ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3473
Скачиваний: 14
§
31. Многочлены от операторов и разложение операторов
217
Следствие 1.
Если
σ
(
A
) =
{
λ
0
} ⊂
C
,
то
(
A
−
λ
0
I
)
n
= 0
,
где
A
∈
L
(
X
)
и
n
=
dim X.
Таким образом,
A
−
λ
0
I
- нильпотентный оператор.
Для доказательства достаточно заметить, что
p
A
(
λ
) = (
λ
0
−
λ
)
n
.
Итак, каждый оператор
A
∈
L
(
X
)
с одной точкой спектра
{
λ
0
}
пред-
ставим в виде
A
=
λ
0
I
+
Q,
где
Q
- нильпотентный оператор.
Упражнения к § 30
1. Найдите минимальные многочлены матриц
2 1 1
0 2 1
0 0 2
,
2 1 1
0 2 0
0 0 2
,
1 0 1
0 2 0
0 0 3
.
2. Докажите, что минимальный многочлен оператора простой структуры
со спектром
{
λ
1
, . . . , λ
m
}
совпадает с многочленом
p
(
λ
) =
= (
λ
−
λ
1
)
. . .
(
λ
−
λ
m
)
.
3. Найдите минимальный многочлен для оператора дифференцирования
D
:
P
n
(
C
)
→ P
n
(
C
)
.
4. Найдите минимальный многочлен для оператора
A
:
P
n
(
C
)
→ P
n
(
C
)
,
определенного равенством
(
Aϕ
)(
t
) =
ϕ
(
t
+ 1)
.
5. Докажите, что если
p
∈ P
(
C
)
,
и
A
- сопровождающая матрица, то
минимальный аннулирующий многочлен для
A
совпадает с
p
.
§
31. Многочлены от операторов и разложение операторов
Всюду в этом параграфе рассматриваются только конечномерные ком-
плексные линейные пространства размерности
n
≥
1
. Это предположение
связано с использованием теоремы 3 из
§
26 о существовании хотя бы одного
собственного значения у каждого из рассматриваемых линейных операторов.
218
Глава 3. Линейная алгебра
Пусть
A
∈
L
(
X
)
со спектром
σ
(
A
) =
{
λ
1
, . . . , λ
m
}
.
В теореме 1 будет
получено разложение
A
=
A
1
⊕ · · · ⊕
A
m
оператора
A
относительно прямой суммы
X
=
X
1
⊕ · · · ⊕
X
m
инвариантных относительно
A
подпространств
X
k
, k
= 1
, . . . , m,
причем
спектр
σ
(
A
k
)
каждой части
A
k
есть одноточечное множество
{
λ
k
}
.
Если
A
∈
L
(
X
)
– необратимый оператор простой структуры, то из тео-
ремы 4,
§
28 следует, что он является прямой суммой
A
= 0
⊕
A
1
нулевого оператора и обратимого оператора
A
1
относительно разложения
X
=
X
0
⊕
X
1
,
где
X
0
=
KerA
и
X
1
=
ImA.
Если
A
– произвольный необратимый оператор из
L
(
X
)
,
то утверждение
о том, что он является прямой суммой нулевого и обратимого операторов
неверно. Однако имеет место следующая
Лемма 1.
Любой необратимый оператор
A
∈
L
(
X
)
является прямой
суммой нильпотентного и обратимого операторов.
Доказательство.
Непосредственно из определения ядра и образа опе-
раторов следуют следующие включения
{
0
} 6
=
KerA
⊂
KerA
2
⊂ · · ·
,
X
⊃
ImA
⊃
ImA
2
⊃ · · ·
.
Вначале докажем, что существует
k
∈
N
такое, что
KerA
k
=
KerA
k
+1
,
и
тогда
KerA
k
=
KerA
j
∀
j
≥
k
+ 1
.
Наличие такого
k
следует из конечно-
мерности пространства
X
, так как подпространства
KerA
i
, i
≥
1
не могут
неограниченно возрастать. Пусть
k
– наименьшее число из
N
, для которого
KerA
k
=
KerA
k
+1
.
§
31. Многочлены от операторов и разложение операторов
219
Докажем, что
KerA
k
+2
=
KerA
k
.
