ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3463
Скачиваний: 14
§
35. Сопряженные операторы. Структурная теория нормальных, . . .
247
7. Докажите, что если
A
∈
L
(
X
)
имеет одну точку спектра
{
λ
o
}
,
то для
любой целой функции
f
оператор
f
(
A
)
имеет вид
f
(
A
) =
f
(
λ
0
)
I
+
B,
где
B
- нильпотентный оператор.
8. Докажите равенство
σ
(
f
(
A
)) =
f
(
σ
(
A
))
для любых
f
∈ F
и
A
∈
L
(
X
)
.
9. Докажите для оператора
T
∈
L
(
X
)
,
что следующие условия эквивалент-
ны: а)
σ
(
T
)
⊂ {
z
∈
C
:
|
z
|
= 1
}
и
T
есть оператор простой структуры;
б)
T
обратим и
sup
n
∈
Z
||
T
n
||
<
∞
.
10. Найдите корень квадратный из следующих матриц
a
)
a
−
b
b
a
;
b
)
2 1
3 4
;
c
)
5
−
3
−
3
5
.
11. Пусть
H
- евклидово пространство и оператор
A
∈
L
(
H
)
имеет вид
Ax
= (
x, a
)
b.
Найдите
e
A
,
sin
A,
cos
A.
12. Докажите, что матрица
0 1
0 0
не имеет квадратного корня.
13. Докажите, что не существует матрицы
A
∈
M atr
2
(
C
)
такой, что
e
A
=
=
−
1
1
0
−
1
,
т.е. не существует логарифма от матрицы
−
1
1
0
−
1
.
14. Пусть
A
∈
L
(
X
)
.
Докажите, что отображение
Φ :
R
→
G,
Φ(
t
) =
e
At
,
t
∈
R
,
где
G
- группа обратимых операторов из
L
(
X
)
,
является гомо-
морфизмом групп.
15. Найдите
e
A
для матрицы
A
=
a b
c d
∈
M atr
n
(
C
)
.
16. Пусть
A ∈
M atr
n
(
C
)
.
Докажите, что
a)
sin
2
A
= 2
sin
A
cos
A
;
б
)
e
i
A
=
cos
A
+
isin
A
;
в)
sin
A
=
1
2
i
e
i
A
−
e
−
i
A
,
г
)
cos
A
=
1
2
e
i
A
+
e
−
i
A
.
17. Найдите
dete
A
,
где
A ∈
M atr
n
(
K
)
.
248
Глава 3. Линейная алгебра
§
35. Сопряженные операторы. Структурная теория нормальных,
самосопряженных и унитарных операторов
В этом параграфе изучаются специальные классы линейных операторов,
действующих в евклидовом пространстве
H
.
Определение 1.
Линейный оператор
B
∈
L
(
H
)
называется
сопряжен-
ным
к линейному оператору
A
∈
L
(
H
)
,
если выполнены равенства
(
Ax, y
) = (
x, By
)
, x, y
∈
H.
Лемма 1.
Для любого оператора
A
из
L
(
H
)
существует единственный
сопряженный оператор (обозначаемый далее символом
A
∗
)
.
Доказательство.
Построим отображение
A
∗
:
H
→
H
следующим
образом. Для каждого вектора
y
∈
H
рассмотрим линейный функционал
ξ
y
:
H
→
K,
определенный формулой
ξ
y
(
x
) = (
Ax, y
)
.
Из следствия 2 теоремы 1,
§
18 получаем, что существует единственный век-
тор (см. задачу 9 из
§
17)
z
∈
H
такой, что
ξ
y
(
x
) = (
x, z
)
∀
x
∈
H.
Положим
A
∗
y
=
z.
Таким образом, однозначно определено отображение
A
∗
:
H
→
H,
удовлетворяющее условию
(
Ax, y
) = (
x, A
∗
y
)
∀
x, y
∈
H.
Осталось доказать, что
A
∗
- линейный оператор. Если
y
=
α
1
y
1
+
α
2
y
2
,
α
1
, α
2
∈
K, y
1
, y
2
∈
H, A
∗
(
y
1
) =
z
1
, A
∗
(
y
2
) =
z
2
,
то, с одной стороны,
ξ
y
(
x
) = (
x, A
∗
(
y
))
.
С другой стороны,
ξ
y
(
x
) = (
Ax, α
1
y
1
+
α
2
y
2
) =
α
1
(
Ax, y
1
)+
α
2
(
Ax, y
2
) =
α
1
(
x, A
∗
(
y
1
)) +
α
2
(
x, A
∗
(
y
2
)) = (
x, α
1
A
∗
(
y
1
) +
+
α
2
A
∗
(
y
2
))
.
