ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3471
Скачиваний: 14
232
Глава 3. Линейная алгебра
где
λ
0
∈
K
и
B
- нильпотентный оператор (т.е.
σ
(
A
) =
{
λ
0
}
)
существует
жорданов базис, записанный в виде таблицы (2), и матрица
A
=
λ
0
E
+
B
оператора
A
в этом базисе имеет вид
A
=
J
k
1
(
λ
0
)
⊕ · · · ⊕
J
k
pm
(
λ
0
)
,
где
k
j
- количество элементов в
j
-ом столбце таблицы (2), причем
k
1
≥
k
2
≥ · · · ≥
k
p
m
≥
1
, k
1
+
k
2
+
· · ·
+
k
p
m
=
n
=
dim X.
Замечание 4.
Если
A
=
λ
0
E
+
B ∈
M atr
n
(
K
)
,
где
λ
o
∈
K
и
B
-
нильпотентная матрица, то, согласно принятой нами ранее договоренности,
следует рассмотреть операторы
A, B
∈
L
(
K
n
)
,
определяемые матрицами
A
и
B
соответственно. Тогда
A
=
λ
0
I
+
B,
где
B
- нильпотентный оператор. Из
теоремы 4 и теоремы 8,
§
20 следует, что матрица
A
(являющаяся матрицей
оператора
A
) подобна жордановой матрице
Λ
∈
M atr
n
(
K
)
.
Упражнения к § 32
1. Проверьте, что включение
Ker A
⊃
ImA
необходимо и достаточно для
того, чтобы имело место равенство
A
2
= 0
для
A
∈
L
(
X
)
.
2. Докажите, что если оператор
A
∈
L
(
X
)
обладает свойством: для любого
вектора
x
∈
X
существует число
m
=
m
(
x
)
∈
N
такое, что
A
m
x
= 0
,
то
A
- нильпотентный оператор.
3. Докажите, что если
Q
∈
L
(
X
)
- нильпотентный оператор и многочлен
f
∈ P
(
C
)
удовлетворяет условию
f
(0) = 0
,
то
f
(
Q
)
- нильпотентный
оператор.
4. Существует ли на двумерном пространстве
X
нильпотентный оператор
A
∈
L
(
X
)
индекса нильпотентности 3?
5. Найдите жорданов базис для оператора дифференцирования
D
:
P
n
(
K
)
→ P
n
(
K
)
.
§
32. Нильпотентные операторы. Жорданов базис...
233
6. Найдите жорданову форму матриц
3
0
−
1
−
2
1
1
3
−
1
−
1
,
4 1
−
1
−
2 1
−
2
1 1
4
,
5
−
9
−
4
6
−
11
−
5
−
7
13
6
.
7. Найдите жорданову форму матриц
0 1 0
0 0 2
0 0 0
,
0 0 0
1 0 0
0 2 0
,
0 1 1
0 0 1
0 0 0
.
8. Пусть
J
r
(
λ
)
- жорданова клетка. Докажите, что для любого многочлена
f
∈ P
(
C
)
матрица
f
(
J
r
(
λ
))
имеет вид
f
(
λ
)
f
0
(
λ
)
f
00
(
λ
)
2!
· · ·
f
r
−
1
(
λ
)
(
r
−
1)!
0
f
(
λ
)
f
0
(
λ
)
· · ·
f
r
−
2
(
λ
)
(
r
−
2)!
...
...
...
. . .
...
0
0
0
. . .
f
(
λ
)
.
9. Существует ли в линейном пространстве размерности 8 нильпотентный
оператор
A
такой, что
rang A
= 6
, rang A
2
= 4
, rang A
3
= 3
,
rang A
4
= 1
, rang A
5
= 0?
.
10. Найдите жорданову форму следующих матриц
a
)
1
α
0
. . .
0 0
0 1
α . . .
0 0
... ... ...
. . .
... ...
0 0 0
. . .
1
α
0 0 0
. . .
0 1
, α
6
= 0;
b
)
λ a
12
a
13
. . . a
1
n
0
λ
a
23
. . . a
2
n
... ...