Пусть
x
∈
KerA
k
+2
,
т.е.
A
k
+2
x
= 0
.
Тогда
A
k
+1
(
Ax
) = 0
.
Так как
KerA
k
=
KerA
k
+1
,
то
Ax
∈
KerA
k
.
Поэто-
му
A
k
+1
x
=
A
k
(
Ax
) = 0
,
т.е.
x
∈
KerA
k
+1
.
Из доказанного следует, что
KerA
k
=
KerA
j
∀
j
≥
k
+ 1
.
Из теоремы 1,
§
19 получаем равенства
n
=
dimX
=
dim KerA
j
+
dim ImA
j
=
=
def A
j
+
rangA
j
, j
≥
k.
(1)
Поэтому
ImA
k
−
1
⊃
ImA
k
=
ImA
j
∀
j
≥
k
+ 1
.
Пусть
X
0
=
KerA
k
, X
1
=
ImA
k
.
Из определения этих подпространств
следует, что они инвариантны относительно оператора
A
(докажите !). До-
кажем, что
X
=
X
0
⊕
X
1
.
(2)
Поскольку
dimX
=
n
=
dimX
0
+
dimX
1
(см. равенства (1)), то разложение
(2) вытекает из теоремы 1,
§
15, если будет установлено, что
X
0
T
X
1
=
{
0
}
.
Пусть
y
∈
X
0
T
X
1
.
Тогда вектор
y
представим в виде
y
=
A
k
x,
где
x
∈
X,
и одновременно верно равенство
A
k
y
= 0
.
Из него следует, что
A
2
k
x
=
A
k
y
= 0
,
т.е.
x
∈
KerA
2
k
=
KerA
k
.
Поэтому
y
=
A
k
x
= 0
.
Из доказанного разложения (2) следует, что относительно него оператор
A
представим в виде
A
=
A
0
⊕
A
1
,
(3)
где
A
0
– сужение
A
на
X
0
и
A
1
– сужение
A
на
X
1
.
Если
x
0
∈
X
0
,
то
A
k
0
x
0
=
A
k
x
0
= 0
,
т.е.
A
0
– нильпотентный оператор (и его индекс нильпо-
тентности равен
k
). Далее
KerA
1
=
{
x
∈
X
1
:
Ax
= 0
}
=
{
0
}
и
ImA
1
=
=
ImA
k
=
X
1
.
Поэтому
A
1
– обратимый оператор. Лемма доказана.
Лемма 2.
Многочлен
g
∈ P
(
C
)
является аннулирующим для оператора
A
∈
L
(
X
)
тогда и только тогда, когда он делится на минимальный многочлен
p
0
оператора
A
.
220
Глава 3. Линейная алгебра
Доказательство.
Допустим, что многочлен
f
можно представить в ви-
де
f
=
gp
0
,
где
g
∈ P
(
C
)
.
Согласно свойству 3) теоремы 1 из
§
29, получаем
f
(
A
) = (
gp
0
)(
A
) =
g
(
A
)
p
0
(
A
) = 0
.
Обратно, пусть
f
(
A
) = 0
для некоторого многочлена
f
∈ P
(
C
)
.
Пред-
ставим многочлен
f
в виде
f
=
gp
0
+
r,
где
degr r < degr p
0
.
Снова используя
теорему 1 из
§
17, получаем
0 =
f
(
A
) =
g
(
A
)
p
0
(
A
) +
r
(
A
)
,
т.е.
r
- аннули-
рующий многочлен оператора степени, меньшей чем степень минимального
многочлена
p
0
,
и поэтому
r
= 0
.
Лемма доказана.
Лемма 3.
Если
p
∈ P
(
C
)
- минимальный многочлен для оператора
A
∈
L
(
X
)
,
то его спектр
σ
(
A
)
совпадает с множеством корней многочлена
p.
Доказательство.
Если
λ
0
∈
σ
(
A
)
и
Ax
0
=
λ
0
x
0
,
0
6
=
x
0
∈
X,
то
p
(
A
)
x
0
=
p
(
λ
0
)
x
0
= 0
,
т.е.
p
(
λ
0
) = 0
.
Допустим, что
µ
0
- корень многочлена
p
и
µ
0
∈
σ
(
A
)
.
