ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3475
Скачиваний: 14
222
Глава 3. Линейная алгебра
и операторы
A
j
−
λ
i
I
j
обратимы при
j
6
=
i
, то
(
A
j
−
λ
j
I
j
)
k
0
j
= 0
.
Теорема
доказана.
Т е о р е м а 2.
Для того чтобы оператор
A
∈
L
(
X
)
был оператором
простой структуры, необходимо и достаточно, чтобы минимальный много-
член оператора
A
имел корни кратности 1.
Доказательство.
Пусть
A
- оператор простой структуры и поэтому он
имеет вид
A
=
λ
1
I
1
⊕ · · · ⊕
λ
m
I
m
.
Тогда для любого многочлена
f
∈ P
(
C
)
получаем
f
(
A
) =
f
(
λ
1
)
I
1
⊕ · · · ⊕
f
(
λ
m
)
I
m
.
Следовательно, условие
f
(
A
) = 0
эквивалентно условию
f
(
λ
1
) =
· · ·
=
f
(
λ
m
) = 0
.
Поэтому минимальный мно-
гочлен
p
0
имеет вид
p
0
(
λ
) = (
λ
−
λ
1
)
. . .
(
λ
−
λ
m
)
,
т.е. имеет корни кратности 1.
Если же минимальный многочлен
p
0
оператора
A
∈
L
(
X
)
имеет простые
корни
λ
1
, . . . , λ
m
,
то из теоремы 1 следует, что все части
A
j
, j
= 1
, . . . , m
опе-
ратора
A
имеют вид
A
j
=
λ
j
I
j
.
Таким образом, оператор
A
имеет простую
структуру. Теорема доказана.
Пример 1.
Рассмотрим линейный оператор
B
:
C
n
→
C
n
,
определяе-
мый на стандартном базисе
e
1
= (1
,
0
, . . . ,
0)
, . . . , e
n
= (0
,
0
, . . . ,
1)
соотноше-
ниями:
Be
1
=
e
n
, Be
2
=
e
1
, Be
3
=
e
2
, . . . , Be
n
=
e
n
−
1
.
Пользуясь теоремой 1,
найдем его разложение в прямую сумму операторов.
Отметим, что оператор
B
имеет матрицу вида
B
=
0 1 0
. . .
0
0 0 1
. . .
0
... ... ... ... ...
0 0 0
. . .
1
1 0 0
. . .
0
.
Непосредственно из определения оператора
B
следует, что
B
n
=
I.
Это ра-
венство, переписанное в виде
B
n
0
−
I
= 0
,
означает, что многочлен
p
(
λ
) =
=
λ
n
−
1
является аннулирующим для оператора
B
. Поскольку матрицы
I, B, . . . , B
n
имеют ненулевые элементы, стоящие на разных диагоналях, то
они линейно независимы. Отсюда следует, что многочлен
p
(
λ
) =
λ
k
−
1
явля-
ется минимальным многочленом для оператора
B
. Согласно лемме 3, спектр
§
31. Многочлены от операторов и разложение операторов
223
оператора
B
совпадает с корнями многочлена
p
, т.е. с корнями из единицы
λ
k
= cos
2
π
n
k
+
i
sin
2
π
n
k, k
= 0
,
1
, . . . , n
−
1
.
Поскольку корни многочлена
p
простые, то из теоремы 2 следует, что опера-
тор
B
имеет простую структуру, т.е. имеет спектральное разложение вида
B
=
n
−
1
X
k
−
0
cos
2
πk
n
+
i
sin
2
πk
n
P
k
=
n
−
1
X
k
−
0
λ
k
1
P
k
,
(3)
где
P
0
, . . . , P
n
−
1
- разложение единицы
(
P
0
+
P
1
+
· · ·
+
P
n
−
1
=
I
)
и
BP
k
=
λ
k
P
k
,
0
≤
k
≤
n
−
1
, λ
1
= cos
2
π
n
+
i
sin
2
π
n
.