...
. . .
...
0 0
0
. . . λ
,
где
a
12
a
23
. . . a
(
n
−
1)
n
6
= 0
и
λ
∈
R
.
11. Спектр какой из следующих матриц
−
1
1 0
0
1 0
2
−
1 2
,
0
−
1
−
1
−
1
0
−
1
1
−
1
0
,
1 0 0
2 1 0
2 3 1
.
состоит из одной точки ?
234
Глава 3. Линейная алгебра.
§
33. Жорданов базис и жорданова форма линейных операторов
Здесь у нас появляется возможность суммировать результаты, получен-
ные в двух предыдущих параграфах.
Рассматривается комплексное конечномерное пространство
X
и опера-
торы из алгебры
L
(
X
)
.
Т е о р е м а 1.
Для любого линейного оператора
A
∈
L
(
X
)
существует
жорданов базис.
Доказательство.
Построение жорданова базиса осуществляется с ис-
пользованием следующих этапов.
Э т а п 1. Определение собственных значений оператора
A
. Пусть
σ
(
A
) =
{
λ
1
, . . . , λ
m
}
,
причем алгебраическая кратность каждого корня
λ
k
равна
n
k
,
так что
n
1
+
· · ·
+
n
m
=
n.
Э т а п 2. Построение инвариантных подпространств
X
j
, j
= 1
, . . . , m
оператора
A
таких, что
X
=
X
1
⊕ · · · ⊕
X
m
и сужение
A
j
оператора
A
на каждое подпространство
X
j
, j
= 1
, . . . , m
есть оператор с одной точкой
спектра
λ
j
.
Следовательно, операторы
A
j
, j
= 1
, . . . , m
допускают представ-
ление вида
A
j
=
λ
j
I
j
+
Q
j
,
где
I
j
- тождественный оператор в
X
j
и
Q
j
- нильпотентный оператор индекса нильпотентности, не превосходящей
n
j
.
Построение подпространств
X
j
,
1
≤
j
≤
m
можно осуществить так, как это
делалось в теореме 1 из
§
31.
Э т а п 3. В соответствии с теоремой из
§
32 в каждом из подпространств
X
j
,
1
≤
j
≤
m
для оператора
A
j
=
λ
j
I
j
+
Q
j
существует жорданов базис,
задаваемый таблицей вида (1) из
§
32, составленной из векторов подпро-
странства
X
j
,
и построенный по нильпотентному оператору
Q
j
.
Э т а п 4. В
X
выберем базис, состоящий из объединения построенных
жордановых базисов для
A
j
в каждом из подпространств
X
j
,
1
≤
j
≤
m.
Такой базис будет жордановым для оператора
A
(матрица
A
оператора
A
будет блочно-диагональной:
A
=
A
1
⊕ · · · ⊕ A
m
, где
A
1
, . . . ,
A
m
- жордановы
матрицы операторов
A
1
, . . . , A
m
). Теорема доказана.
§
33. Жорданов базис и жорданова форма линейных операторов
235
Определение 1.
Вектор
x
∈
X
называется
корневым вектором
опера-
тора
A
∈
L
(
X
)
,
отвечающим собственному значению
λ
оператора
A
, если
(
A
−
λI
)
k
x
= 0
для некоторого натурального числа
k
≥
1
.
Число
k
называ-
ется
высотой корневого вектора
x
, если
(
A
−
λI
)
k
x
= 0
,
но
(
A
−
λI
)
k
−
1
x
6
= 0
.
Ясно, что каждое собственное подпространство
E
(
λ, A
)
оператора
A
со-
стоит из корневых векторов, причем нулевой вектор по определению всегда
считается корневым, а каждый собственный вектор является корневым вы-
соты 1.
В следующей лемме используются обозначения из доказательства теоре-
мы 1.
Лемма 1.
Совокупность всех корневых векторов оператора
A
, отвечаю-
щих собственному значению
λ
j
оператора
A
, совпадает с подпространством
X
j
(см.этап 2).
Доказательство.