Рассмотрим мно-
гочлен
q
(
λ
) =
p
(
λ
)
/
(
λ
−
µ
0
)
и тогда
p
(
λ
) =
q
(
λ
)(
λ
−
µ
0
)
.
Из теоремы 1,
§
29
получаем
0 =
p
(
A
) =
q
(
A
)(
A
−
µ
0
I
)
.
Ввиду обратимости оператора
A
−
µ
0
I
из равенства
q
(
A
) =
p
(
A
)(
A
−
µ
0
I
)
−
1
= 0
следует, что
q
- аннулирующий мно-
гочлен для
A
, причем
degr q
=
degr p
−
1
.
Получено противоречие. Лемма
доказана.
Следствие.
Спектр оператора
A
∈
L
(
X
)
содержится в множестве кор-
ней любого аннулирующего многочлена для
A
.
Т е о р е м а 1.
Пусть
A
∈
L
(
X
)
имеет спектр
σ
(
A
) =
{
λ
1
,
· · ·
, λ
m
}
и
k
1
,
· · ·
, k
m
– алгебраические кратности соответствующих собственных значе-
ний
(
k
1
+
· · ·
+
k
m
=
n
=
dimX
)
.
Тогда оператор
A
допускает разложение
A
=
A
1
⊕ · · · ⊕
A
m
относительно прямой суммы
X
=
X
1
⊕ · · · ⊕
X
m
.
§
31. Многочлены от операторов и разложение операторов
221
При этом указанные разложения обладают свойствами
1)
dimX
j
=
k
j
, j
= 1
,
· · ·
, m
;
2)
σ
(
A
j
) =
{
λ
j
}
, j
= 1
,
· · ·
, m
;
3)
A
j
=
λ
j
I
j
+
Q
j
, j
= 1
,
· · ·
, m,
где
Q
j
– нильпотентный оператор с индексом нильпотентности, равным крат-
ности
k
0
j
≤
k
j
корня
λ
j
минимального многочлена
p
0
оператора
A
.
Доказательство.
Рассмотрим линейный оператор
A
−
λ
j
I,
где
1
≤
j
≤
m
фиксировано. К необратимому оператору
A
−
λ
j
I
применим
лемму 1 и получим разложения
X
=
X
j
⊕
X
0
j
, A
=
A
j
⊕
A
0
j
,
где
A
j
нильпотенен на
X
j
=
Ker
(
A
−
λ
j
I
)
m
j
,
(
m
j
– некоторое число из
N
)
и
A
0
j
обратим на
X
0
j
.
Подпространства
X
j
и
X
0
j
инвариантны относительно
A
−
λ
j
I
и, следовательно, относительно
A
= (
A
−
λ
j
I
) +
λ
j
I.
Единственным
собственным значением оператора
A
на
X
j
является
λ
j
и оно не является
собственным значением
A
на
X
0
j
.
Из теоремы 6,
§
28 следует, что
σ
(
A
) =
σ
(
A
j
)
[
σ
(
A
0
j
)
, σ
(
A
j
) =
{
λ
j
}
, σ
(
A
0
j
) =
σ
(
A
)
\ {
λ
j
}
.
Далее
p
A
(
λ
) =
p
A
j
(
λ
)
p
A
0
j
(
λ
)
, λ
∈
C
,
и поэтому
m
j
=
k
j
,
т.е.
A
j
=
λ
j
I
j
+
Q
j
,
где
Q
j
– нильпотентный оператор и
Q
k
j
j
= (
A
j
−
λ
j
I
j
)
k
j
= 0
.
Из размерностных
соображений получаем, что
X
=
X
1
⊕ · · · ⊕
X
m
.
Если
p
0
– минимальный аннулирующий многочлен для
A
, то из замеча-
ния 2,
§
29 следует, что
p
0
(
A
) =
p
0
(
A
1
)
⊕ · · · ⊕
p
0
(
A
m
)
.
Поэтому
p
0
(
A
j
) = 0
∀
j
= 1
,
· · ·
, m.
Поскольку (см. лемму 3)
p
0
(
A
j
) =
m
Y
i
6
=
j
(
A
j
−
λ
i
I
j
)
k
0
i
= 0