ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3545
Скачиваний: 14
252
Глава 3. Линейная алгебра
Определение 6.
Оператор
U
∈
L
(
H
)
называется
унитарным
, если
имеют место равенства
U U
∗
=
U
∗
U
=
I,
т.е. если
U
обратим и
U
−
1
=
U
∗
.
Замечание 1.
Из равенств
||
U x
||
2
= (
U x, U x
) = (
x, U
∗
x
) = (
x, x
) =
||
x
||
2
,
имеющих место для любого унитарного оператора
U
∈
L
(
H
)
, следует,
что
U
- изометрический изоморфизм. Верно и обратное утверждение (см.
задачу 24,
§
37).
Пример 1.
Пусть
e
1
, . . . , e
n
- некоторый ортонормированный базис в
H
и
σ
- некоторая перестановка из симметрической группы
S
n
.
Определим
линейный оператор
U
σ
∈
L
(
H
)
,
полагая
U
σ
e
j
=
e
σ
(
j
)
, j
= 1
, . . . , n.
Оператор
U
σ
назовем
оператором перестановок
. Ясно, что
U
σ
обратим, при-
чем
U
−
1
σ
=
U
σ
−
1
.
Кроме того, ясно, что имеют место равенства
(
U
σ
x, y
) =
n
X
j
=1
x
σ
(
j
)
y
j
=
n
X
i
=1
x
i
y
σ
−
1
(
i
)
= (
x, U
σ
−
1
y
) = (
x, U
σ
−
1
y
)
.
Таким образом, оператор перестановок является унитарным оператором.
Определение 7.
Оператор
A
∈
L
(
H
)
называется
нормальным
, если
AA
∗
=
A
∗
A
(т.е.
A
перестановочен со своим сопряженным оператором).
Непосредственно из определений следует, что самосопряженные анти-
сопряженные и унитарные операторы являются нормальными операторами.
Поэтому мы вначале получим теорему о структуре нормальных операторов
и затем применим ее к изучению упомянутых только что классов линейных
операторов.
Лемма 7.
Пусть
A
и
B
- перестановочные операторы из алгебры
L
(
X
)
(
X
- линейное пространство). Тогда подпространства
Ker B
и
Im B
инва-
риантны относительно оператора
A
.
Доказательство.
Если
x
∈
Ker B,
то
Bx
= 0
и
B
(
Ax
) =
A
(
Bx
) = 0
,
т.е.
Ax
∈
Ker B.
Если
y
∈
Im B,
то существует вектор
x
∈
X
такой, что
Bx
=
y.
Тогда
Ay
=
ABx
=
BAx
∈
Im B.
Лемма доказана.
§
35. Сопряженные операторы. Структурная теория нормальных, . . .
253
Лемма 8.
σ
(
A
∗
) =
σ
(
A
) =
{
λ
:
λ
∈
σ
(
A
)
} ∀
A
∈
L
(
H
)
.
Доказательство.
Поскольку
(
A
−
λI
)
∗
=
A
∗
−
λI,
(
A
∗
−
λI
)
∗
=
A
−
λI,
то
из равенства 4) леммы 2 следует, что оператор
A
−
λI, λ
∈
K
обратим тогда и
только тогда, когда обратим оператор
A
∗
−
λI.
Следовательно,
σ
(
A
∗
) =
σ
(
A
)
.
Т е о р е м а 2.
Пусть
A
∈
L
(
H
)
- нормальный оператор,
H
- ком-
плексное евклидово пространство и
σ
(
A
) =
{
λ
1
, . . . , λ
m
}
- его спектр.
Тогда операторы
A
и
A
∗
являются операторами простой структуры, при-
чем
1)
σ
(
A
∗
) =
σ
(
A
);
2)
E
(
λ
i
, A
) =
E
(
λ
i
, A
∗
)
, i
= 1
, . . . , m
;
3)
H
=
E
(
λ
1
, A
)
⊕ · · · ⊕
E
(
λ
m
, A
)
- ортогональная прямая сумма, при-
чем в
H
существует ортонормированный базис, составленный из собственных
векторов оператора
A
.
Доказательство.