Применяя к обеим частям разложения (3) последовательно оператор
B,
получим следующую систему равенств:
P
0
+
P
1
+
· · ·
+
P
n
−
1
=
I,
P
0
+
λ
1
P
1
+
· · ·
+
λ
n
−
1
P
n
−
1
=
B,
P
0
+
λ
2
1
P
1
+
· · ·
+
λ
2
n
−
1
P
n
−
1
=
B
2
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
P
0
+
λ
n
−
1
1
P
1
+
· · ·
+
λ
n
−
1
n
−
1
P
n
−
1
=
B
n
−
1
.
Складывая все эти равенства и учитывая, что
1 +
λ
k
+
λ
2
k
+
+
· · ·
+
λ
n
−
1
k
= 0
∀
k
= 1
, . . . , n
−
1
(ибо
λ
k
(1 +
λ
k
+
· · ·
+
λ
n
−
1
k
) = 1 +
λ
k
+
· · ·
+
λ
n
−
1
k
)
, получим, что
P
0
=
1
n
(
I
+
B
+
· · ·
+
B
n
−
1
)
.
Умножая второе равенство на
λ
n
−
1
k
,
третье на
λ
n
−
2
k
и т.д., а затем складывая
полученные равенства, приходим к следующим формулам
P
k
=
1
n
(
I
+
λ
n
−
1
k
B
+
λ
n
−
2
k
B
2
+
· · ·
+
λ
k
B
n
−
1
)
, k
= 1
,
2
, . . . , n
−
1
.
224
Глава 3. Линейная алгебра
В итоге получаем следующее спектральное разложение для
B
B
=
1
n
n
X
k
=0
cos
2
πk
n
+
i
sin
2
πk
n
(
I
+
λ
n
−
1
k
B
+
λ
n
−
2
k
B
2
+
· · ·
+
λ
k
B
n
−
1
)
.
(4)
Проекторы
P
k
, k
= 1
, . . . , n
имеют одномерный ранг и поэтому подпростран-
ства
X
=
ImP
k
, k
= 1
, . . . , n
одномерны. Поскольку векторы
e
0
k
=
P
k
e
k
,
0
≤
k
≤
n
−
1
имеют вид
e
0
k
=
1
n
(
λ
k
, λ
2
k
, . . . , λ
n
−
1
k
,
1)
, k
= 0
,
1
, . . . , n
−
1
,
то они ненулевые. Поэтому
e
0
0
, e
0
1
, . . . , e
0
n
−
1
- базис в
C
,
составленный из соб-
ственных векторов оператора
B
. Матрица
U
= (
u
ij
)
∈
M atr
n
(
C
)
вида
U
=
1
n
1
λ
1
. . . λ
n
−
1
1
λ
2
1
. . . λ
2
n
−
1
... ...
...
...
1
λ
n
−
1
1
. . . λ
n
−
1
n
−
1
1 1
. . .
1
и является матрицей перехода от старого базиса к новому. Поэтому матрица
B
оператора имеет вид
B
=
U
Λ
U
−
1
,
Λ = (
λ
i
β
ij
)
.
Замечание 1.
Аналоги теорем 1 и 2 имеют место для матриц из
M atr
n
(
C
)
и их нетрудно получить именно с использованием этих теорем.
Так, если матрица
A ∈
M atr
n
(
C
)
имеет спектр
{
λ
1
, . . . , λ
m
}
,
то су-
ществует матрица
B
,
подобная
A
и представимая в виде прямой суммы
B
=
B
1
⊕ · · · ⊕ B
m
,
где матрицы
B
k
,
1
≤
k
≤
m
обладают свойствами:
σ
(
B
k
) =
{
λ
k
}
, k
= 1
, . . . , m,
B
k
=
λ
k
E
k
+
Q
k
, Q
k
- нильпотентные матрицы.
Этот результат является аналогом теоремы 1 для матриц.
Следующий результат соответствует теореме 2. Для того чтобы матрица
A ∈
M atr
n
(
C
)
была матрицей простой структуры, необходимо и достаточно,
чтобы минимальный многочлен матрицы
A
имел корни кратности 1.
§
32. Нильпотентные операторы. Жорданов базис...
225
Упражнения к § 31
1. Пусть
H
- евклидово пространство и
a, b
- два вектора из
H,
для кото-
рых
(
a, b
)
6
=
0
.
Получите спектральное разложение оператора
A
:
H
→
H,
определенного формулой
Ax
= (
x, a
)
b.
