p
A
(
A
) = (
λ
1
I
−
A
)
p
(
A
)
.
По предположению индукции
p
(
A/M
) = 0
∈
L
(
X/M
)
.
Далее из леммы 1
следует, что
p
(
A
)
/M
=
p
(
A/M
) = 0
.
Это означает, что
p
(
A
)
x
∈
M
∀
x
∈
X.
Поэтому
p
A
(
A
)
x
= (
λ
1
I
−
A
)
p
(
A
)
x
= (
λ
1
I
M
−
A
M
)
p
(
A
)
x
= 0
(
I
M
- тожде-
ственный оператор в
M
и
A
M
- сужение
A
на
M
). Таким образом,
p
A
(
A
) = 0
.
Теорема доказана.