ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3468
Скачиваний: 14
§
32. Нильпотентные операторы. Жорданов базис...
227
оператора на диагональную матрицу
λ
0
E
= (
λ
0
δ
ij
)
.
Поэтому задача сводится
к выяснению структуры матриц нильпотентных операторов.
Мы убедились ранее, что нильпотентные операторы при любом выборе
базиса не могут быть диагональными. Возникает естественный вопрос по-
строения такого базиса, в котором матрица нильпотентного оператора имела
бы наиболее простой вид. Кроме диагональных матриц относительно неслож-
ную структуру имеют верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, а
особый интерес представляют те из них, которые имеют как можно меньшее
число ненулевых элементов.
В следующем примере рассмотрены два нильпотентных оператора и най-
дены их матрицы.
Пример 1.
Пусть
e
1
, . . . , e
n
- базис в линейном пространстве. Рассмот-
рим два оператора
B
1
, B
2
∈
L
(
X
)
,
определенных на базисных векторах со-
отношениями
B
1
e
1
= 0
,
B
1
e
2
=
e
1
, . . . , B
1
e
n
=
e
n
−
1
,
B
2
e
1
=
e
2
, B
2
e
2
=
e
3
, . . . , B
2
e
n
−
1
=
e
n
,
B
2
e
n
= 0
.
Ясно, что
B
n
1
=
B
n
2
= 0
,
т.е. оба оператора нильпотентны и
n
- индекс их
нильпотентности. Матрицы
B
1
и
B
2
этих операторов имеют соответственно
верхнетреугольный и нижнетреугольный вид
B
1
=
0 1 0
. . .
0
0 0 1
. . .
0
... ... ... ... ...
0 0 0
. . .
1
0 0 0
. . .
0
,
B
2
=
0 0
. . .
0 0
1 0
. . .
0 0
0 1
. . .
0 0
... ... ... ... ...
0 0
. . .
1 0
.
Ниже будет показано, что для любого нильпотентного оператора можно ука-
зать такой базис, что его матрица будет являться прямой суммой матриц
типа
B
1
,
и следствием такого результата и теоремы 1 из
§
31 будет (см. сле-
дующий параграф) существование базиса для любого линейного оператора,
228
Глава 3. Линейная алгебра
в котором его матрица будет прямой суммой матриц вида
J
r
(
λ
) =
λ
1 0
. . .
0 0
0
λ
1
. . .
0 0
0 0
λ . . .
0 0
... ... ... ... ... ...
0 0 0
. . . λ
1
0 0 0
. . .
0
λ
.
(1)
Определение 1.
а) Матрица
J
r
(
λ
)
называется
жордановой клеткой
(или
жордановым блоком
) размера
r
×
r
с собственным значением
λ
∈
K.
б) Блочно-диагональная матрица вида
J
r
1
(
λ
1
)
0
. . .
0
0
J
r
2
(
λ
2
)
. . .
0
...
...
...
...
0
0
. . . J
r
k
(
λ
k
)
=
J
r
1
(
λ
1
)
⊕ · · · ⊕
J
r
m
(
λ
m
)
(т.е. матрица, являющаяся прямой суммой жордановых клеток) называется
жордановой матрицей
. Отметим, что в этой матрице некоторые из чисел
λ
1
, . . . , λ
m
в)
Жордановым базисом
для линейного оператора
A
∈
L
(
X
)
называется
базис в
X
, в котором матрица
A
оператора
A
является жордановой, или,
говорят, имеет
жорданову нормальную форму
.
г) Жорданова матрица
B ∈
M atr
n
(
K
)
называется
жордановой формой
матрицы
A ∈
M atr
n
(
K
)
,
если
A
подобна матрице
B
.
Таким образом, матрица
B
1
является жордановой формой оператора
B
1
из примера 1. Собственные векторы оператора простой структуры образуют
жорданов базис, а его жорданова матрица диагональна.
Теперь перейдем к вопросу построения жорданова базиса для произволь-
ного нильпотентного оператора
B
∈
L
(
X
)
.
Пусть
m
- индекс нильпотентно-
сти оператора
B
(и тогда
m
≤
n
=
dim X
).
Определение 2.
Натуральное число
k
называется
высотой вектора
x
∈
X,
если
B
k
x
= 0
,
но
B
k
−
1
x
6
= 0
.
§
32. Нильпотентные операторы. Жорданов базис...
229
Ясно, что высота
k
каждого вектора
x
∈
X
не превосходит числа
m
и
есть векторы из
X
, имеющие высоту
m
.