Поэтому
(
x, A
∗
(
y
)
−
α
1
A
∗
(
y
1
)
−
α
2
A
∗
(
y
2
)) = 0
∀
x
∈
H
и, следо-
вательно,
A
∗
(
y
) =
α
1
A
∗
(
y
1
) +
α
2
A
∗
(
y
2
)
.
Лемма доказана.
Лемма 2.
Для любой пары операторов
A, B
∈
L
(
H
)
и любой пары
чисел
α, β
∈
K
имеют место следующие равенства
1)
(
αI
)
∗
=
αI
;
2)
(
AB
)
∗
=
B
∗
A
∗
;
3)
(
αA
+
βB
)
∗
=
αA
∗
+
βB
∗
;
§
35. Сопряженные операторы. Структурная теория нормальных, . . .
249
4) если
A
обратим, то обратим сопряженный оператор
A
∗
и
(
A
∗
)
−
1
=
= (
A
−
1
)
∗
; 5)(
A
∗
)
∗
=
A
;
6) если
M
- инвариантное подпространство для
A
и
A
∗
одновременно, то
(
A
M
)
∗
=
A
∗
M
.
Доказательство.
Поскольку
(
αIx, y
) = (
x, αIy
)
∀
x, y
∈
H,
то
(
αI
)
∗
=
=
αI.
Равенство 2) следует из равенств
(
ABx, y
) = (
A
(
Bx
)
, y
) = (
Bx, A
∗
y
) = (
x, B
∗
(
A
∗
y
)) = (
x, B
∗
A
∗
y
)
.
Аналогично доказывается равенство 3).
Если
A
- обратимый оператор, то
AA
−
1
=
A
−
1
A
=
I.
Тогда из равенств
1) и 2) следует, что
I
∗
=
I
= (
AA
−
1
)
∗
= (
A
−
1
A
)
∗
= (
A
−
1
)
∗
A
∗
=
A
∗
(
A
−
1
)
∗
,
т.е.
A
∗
- обратимый оператор и оператор
(
A
−
1
)
∗
является к нему обратным.
Равенства 5) и 6) непосредственно следуют из определения сопряженного
оператора. Лемма доказана.
Лемма 3.
Для любого оператора
A
∈
L
(
H
)
и его сопряженного операто-
ра
A
∗
евклидово пространство
H
представимо в виде ортогональной прямой
суммы
H
=
ImA
⊕
Ker A
∗
(
т.е.
Ker A
∗
= (
ImA
)
⊥
, ImA
= (
Ker A
∗
)
⊥
)
,
(1)
H
=
KerA
⊕
Im A
∗
(
.. ImA
∗
= (
KerA
)
⊥
, KerA
= (
Im A
∗
)
⊥
)
(2)
Доказательство.
Оба разложения пространства
H
непосредственно
следуют из равенства
(
Ax, y
) = (
x, A
∗
y
)
,
теоремы 5 из
§
17 и леммы 2.
В силу теоремы 5,
§
17 достаточно доказать равенства
Ker A
∗
=
(
ImA
)
⊥
, ImA
∗
= (
KerA
)
⊥
.
Ясно, что
y
∈
(
ImA
)
⊥
⇐⇒
(
Ax, y
) =
(
x, A
∗
y
) = 0
∀
x
∈
H
⇐⇒
y
∈
Ker A
∗
. Таким образом,
Ker A
∗
= (
Im A
)
⊥
.
Применяя полученное разложение (1) к оператору
A
∗
,
получим разло-
жение
H
=
Im A
∗
⊕
Ker
(
A
∗
)
∗
=
Im A
∗
⊕
Ker A
=
Ker A
⊕
Im A
∗
.
Лемма
доказана.
Следующая теорема непосредственно следует из равенства
Im A
=
= (
Ker A
∗
)
⊥
,
полученного в лемме 3.
250
Глава 3. Линейная алгебра
Т е о р е м а 1 (теорема Фредгольма).
Уравнение вида
Ax
=
b
∈
H
разрешимо тогда и только тогда, когда вектор
b
перпендикулярен всем ре-
шениям однородного уравнения
A
∗
y
= 0
.
Лемма 4.
Пусть
e
1
, . . . , e
n
- ортонормированный базис в
H
и
A
= (
a
ij
)
,
B
= (
b
ij
)
∈
M atr
n
(
K
)
- матрицы операторов
A, B
∈
L
(
H
)
(от-
носительно выбранного базиса). Тогда для того чтобы оператор
B
был со-
пряженным к оператору
A,
необходимо и достаточно, чтобы имели место
соотношения
b
ij
=
a
ji
, i, j
= 1
, . . . , n.
