ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3465
Скачиваний: 14
242
Глава 3. Линейная алгебра
бого
ε >
0
существует число
C
(
ε
)
>
0
такое, что
|
f
k
| ≤
C
(
ε
)
ε
k
, k
≥
1
.
(2)
Ясно, что каждый многочлен
f
∈ P
(
C
)
является целой функцией. По
своим свойствам целые функции обладают рядом свойств многочленов. Изу-
чение теории целых функций осуществляется в курсе теории функций ком-
плексного переменного. Нам придется воспользоваться некоторыми резуль-
татами этого курса (не затрудняя себя доказательствами).
Во-первых, отметим, что определенная нами функция
f
(
z
) =
e
z
(см.
§
8)
является целой и можно показать, что она допускает представление в виде
сходящегося ряда
e
z
=
∞
X
k
=0
z
k
k
!
, z
∈
C
.
По определению положим
cos
z
=
∞
X
n
=0
(
−
1)
n
z
2
n
(2
n
)!
,
sin
z
=
∞
X
n
=0
(
−
1)
n
z
2
n
+1
(2
n
+ 1)!
, z
∈
C
.
Непосредственно из определения 3 следует, что если число
z
0
∈
C
явля-
ется корнем целой функции
f,
т.е. если
f
(
z
0
) = 0
,
то
f
0
= 0
(см. формулу
(1)) и, следовательно, функция
g
(
z
) =
f
(
z
)
/
(
z
−
z
0
)
также является целой
функцией.
Из представления целой функции
f
в виде ряда (1) следует, что функция
f
имеет производные любого порядка и
f
k
=
f
(
k
)
(
z
0
)
k
!
, k
= 1
,
2
, . . . .
Скажем, что корень
z
0
∈
C
целой функции
f
есть
корень кратности
k
, если
f
0
(
z
0
) =
f
00
(
z
0
) =
· · ·
=
f
(
k
−
1)
(
z
0
) = 0
и
f
(
k
)
(
z
0
)
6
= 0
.
Это означает,
что функция
g
k
(
z
) =
f
(
z
)
/
(
z
−
z
0
)
k
является целой функцией (будем также
говорить, что
f
делится на многочлен
f
0
(
z
) = (
z
−
z
0
)
k
)
,
причем
g
k
(
z
0
)
6
= 0
.
Множество целых функций
F
образует алгебру с обычными операциями
сложения и умножения функций. Если
f
(
z
) =
∞
P
n
=0
f
n
z
n
, g
(
z
) =
∞
P
n
=0
g
n
z
n
-
две целые функции, то целая функция
f g
имеет вид
(
f g
)(
z
) =
∞
P
n
=0
c
n
z
n
,
где
§
34. Ряды в линейном нормированном пространстве
243
c
n
=
P
k
+
m
=
n
f
k
g
m
, n
≥
0
.
Из определения кратности корня целой функции
следует, что если
f
- целая функция и
p
- многочлен, причем каждый корень
z
0
многочлена
p
является корнем функции
f
не меньшей кратности, чем
кратность многочлена
p,
то
f /p
- целая функция.
Пусть
X
- конечномерное комплексное линейное нормированное про-
странство и
A
- линейный оператор из нормированной алгебры
L
(
X
)
(см.
§
20). Каждой целой функции
f
(
z
) =
∞
P
n
=0
f
n
z
n
поставим в соответствие опера-
тор
f
(
A
)
∈
L
(
X
)
,
определенный формулой
f
(
A
) =
∞
X
n
=0
f
n
A
n
.
(3)
Поскольку
∞
P
n
=0
||
f
n
A
n
|| ≤
∞
P
n
=0
|
f
n
|||
A
n
|| ≤
C
(
ε
)
∞
P
n
=0
ε
n
||
A
||
k
,
где
ε <
1
/
||
A
||
,
то ряд (3) абсолютно сходится, и поэтому в силу теоремы 1 сходится ряд
(3). Отметим, что полнота линейного нормированного пространства
L
(
X
)
следует из его конечномерности.
Определение 4.
Оператор
f
(
A
)
называется
целой функцией
от опера-
тора
A
.
Аналогично определяется целая функция от матриц.
Имеет место следующий полный аналог теоремы 1 из
§
29.
Т е о р е м а 2.