Отметим еще, что множество векторов из
X,
имеющих высоту, не пре-
восходящую числа
p
≥
1
,
совпадает с подпространством
Ker B
p
,
причем
имеют место включения
{
0
} ⊂
Ker B
⊂
Ker B
2
⊂ · · · ⊂
Ker B
m
−
1
⊂
Ker B
m
=
X,
где
Ker B
m
−
1
6
=
Ker B
m
=
X.
Пусть
k
j
=
dimKer B
j
, j
= 1
, . . . , m
(так что
n
=
k
m
)
.
Поскольку
Ker B
m
−
1
6
=
X
=
Ker B
m
,
то фактор-пространство
X/Ker
B
m
−
1
- ненулевое линейное
пространство размерности
n
−
dim
(
Ker B
m
−
1
) =
p
1
(см. теорему 3 из
§
15; кроме того, будет далее исполь-
зоваться способ построения базиса в фактор-пространстве из этой теоремы).
Поэтому можно найти векторы
e
1
, . . . , e
p
1
из
X
такие, что классы эквивалент-
ности
˜
e
1
=
e
1
+
Ker B
m
−
1
, . . . ,
˜
e
p
1
=
e
p
1
+
Ker B
m
−
1
будут образовывать базис
в
X/Ker B
m
−
1
.
Тогда векторы
Be
1
, . . . , Be
p
1
принадлежат подпространству
Ker B
m
−
1
и классы
˜
Be
1
=
Be
1
+
Ker B
m
−
2
, . . . ,
˜
Be
p
1
=
Be
p
1
+
Ker B
m
−
2
линейно независимы в фактор-пространстве
Ker B
m
−
1
/Ker B
m
−
2
.
Действи-
тельно, если бы они были линейно зависимы, то
α
1
Be
1
+
· · ·
+
α
p
1
Be
p
1
=
f
∈
Ker B
m
−
2
для некоторых не равных нулю одновременно чисел
α
1
,
· · ·
, α
p
1
∈
C
.
Приме-
няя к обеим частям этого равенства оператор
B
m
−
2
,
получили бы, что
α
1
B
m
−
1
e
1
+
· · ·
+
α
p
1
B
m
−
1
e
p
1
= 0
.
Это означает, что
α
1
e
1
+
· · ·
+
α
p
1
e
p
1
∈
Ker B
m
−
1
,
т.е.
α
1
˜
e
1
+
· · ·
+
α
p
1
˜
e
p
1
=
= ˜
0
∈
KerB
m
/KerB
m
−
1
,
что противоречит линейной независимости векто-
ров
˜
e
1
. . . ,
˜
e
p
1
в первом фактор-пространстве.
Из
доказанного
следует,
что
dim
(
KerB
m
−
1
/KerB
m
−
2
)
=
=
dimKer B
m
−
1
−
dimKer B
m
−
2
≥
n
−
dimKer B
m
−
1
=
dimKer B
m
−
dimKerB
m
−
1
=
k
m
−
k
m
−
1
.
230
Глава 3. Линейная алгебра
Дополним векторы
Be
1
, . . . , Be
p
1
векторами
e
p
1
+1
, . . . , e
p
2
, p
2
=
k
m
−
1
−
k
m
−
2
так, чтобы векторы
˜
Be
1
=
Be
1
+
Ker B
m
−
2
, . . . ,
˜
Be
p
,
˜
e
p
1
+1
, . . . ,
˜
e
p
2
об-
разовывали базис в фактор-пространстве
Ker B
m
−
1
/Ker B
m
−
2
.
Применяя к
векторам
Be
1
, . . . , Be
p
1
, e
p
1
+1
, . . . , e
p
2
оператор
B
, получим векторы из
Ker B
m
−
2
вида
B
2
e
1
, . . . , B
2
e
p
1
, Be
p
1
+1
, . . . , Be
p
2
такие, что классы эквивалентности из
Ker B
m
−
2
/Ker B
m
−
3
,
их содержа-
щие, линейно независимы (доказательство их линейной независимости ана-
логично доказательству линейной независимости классов
˜
Be
1
. . . ,
˜
Be
p
1
)
.
По-
этому
k
m
−
2
−
k
m
−
3
≥
k
m
−
1
−
k
m
−
2
,
и можно построить в подпространстве
векторы
e
p
2
+1
, . . . , e
p
3
так, чтобы классы эквивалентности, содержащие век-
торы
B
2
e
1
, . . . , B
2
e
p
1
, Be
p
1
+1
, . . . , Be
p
2
+1
, . . . e
p
2
+1
, . . . e
p
3
образовывали базис
в фактор-пространстве
Ker B
m
−
2
/Ker B
m
−
3
.