Если вектор
x
j
принадлежит подпространству
X
j
(1
≤
j
≤
m
)
,
то
(
A
−
λ
j
I
)
k
j
x
j
= (
A
j
−
λ
j
I
j
)
kj
x
j
= 0
,
т.е.
x
j
- корневой
вектор оператора
A,
отвечающий собственному значению
λ
j
.
Пусть теперь
x
∈
X
- корневой вектор оператора
A
, отвечающий соб-
ственному значению
λ
j
∈
σ
(
A
)
,
т.е.
(
A
−
λ
j
I
)
k
x
= 0
для некоторого
k
≥
1
.
Вектор
x
представим в виде
x
=
x
1
+
· · ·
+
x
m
,
где
x
1
∈
X
1
, . . . , x
m
∈
X
m
.
Тогда в силу инвариантности подпространств
X
i
, i
= 1
, . . . , m
получаем, что
0 = (
A
−
λ
j
I
)
k
x
= (
A
1
−
λ
j
I
1
)
k
x
1
+(
A
2
−
λ
j
I
2
)
k
x
2
+
· · ·
+(
A
m
−
λ
m
I
m
)
k
x
m
= ((
λ
1
−
λ
j
)
I
1
+
Q
1
)
k
x
1
+
· · ·
+((
λ
m
−
λ
j
)
I
m
+
Q
m
)
k
x
m
.
Отсюда следует, что
x
i
= 0
∀
i
6
=
j,
т.е.
x
=
x
j
∈
X
j
.
Лемма доказана.
Следствие 1.
Высота каждого корневого вектора оператора
A
∈
L
(
X
)
,
отвечающего собственному значению
λ
j
,
не превосходит его алгебраической
кратности.
Следствие 2.
Корневые векторы оператора
A
, отвечающие собствен-
ному значению
λ,
образуют инвариантное подпространство и сужение опе-
ратора
A
на это подпространство есть оператор с одной точкой спектра
{
λ
}
.
236
Глава 3. Линейная алгебра.
Непосредственно из теоремы 1 и леммы 1 следует
Т е о р е м а 2.
Для любого линейного оператора
A
∈
L
(
X
)
существует
жорданов базис, составленный из корневых векторов оператора
A
.
Определение 2.
Подпространство корневых векторов оператора
A
, от-
вечающих одному собственному значению оператора
A
, называется
корне-
вым подпространством
.
Следствие 3.
Корневое подпространство
X
j
оператора
A
∈
L
(
X
)
,
отве-
чающее собственному значению
λ
j
оператора
A
, совпадает с ядром
Ker
(
A
−
λ
j
I
)
k
j
оператора
(
A
−
λ
j
I
)
k
j
,
где
k
j
- кратность корня минимального много-
члена оператора
A.
При построении жорданова базиса в
X
в теореме 1 (этап 2) нами стро-
ился базис в подпространствах
X
j
, j
= 1
, . . . , m
в виде таблицы (2) из
§
32. Если таблица вида (2) составлена из векторов подпространства
X
j
(для
нильпотентного оператора
Q
j
=
A
j
−
λ
j
I
j
), то векторы каждого столбца этой
таблицы удовлетворяют соотношениям
(
A
−
λ
j
I
)
e
1
= 0
,
(
A
−
λ
j
I
)
e
2
=
e
1
, . . . ,
(
A
−
λ
j
I
)
e
k
=
e
k
−
1
,
если соответствующий столбец состоит из векторов
e
1
, . . . , e
k
.
Вектор
e
1
-
собственный вектор, векторы
e
2
, . . . , e
k
называются
присоединенными век-
торами
к собственному вектору
e
1
.
Таким образом, теорему 2 можно уточнить следующим образом.
Т е о р е м а 3.
Для любого линейного оператора
A
существует базис,
составленный из собственных и присоединенных к ним векторов оператора
A
.
Замечание 1.
Из способа построения жорданова базиса для операто-
ра
A
∈
L
(
X
)
,
осуществляемого при доказательстве теоремы 1, следует, что
жорданова матрица
A
оператора
A
имеет блочно-диагональный вид (есть
прямая сумма жордановых блоков)