Доказательство.
Пусть
I
ij
,
1
≤
i, j
≤
n
- стандартный базис из элемен-
тарных операторов в
L
(
H
)
.
Непосредственно из определения этих операторов
следует, что
I
∗
ij
=
I
ji
(проверьте !). Тогда
A
=
n
P
i,j
=1
a
ij
I
ij
, B
=
n
P
i,j
=1
b
ij
I
ij
и
A
∗
=
n
P
i,j
=1
a
ij
I
ji
=
n
P
i,j
=1
a
ji
I
ij
.
Следовательно,
A
∗
=
B
⇐⇒
n
P
i,j
=1
a
ji
I
ij
=
=
n
P
i,j
=1
b
ij
I
ij
⇐⇒
b
ij
=
a
ji
, i, j
= 1
, . . . , n.
Лемма доказана.
Определение 2.
Оператор
A
∈
L
(
H
)
называется
самосопряженным
,
если
A
=
A
∗
(т.е., если
(
Ax, y
) = (
x, A
∗
y
)
∀
x, y
∈
H
).
Непосредственно из леммы 2 следует, что для любого оператора
A
∈
L
(
H
)
(
H
- комплексное пространство) операторы
Re A
=
A
+
A
∗
2
, Im A
=
A
−
A
∗
2
i
самосопряжены. Таким образом, оператор
A
представим в виде
A
=
Re A
+
iIm A.
Определение 3.
Матрица
B
= (
b
ij
)
∈
M atr
n
(
K
)
называется
сопря-
женной
к матрице
A
= (
a
ij
)
∈
M atr
n
(
K
)
,
если
b
ij
=
a
ji
, i, j
= 1
, . . . , n.
Сопряженная к
A
матрица обозначается символом
A
∗
.
Матрица
A
называ-
ется
самосопряженной
, если
A
=
A
∗
.
§
35. Сопряженные операторы. Структурная теория нормальных, . . .
251
Ясно, что если
K
=
R
,
то
A
∗
=
A
t
∀A ∈
L
(
H
)
и
A
=
A
∗
⇐⇒ A
=
A
t
,
т.е. самосопряженные матрицы являются симметрическими.
Непосредственно из леммы 4 следует, что оператор
A
∈
L
(
H
)
самосо-
пряжен тогда и только тогда, когда его матрица
A
в некотором ортонорми-
рованном базисе является симметрической.
Определение 4.
Проектор
P
∈
L
(
H
)
называется
ортогональным
(или
ортопроектором
), если он осуществляет разложение
H
в ортогональную
прямую сумму
H
=
H
1
⊕
H
2
(
H
1
=
Im P, H
2
= (
Im P
)
⊥
=
Ker P
)
.
Лемма 5.
Проектор
P
∈
L
(
H
)
является ортогональным тогда и только
тогда, когда
P
- самосопряженный оператор.
Доказательство.
Пусть
P
- ортогональный проектор и
H
=
H
1
⊕
H
2
-
соответствующая ортогональная прямая сумма. Тогда для любой пары век-
торов
x, y
∈
H,
представленных в виде
x
=
x
1
+
x
2
, y
=
y
1
+
y
2
,
где
x
1
, y
1
∈
H
1
, x
2
, y
2
∈
H
2
,
имеют место равенства
(
P x, y
) = (
x
1
, y
1
+
y
2
) = (
x
1
, y
1
) = (
x
1
+
x
2
, y
1
) = (
x, y
1
) = (
x, P y
)
.
Следовательно,
P
=
P
∗
.
Обратно, если
P
=
P
∗
,
то непосредственно из равенства (1) (см. лемму
3) при
A
=
P
получаем, что
H
=
Im P
⊕
Ker P
- ортогональная прямая
сумма. Лемма доказана.
Следствие 1.
Дополнительный проектор к ортопроектору является ор-
топроектором.
Определение 5.
Оператор
B
∈
L
(
H
)
называется
антисамосопряжен-
ным или кососамосопряженным
, если
B
∗
=
−
B.
Лемма 6.
Каждый антисамосопряженный оператор
B
∈
L
(
H
)
,
где
H
- комплексное евклидово пространство, представим в виде
B
=
iA,
где
A
-
самосопряженный оператор.
Доказательство.
Пусть
A
=
−
iB.
Тогда
B
=
iA
и
A
∗
= (
−
i
)
B
∗
=
−
iB
=
A.