ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3466
Скачиваний: 14
§
33. Жорданов базис и жорданова форма линейных операторов
237
A
=
J
k
1
(
λ
1
)
⊕ · · · ⊕
J
k
p
(
λ
1
)
⊕ · · ·
=
J
k
1
(
λ
1
)
J
k
2
(
λ
1
)
. ..
J
k
p
(
λ
1
)
. ..
J
`
(
λ
m
)
.
Замечание 2.
Если
A
- матрица из
M atr
n
(
C
)
,
то следует рассмотреть
оператор
A
∈
L
(
C
n
)
,
задаваемый матрицей
A
.
Из теоремы 1 следует суще-
ствование жорданова базиса для
A
и, следовательно, его матрица подобна
жордановой матрице.
Замечание 3.
Геометрическая кратность каждого собственного значе-
ния
λ
0
оператора
A
не превосходит алгебраической кратности
λ
0
(см. опре-
деление 7).
Жорданов базис для
A
можно составить из корневых векторов опера-
тора
A
, которые естественно назвать
корневыми векторами матрицы
A
,
а корневые подпространства оператора
A
-
корневыми подпространствами
матрицы
A
.
Теорема 4
(теорема о спектральном разложении оператора). Пусть
A
∈
L
(
X
)
и
σ
(
A
) =
{
λ
1
, . . . , λ
n
}
.
Тогда имеет место формула (
спектральное
разложение оператора
A
)
A
=
m
X
i
=1
λ
i
P
i
+
Q,
где
{
P
1
, . . . , P
m
}
- разложение единицы и
Q
∈
L
(
X
)
- нильпотентный опера-
тор, перестановочный со всеми проекторами
P
i
,
1
≤
i
≤
m.
Доказательство.
Согласно теореме 1 из § 31, оператор
A
есть прямая
сумма операторов:
A
= (
λ, I
+
Q
1
)
L
· · ·
L
(
λ
m
I
m
+
Q
m
)
,
относительно пря-
мой суммы
X
=
X
1
L
· · ·
L
X
m
(см. теорему 1,§ 31). Пусть
I
=
P
1
+
· · ·
+
P
m
- соответствующее разложение единицы и
Qx
=
Q
1
P
1
x
+
· · ·
+
Q
m
P
m
x.
То-
гда
A
=
A
0
+
Q,
где
A
0
=
m
P
i
=1
λ
i
P
i
,
причем
Q
- нильпотентный оператор,
перестановочный со всеми проекторами
P
i
,
1
≤
i
≤
m.
Теорема доказана.
238
Глава 3. Линейная алгебра.
Следствие 4.
Если
A
∈
L
(
X
)
имеет спектральное разложение вида
(1), то для любого многочлена
f
∈ P
(
C
)
оператор
f
(
A
)
имеет спектраль-
ное разложение вида
f
(
A
) =
m
P
i
=1
f
(
λ
i
)
P
i
+
Q
1
(
Q
- нильпотентный оператор,
перестановочный с
P
i
,
1
≤
i
≤
m
).
Доказательство.
Поскольку
f
(
A
) =
f
(
λ
1
I
1
+
Q
1
)
M
· · ·
M
f
(
λ
m
I
m
+
Q
m
) =
=
f
(
λ
1
)
I
1
+
Q
0
1
M
· · ·
M
f
(
λ
m
)
I
m
+
Q
0
m
,
(1)
где
Q
0
1
, . . . , Q
0
1
- нильпотентные операторы (см. теорему 2 из § 32), то
f
(
A
) =
=
m
P
i
=1
f
(
λ
i
)
P
i
+
Q
0
, Q
- нильпотентный оператор из
L
(
X
)
,
перестановочный
со всеми проекторами
P
i
,
1
≤
i
≤
m.
Следствие доказано.