Продолжая аналогичным образом рассмотрение подпространств
Ker B
m
−
3
, . . . , Ker B,
{
0
}
,
мы получим в конце концов базис в
X
, который
удобно записать в виде таблицы из
p
m
столбцов
e
1
, ..., e
p
1
Be
1
, ..., Be
p
1
,
e
p
1
+1
, ..., e
p
2
,
. . . . . . . .
B
m
−
1
e
1
, ..., B
m
−
1
e
p
1
, B
m
−
2
e
p
1
+1
, ..., B
m
−
2
e
p
2
, ..., e
p
m
−
1
+1
, ..., e
p
m
.
(2)
Комментируя эту таблицу, сделаем следующие замечания.
Замечание 1.
Векторы из таблицы (2) образуют базис. Их линейная
независимость следует из способа построения этой таблицы: векторы из каж-
дой строки таблицы линейно независимы и их ненулевая линейная комбина-
ция не может быть линейной комбинацией векторов из последующих строк
таблицы (2). Если
x
- произвольный вектор из
X
, то его разложение по век-
торам из таблицы (2) можно осуществить, например, так. Рассмотрим класс
эквивалентности
˜
x
=
x
+
Ker B
m
−
1
из фактор-пространства
X/Ker B
m
−
1
и
разложим его по базису
˜
e
1
, . . . ,
˜
e
p
1
,
в нем
˜
x
=
α
1
˜
e
1
+
· · ·
+
α
p
1
˜
e
p
1
.
Тогда вектор
§
32. Нильпотентные операторы. Жорданов базис...
231
x
1
=
x
−
α
1
e
1
− · · · −
α
p
1
e
p
1
принадлежит подпространству
Ker B
m
−
1
.
Теперь
рассмотрим
класс
эквивалентности
˜
x
1
из
фактор-пространства
Ker B
m
−
1
/Ker B
m
−
2
и разложим его по базису из этого фактор-пространст-
ва, образованного классами, содержащими элементы, выписанные во второй
строке:
˜
x
1
=
β
1
˜
Be
1
+
β
p
1
˜
Be
2
+
· · ·
+
β
p
1
˜
Be
p
1
+
β
p
1
+1
˜
e
p
1
+
· · ·
+
β
p
2
˜
e
p
2
+1
.
Далее
рассмотрим элемент
x
2
=
x
1
−
β
1
Be
1
−
β
2
Be
2
− · · · −
β
p
1
Be
p
1
−
β
p
1
+1
e
p
1
+1
−
· · · −
β
p
2
e
p
2
и т.д. В результате рассматриваемый элемент
x
будет представлен
в виде линейной комбинации векторов таблицы (2), т.е. векторы из таблицы
образуют базис в
X
.
Замечание 2.
Базис, составленный из векторов таблицы (2), пронумеру-
ем следующим образом. Вначале рассмотрим первый столбец и его элементы
пронумеруем снизу вверх (в результате получим первые
m
базисных векто-
ров). Затем присоединим к ним элементы второго столбца, нумеруя снизу
вверх и т.д. Учитывая, что оператор переводит каждый вектор последней
строки в нулевой, а элементы из каждого столбца переводит в последующие
за ним элементы того же столбца, мы получим, что матрица
B
оператора
B
имеет вид
B
=
J
m
(0)
⊕ · · · ⊕
J
m
(0)
|
{z
}
p
1
раз
⊕ · · · ⊕
J
1
(0)
.
(3)
Замечание 3.
Линейная оболочка векторов из каждого столбца табли-
цы (2) образует инвариантное подпространство оператора
B, X
есть прямая
сумма таких подпространств
X
1
, X
2
, . . . , X
p
1
, . . . , X
p
m
и
B
допускает разло-
жение
B
=
B
1
⊕
B
2
⊕ · · · ⊕
B
p
1
⊕ · · · ⊕
B
p
m
относительно прямой суммы
X
=
X
1
⊕
X
2
⊕ · · · ⊕
X
p
1
⊕ · · · ⊕
X
p
m
.
Итогом проведенных построений являются следующие две теоремы.
Т е о р е м а 3.
Для любого нильпотентного оператора
B
∈
L
(
X
)
существует жорданов базис, записанный в виде таблицы (2), и матрица
B
оператора
B
в этом базисе имеет вид (3).
Т е о р е м а 4.
Для любого оператора
A
∈
L
(
X
)
вида
A
=
λ
0
I
+
B,