Поскольку операторы
A
и
A
∗
перестановочны, то из
леммы 7 следует, что собственное подпространство
E
(
λ
k
, A
) =
M, λ
k
∈
σ
(
A
)
оператора
A
инвариантно относительно
A
∗
и поэтому в силу равенства 6)
леммы 2 имеет место равенство
(
A
−
λ
k
I
)
∗
M
= 0 = (
A
∗
−
λ
k
I
)
M
,
т.е.
A
∗
x
=
=
λ
k
x
∀
x
∈
E
(
λ
k
, A
)
.
Это означает, что
E
(
λ
k
, A
)
⊂
E
(
λ
k
, A
)
.
Приме-
няя подобные рассуждения к оператору
A
∗
−
λ
k
I
и его собственному под-
пространству
E
(
λ
k
, A
∗
)
,
получим включение
E
(
λ
k
, A
∗
)
⊂
E
(
λ
k
, A
)
.
Итак,
E
(
λ
k
, A
) =
E
(
λ
k
, A
∗
)
, k
= 1
, . . . , m.
Пусть
H
1
- ортогональное дополнение к подпространству
E
(
λ
1
, A
)
.
До-
кажем, что оно инвариантно относительно обоих операторов
A
и
A
∗
.
Дей-
ствительно, если
x
∈
H
1
,
то
(
x, e
) = 0
∀
e
∈
E
(
λ
1
, A
)
,
и поэтому
(
Ax, e
) = (
x, A
∗
e
) = (
x, λ
1
e
) =
λ
1
(
x, e
) = 0
,
т.е.
Ax
∈
H
1
.
Аналогично
(
A
∗
x, e
) = (
x, Ae
) = (
x, λ
1
e
) =
λ
1
(
x, e
) = 0
,
т.е.
A
∗
x
∈
H
1
.
254
Глава 3. Линейная алгебра
Итак, доказано, что операторы
A
и
A
∗
допускают разложение вида
A
=
λ
1
I
1
⊕
A
2
, A
∗
=
λ
1
I
1
⊕
A
∗
2
(см. равенство 6) из леммы 2) относитель-
но ортогональной прямой суммы
H
=
E
(
λ
1
, A
)
⊕
H
1
.
Непосредственно из теоремы 6,
§
28 следует, что
σ
(
A
2
) =
{
λ
2
, . . . , λ
m
}
( и поэтому
σ
(
A
∗
2
) =
{
λ
2
, . . . , λ
m
}
)
и
E
(
λ
k
, A
2
) =
E
(
λ
k
, A
) =
E
(
λ
k
, A
∗
2
)
,
k
= 2
, . . . , m.
Следовательно, все подпространства
E
(
λ
k
, A
2
)
, k
= 2
, . . . , m
ортогональны подпространству
E
(
λ
1
, A
)
.
Все вышесказанное позволяет рассмотреть операторы
A
2
, A
∗
2
из
L
(
H
1
)
,
собственное значение
λ
2
и осуществить дальнейшее разложение оператора
A
2
,
т.е. представить в виде
A
2
=
λ
2
I
2
⊕
A
3
.
Продолжая процесс разложения
оператора далее, в конце концов получим представления
A
=
λ
1
I
1
⊕ · · · ⊕
λ
m
I
m
, A
∗
=
λ
1
I
1
⊕ · · · ⊕
λ
m
I
m
относительно ортогональной прямой суммы
H
=
E
(
λ
1
A
)
⊕ · · · ⊕
E
(
λ
m
, A
)
.
Следствие 2.
Каждый нормальный оператор
A
∈
L
(
H
)
со спектром
σ
(
A
) =
{
λ
1
, . . . , λ
m
}
допускает спектральное разложение
A
=
λ
1
P
1
+
· · ·
+
λ
m
P
m
,
(3)
где
P
j
- ортогональный проектор на
собственное
подпространство
E
(
λ
j
, A
)
параллельно
другим
собственным
подпространствам.
Кроме
того,
A
∗
=
λ
1
P
1
+
· · ·
+
λ
m
P
m
.
Следствие 3.