Из полученного представления (1), из следствия 1 теоремы 1, § 32 и
теоремы 6 из § 28 получаем, что имеет место
Теорема 5 (теорема об отображении спектра)
. Для любых
A
∈
L
(
X
)
и
f
∈ P
(
C
)
имеет место равенство
σ
(
f
(
A
)) =
f
(
σ
(
A
)) =
{
f
(
λ
) :
λ
∈
σ
(
A
)
}
.
Доказательство.
Пусть
σ
(
A
) =
{
λ
1
, . . . , λ
m
}
.
Согласно теореме 1 из
§
31 оператор
A
есть прямая сумма операторов:
A
= (
λ
1
I
1
+
Q
1
)
⊕· · ·⊕
(
λ
m
I
m
+
Q
m
)
,
где
Q
1
, . . . , Q
m
- нильпотентные операторы. Тогда
f
(
A
) =
f
(
λ
1
I
1
+
Q
1
)
⊕
· · · ⊕
f
(
λ
m
I
m
+
Q
m
) = (
f
(
λ
1
)
I
1
+
B
1
)
⊕ · · · ⊕
(
f
(
λ
m
)
I
m
+
B
m
)
,
где
B
1
, . . . , B
m
-
нильпотентные операторы (см. теорему 2 из
§
32). Из полученного равенства,
из следствия 1 теоремы 1 (§ 32) и теоремы 6 из
§
28 получаем доказываемое
равенство. Теорема доказана.
Упражнения к § 33
1. Найдите корневые подпространства матриц
a
)
−
2
−
1 1
5
−
1 4
5
1 2
,
b
)
3
−
1
1
−
2
4
−
2
−
2
2
0
,
c
)
−
4 4 2
−
1 1 1
−
5 4 3
.
§
33. Жорданов базис и жорданова форма линейных операторов
239
2. Пусть
D
:
P
n
(
C
)
→ P
n
(
C
)
- оператор дифференцирования. Чему равна
высота каждого многочлена из
P
n
(
C
)?
3. Найдите жорданову форму матриц а) - в) из упражнения 1.
4. Являются ли подобными следующие матрицы
A
,
B
a)
A
=
3
1
−
1
−
3
−
1
3
−
2
−
2
4
,
B
=
5
5
−
2
−
2
−
1
1
−
1
−
1
2
;
b)
A
=
−
1
−
1 2
3
−
5 6
2
−
2 2
,
B
=
−
8
−
12
−
6
−
10
18
−
10
−
12
24
−
14
;
c)
A
=
1 1 1
1 1 1
1 1 1
,
B
=
3 0 0
0 0 0
0 0 0
.
5. Найдите жорданову матрицу для оператора
A
:
P
n
(
C
)
→ P
n
(
C
)
,
опре-
деленного равенством
(
Aϕ
)(
z
) =
ϕ
(
z
+
a
)
−
ϕ
(
z
)
, ϕ
∈ P
n
(
C
)
, a
∈
C
.
6. Пусть
A ∈
M atr
n
(
C
)
- жорданова матрица. Найдите жорданову форму
матрицы
A
2
.
7. Найдите жорданову форму матрицы
A ∈
M atr
n
(
C
)
вида
1 1 0
. . .
0 0
0 1 1
. . .
0 0
... ... ...
... ... ...
0 0 0
. . .
1 1
ε
0 0
. . .
0 1
,
0
6
=
ε
∈
C
.
8. Докажите, что если
A
- жорданова матрица оператора
A
, то число жор-
дановых блоков, отвечающих собственному значению
λ
0
равно числу
dim Ker
(
A
−
λ
0
I
) =
def
(
A
−
λ
0
I
)
,
т.е. геометрической кратности соб-
ственного значения
λ
0
.
240
Глава 3. Линейная алгебра
9. Пусть
λ
1
, . . . , λ
m
- различные комплексные числа и
n
- натуральное чис-
ло. Рассмотрим линейное пространство
X
функций
ϕ
:
R
→
C
вида
ϕ
(
t
) =
m
X
k
=1
p
k
(
t
)
e
λ
k
t
, p
k
∈ P
n
(
C
)
.