Отображение
Φ
A
(
f
) =
f
(
A
)
,
Φ
A
:
F →
L
(
X
)
является
гомоморфизмом алгебр.
Определение 5.
Пусть
f
(
z
) =
e
z
=
∞
P
n
=0
z
n
n
!
и
A
∈
L
(
X
)
(или
A ∈
M atr
n
(
C
))
.
Положим
e
A
=
∞
P
n
=0
A
n
n
!
.
Всякий оператор
A
∈
L
(
X
)
(матрица
A ∈
M atr
(
C
))
такой (такая), что
e
A
=
B
(
e
A
=
B ∈
M atr
n
(
C
))
называется
логарифмом
оператора
B
(матрицы
B
)
и обозначается символом
`nB
(
`nB
)
.
Для практического вычисления целой функции от оператора полезно
пользоваться следующим результатом.
Т е о р е м а 3.
Пусть
A
∈
L
(
X
)
- оператор со спектром
{
λ
1
, . . . ,
λ
m
}
, p
- минимальный аннулирующий многочлен оператора
A
и
k
1
, . . . , k
m
-
244
Глава 3. Линейная алгебра
кратности его корней
λ
1
, . . . , λ
m
.
Тогда для любой целой функции
f
∈ F
имеет место равенство
f
(
A
) =
ϕ
(
A
)
,
где
ϕ
- любой многочлен со свойствами:
f
(
j
)
(
λ
i
) =
ϕ
(
j
)
(
λ
i
)
,
1
≤
j
≤
k
i
−
1
, i
= 1
, . . . , m,
В частности, если
k
1
=
· · ·
=
k
m
= 1
,
то в качестве многочлена
p
можно
взять интерполяционный многочлен Лагранжа.
Доказательство.
Из условий теоремы следует, что функция
g
=
f
−
ϕ
p
- целая функция. Из условия
p
(
A
) = 0
следует, что
f
(
A
)
−
ϕ
(
A
) = (
f
−
ϕ
)(
A
) =
g
(
A
)
p
(
A
) = 0
,
т.е.
f
(
A
) =
ϕ
(
A
)
.
Теорема доказана.
Следствие.
Пусть
A
- оператор простой структуры со спектром
σ
(
A
) =
{
λ
1
, . . . , λ
m
}
.
Тогда
e
A
=
m
X
k
=1
e
λ
k
(
A
−
λ
1
I
)
. . .
(
A
−
λ
k
−
1
I
)(
A
−
λ
k
+1
I
)
. . .
(
A
−
λ
m
I
)
(
λ
k
−
λ
1
)
. . .
(
λ
k
−
λ
k
−
1
)(
λ
k
−
λ
k
+1
)
. . .
(
λ
k
−
λ
m
)
.
Т е о р е м а 4.
Если операторы
A, B
∈
L
(
X
)
перестановочны, то
e
A
+
B
=
e
A
e
B
.
Доказательство.
Применяя формулу бинома Ньютона и пользуясь воз-
можностью переставлять члены абсолютно сходящегося ряда, получаем
e
A
e
B
=
X
j
≥
0
1
j
!
A
j
!
X
k
≥
0
1
k
!
B
j
!
=
X
j,k
≥
0
1
j
!
k
!
A
j
B
k
=
=
X
n
≥
0
n
X
j
=0
1
j
!(
n
−
j
)!
A
j
B
n
−
j
=
X
n
≥
0
1
n
!
n
X
j
=0
n
!
j
!(
n
−
j
)!
A
j
B
n
−
j
=
=
X
n
≥
0
1
n
!
(
A
+
B
)
n
=
e
A
+
B
.
Т е о р е м а 5.
σ
(
e
A
) =
e
σ
(
A
)
=
{
e
λ
:
λ
∈
σ
(
A
)
}
,
где
A
∈
L
(
X
)
.
§
34. Ряды в линейном нормированном пространстве
245
Доказательство.
Из теоремы 3 следует существование многочлена
ϕ
∈ P
(
C
)
такого, что
ϕ
(
λ
) =
e
λ
∀
λ
∈
σ
(
A
)
и
e
A
=
ϕ
(
A
)
.
Отсюда и из
теоремы 4
§
35 следует, что
σ
(
e
A
) =
σ
(
ϕ
(
A
)) =
ϕ
(
σ
(
A
)) =
e
σ
(
A
)
.