2. Докажите, что оператор
A
∈
L
(
X
)
является оператором простой струк-
туры тогда и только тогда, когда сумма геометрических кратностей его
собственных значений равна размерности пространства
X
.
3. Докажите, что всякий оператор
A
∈
L
(
X
)
можно представить в виде
суммы перестановочных операторов
A
0
и
Q
из
L
(
X
)
,
где
A
0
- оператор
простой структуры и
Q
- нильпотентный оператор.
4. Найдите минимальный многочлен для проектора.
5. Докажите, что оператор
A
∈
L
(
X
)
, K
=
C
,
удовлетворяющий условию
A
k
=
I
для некоторого
k
∈
N
, является оператором простой структуры.
6. Найдите спектральное разложение оператора
A
из задачи 5.
§
32. Нильпотентные операторы. Жорданов базис
для нильпотентных операторов
В предыдущем параграфе доказано, что каждый линейный оператор
A
∈
L
(
X
)
есть прямая сумма операторов с одноточечным спектром. Та-
ким образом, задача свелась (см., например, теорему 6 из
§
28) к изуче-
нию операторов с одноточечным спектром. Согласно следствию, из теоремы
Гамильтона-Кэли (см.
§
30) получаем, что если
σ
(
A
) =
{
λ
0
}
,
то оператор
A
имеет вид
A
=
λ
0
I
+
B,
где
B
- нильпотентный оператор.
226
Глава 3. Линейная алгебра
Приведем несколько утверждений об операторах с одной точкой спектра.
Все рассмотрения ведутся в линейном пространстве над полем
K
, где
K
=
R
или
K
=
C
.
Т е о р е м а 1.
Пусть оператор
A
∈
L
(
X
)
имеет вид
A
=
λ
0
I
+
B,
где
0
6
=
λ
0
∈
K
и
B
- нильпотентный оператор с индексом нильпотентности
m
.
Тогда оператор
A
обратим и обратный имеет вид
A
−
1
=
1
λ
0
I
−
1
λ
2
0
B
+
· · ·
+
(
−
1)
m
−
1
λ
m
0
B
m
−
1
.
Доказательство состоит в непосредственной проверке одного из равенств
AA
−
1
=
I, A
−
1
A
=
I
с учетом равенства
B
m
= 0
.
Следствие 1.
Верно равенство
σ
(
λ
0
I
+
B
) =
{
λ
0
}
;
в частности, спектр
нильпотентного оператора состоит только из нуля.
Т е о р е м а 2.
Имеет место равенство
f
(
λ
0
I
+
B
) =
f
(
λ
0
)
I
+
f
0
(
λ
0
)
1!
B
+
f
(
m
−
1)
(
λ
0
)
(
m
−
1)!
B
m
−
1
для любых
f
∈ P
(
K
)
, λ
0
∈
K
и для любого нильпотентного
оператора
B
∈
L
(
X
)
(
m
- индекс нильпотентности оператора
B
).
Доказываемое равенство следует из представления многочлена
f
в виде
f
(
λ
) =
f
(
λ
0
) +
f
0
(
λ
0
)
1!
(
λ
−
λ
0
) +
· · ·
+
f
(
n
)
(
λ
0
)
n
!
(
λ
−
λ
0
)
n
,
если
f
∈ P
n
(
K
)
.
Следствие 2.
Оператор
f
(
λ
0
I
+
B
)
представим в виде
f
(
λ
0
)
I
+
Q,
где
Q
- нильпотентный оператор и
Q
m
= 0
.
Кроме того,
σ
(
f
(
λ
0
I
+
B
)) =
{
f
(
λ
0
)
}
.
Для доказательства достаточно заметить, что сумма перестановочных
между собой нильпотентных операторов является нильпотентным операто-
ром.
Теперь рассмотрим задачу о структуре матриц операторов с одной точ-
кой спектра.
Ясно, что если оператор
A
∈
L
(
X
)
имеет вид
A
=
λ
0
I
+
B,
где
B
-
нильпотентный оператор, то его матрица
A
имеет вид
A
=
λ
0
E
+
B
,
где
B
- матрица нильпотентного оператора
B
. Это означает, что матрица
оператора с одной точкой спектра отличается от матрицы нильпотентного