Найдите
жорданову
матрицу
оператора
дифференцирования
D
:
X
→
X,
D
ϕ
=
ϕ
0
, ϕ
∈
X.
Найдите его спектральное разложение.
10. Найдите матрицу
A
n
(
n
- натуральное число), если
a
)
A
=
5
−
1
2
2
;
b
)
a
−
b
b
a
;
c
)
0
a b
−
a
0
a
−
b
−
a
0
.
11. Докажите, что оператор
A
∈
L
(
X
)
со спектром
σ
(
A
) =
{
λ
1
, . . . , λ
m
}
является оператором простой структуры тогда и только тогда, когда
имеет место равенство
dim X
=
m
X
i
=1
dim E
(
λ
i
, A
)
,
т.е. когда геометрическая и алгебраическая кратность всех собственных
значений совпадают.
12. Докажите, что оператор
A
∈
L
(
X
)
со спектром
σ
(
A
) =
{
λ
1
, . . . , λ
m
}
яв-
ляется оператором простой структуры тогда и только тогда, когда имеют
место следующие равенства
E
(
λ
i
, A
)
T
Im
(
A
−
λ
i
I
) =
{
0
}
, i
= 1
, . . . , m.
§
34. Ряды в линейном нормированном пространстве.
Функции от операторов
В
§
29 рассматривались многочлены от операторов. Здесь мы рассматри-
ваем более широкий класс функций от операторов. Построение этого класса
функций осуществляется с помощью функциональных рядов.
§
34. Ряды в линейном нормированном пространстве
241
Определение 1.
Пусть
X
- линейное нормированное пространство и
(
x
n
) = (
x
1
, x
2
, . . .
)
- последовательность элементов из
X
.
Рядом
, составлен-
ным из элементов последовательности
(
x
n
)
,
называется последовательность
(
s
n
)
частичных
сумм:
s
1
=
x
1
, s
2
=
x
1
+
x
2
, . . . , s
n
=
x
1
+
x
2
+
· · ·
+
x
n
, . . . .
Ряд обозначается символом
∞
P
k
=1
x
k
.
Ряд называется
сходящимся к элементу
s
∈
X,
если последовательность
(
s
n
)
сходится к
s.
В этом случае пишут
∞
P
k
=1
x
k
=
s.
Таким образом, понятие ряда сводится к понятию последовательности.
Определение 2.
Ряд
∞
P
k
=1
x
k
,
составленный из элементов линейного нор-
мированного пространства
X
, называется
абсолютно сходящимся
,
если сходится числовой ряд
∞
P
k
=1
||
x
k
||
.
Т е о р е м а 1.
Если линейное нормированное пространство
X
полно,
то каждый абсолютно сходящийся ряд
∞
P
k
=1
x
k
,
составленный из элементов
пространства
X
, сходится.
Доказательство.
В силу полноты пространства
X
достаточно доказать
фундаментальность последовательности частичных сумм
(
s
n
)
, s
n
=
x
1
+
· · ·
+
x
n
.
Из следующего неравенства (считается
n > m
)
||
s
n
−
s
m
||
=
||
n
X
k
=
m
+1
x
k
|| ≤
n
X
k
=
m
+1
||
x
k
||
следует, что
||
s
n
−
s
m
|| →
0
при
n, m
→ ∞
.
Теорема доказана.
В следующем определении вводится класс функций, непосредственно
расширяющий класс многочленов
P
(
C
)
.
Определение 3.
Функция
f
:
C
→
C
называется
целой
, если для лю-
бого числа
z
0
∈
C
она допускает представление в виде суммы сходящегося
для любого
z
∈
C
ряда вида
f
(
z
) =
∞
X
k
=0
f
k
(
z
−
z
0
)
k
,
(1)
где последовательность
(
f
k
)
комплексных чисел обладает свойством: для лю-