Теорема
доказана.
В следующих замечаниях рассматривается вопрос определения функ-
ций от операторов для других классов функций.
Замечание 1.
Пусть
A
- оператор простой структуры со спектром
σ
(
A
) =
{
λ
1
, . . . , λ
m
}
и
A
=
m
P
k
=1
λ
k
P
k
- его спектральное представление. Для
любой функции
f
:
D →
C
(не обязательно непрерывной), определенной на
некотором подмножестве
D ⊂
C
,
содержащем
σ
(
A
)
,
положим
f
(
A
) =
m
X
k
=1
f
(
λ
k
)
P
k
.
Если
f
- целая функция, то оба определения функции от оператора сов-
падают.
Замечание 2.
Пусть
A
- оператор из
L
(
X
)
со спектром
σ
(
A
) =
{
λ
1
, . . . , λ
m
}
=
σ
и
F
σ
- алгебра функций вида
ϕ
=
f /g,
где
f, g
∈ P
(
C
)
,
при-
чем числа
λ
1
, . . . , λ
m
,
не являются корнями многочлена
g.
Тогда из теоремы
об отображении спектра (см.
§
33, теорема 4) получаем, что оператор
g
(
A
)
обратим. Положим
ϕ
(
A
) = (
f /g
)(
A
) =
f
(
A
)
g
(
A
)
−
1
.
Легко видеть, что отоб-
ражение
ϕ
7−→
ϕ
(
A
)
из алгебры
F
σ
в алгебру
L
(
X
)
является гомоморфизм
алгебр.
Замечание 3.
Пусть
A
∈
L
(
X
)
и
k
≥
2
- натуральное число.
Корнем
k
- ой степени
из оператора
A
называется такой оператор
B
∈
L
(
X
)
,
что
B
k
=
A
;
оператор
B
обозначается символом
A
1
/k
.
Если
A
- оператор про-
стой структуры из замечания 1, то легко видеть, что любой корень
A
1
/k
из
оператора
A,
являющийся оператором простой структуры, имеет вид
A
1
/k
=
m
X
j
=1
λ
1
/k
j
P
j
,
246
Глава 3. Линейная алгебра
где
λ
1
/k
j
- один из корней
k
- ой степени из комплексного числа
λ
j
. Ясно, что
оператор
A
1
/k
,
вообще говоря, определяется неоднозначно.
Замечание 4.
Для целых функций от матриц имеют место полные ана-
логи теорем 2 - 5, если алгебра матриц является нормированной алгеброй.
Упражнения к § 34
1. Докажите абсолютную сходимость рядов в пространстве
C
[0
,
2
π
] :
a
)
∞
X
n
=1
sin
nt
n
2
,
b
)
∞
X
n
=
−∞
e
int
1 +
|
n
|
α
, α >
1
.
2. Ряд
P
n
≥
1
y
n
называется перестановкой ряда
P
n
≥
1
x
n
,
если существует такое
биективное отображение
σ
:
N
→
N
,
что
y
n
=
x
σ
(
n
)
, n
≥
1
.
Докажите,
что если ряд
P
n
≥
1
x
n
абсолютно сходится
((
x
n
)
- последовательность из
линейного нормированного пространства
X
), то любая его перестановка
сходится и оба ряда имеют одинаковую сумму.
3. Докажите, что если
A
и
B
- перестановочные операторы из
L
(
X
)
,
то
операторы
e
A
, e
B
перестановочны.
4. Найдите
e
P
,
где
P
- проектор из
L
(
X
)
.
5. Найдите
e
A
,
если
A
- матрица из
M atr
2
(
C
)
имеет вид
a
)
A
=
5
−
1
2
2
;
b
)
A
=
a b
−
b a
;
в
)
A
=
5
−
3
−
3
5
.
г
)
A
=
3
−
1
1
1
;
д
)
A
=
4
−
2
6
−
3
;
е
)
A
=
4 2
−
5
6 4
−
9
5 3
7
.
6. Докажите, что для оператора
A
∈
L
(
X
)
следующие условия эквива-
лентны: 1)
A
- оператор простой структуры и его собственные значения
вещественны; 2)
sup
t
∈
R
||
e
iAt
||
<
∞
.