Если
A
- нормальный оператор со спектральным разло-
жением
A
=
m
P
k
=1
λ
k
P
k
,
то оператор
AA
∗
самосопряжен и
A
∗
A
=
m
P
k
=1
|
λ
k
|
2
P
k
.
Т е о р е м а 3.
Пусть
A
- самосопряженный оператор из
L
(
H
)
,
H
- ком-
плексное линейное пространство. Тогда его спектр состоит из вещественных
чисел и существует ортонормированный базис, составленный из собственных
векторов оператора
A
. Оператор
A
допускает спектральное разложение вида
(3), где
λ
1
, . . . , λ
m
∈
R
и
P
1
, . . . , P
m
- ортогональные проекторы.
Доказательство.
Утверждение о вещественности спектра следует из
§
35. Сопряженные операторы. Структурная теория нормальных, . . .
255
равенства
A
∗
=
m
X
k
=1
λ
k
P
k
=
A
=
m
X
k
=1
λ
k
P
k
(спектральное разложение оператора
A
)
.
Выбирая в каждом из подпространств
E
(
λ
j
, A
) (1
≤
j
≤
m
)
ортонорми-
рованный базис и взяв объединение этих базисов, получим (с учетом взаим-
ной ортогональности собственных подпространств) ортонормированный ба-
зис в
H
. Теорема доказана.
Следствие 4.
Каждый антисамосопряженный оператор
A
∈
L
(
H
)
имеет чисто мнимый спектр
σ
(
A
) =
{
iλ
k
:
λ
k
∈
R
, k
= 1
, . . . , m
}
.
Т е о р е м а 4.
Если
U
∈
L
(
H
)
- унитарный оператор (
H
- комплексное
пространство), то его спектр лежит на окружности
{
z
∈
C
:
|
z
|
= 1
}
и су-
ществует ортонормированный базис, составленный из собственных векторов
оператора
U.
Оператор
U
допускает спектральное представление вида
U
=
m
X
k
=1
e
i
Θ
k
P
k
,
(4)
где
0
≤
Θ
k
<
2
π
и
P
1
, . . . , P
m
- ортогональные проекторы.
Доказательство.
Из равенств
U
∗
=
m
X
k
=1
λ
k
P
k
=
U
−
1
=
m
X
k
=1
1
λ
k
P
k
,
где
U
=
m
P
k
=1
λ
k
P
k
- спектральное разложение оператора
U,
следует, что
λ
k
=
λ
−
1
k
, k
= 1
, . . . , m
т.е.
|
λ
k
|
= 1
, k
= 1
, . . . , m.
Утверждение о базисе
в
H
доказывается так же, как и в теореме 3. Теорема доказана.
Замечание 2.
Соответствующим образом можно ввести понятие нор-
мальной и унитарной матрицы и получить для таких матриц аналоги соот-
ветствующих результатов для нормальных и унитарных операторов.
Например, матрица
A ∈
M atr
n
(
K
)
называется
нормальной
, если
AA
∗
=
A
∗
A
.
Матрица
U ∈
M atr
n
(
K
)
называется
унитарной
, если
U
∗
U
=
=
U U
∗
=
E,
т.е. если
U
∗
=
U
−
1
.
256
Глава 3. Линейная алгебра
Если
A ∈
M atr
k
(
K
)
- нормальная матрица, то оператор
A
∈
L
(
K
n
)
(
K
n
- евклидово пространство), задаваемый с помощью матрицы
A
,
являет-
ся нормальным. В частности, если
A
- симметрическая (унитарная) матри-
ца, то
A
- самосопряженный (унитарный) оператор. Именно это замечание
позволяет перенести соответствующие результаты этого параграфа для так
выделяемых классов матриц. Этим фактом мы будет пользоваться далее без
особых оговорок.
Замечание 3.
Условие унитарности матрицы
U
= (
u
ij
)
∈
M atr
n
(
K
)
U U
∗
=
E
эквивалентно условию: столбцы матрицы
U
образуют ортонорми-
рованный базис в евклидовом пространстве
K
n
.
Такую матрицу называют
также
ортогональной
.
Т е о р е м а 5.
Если
A ∈
M atr
n
(
C
)
- нормальная матрица со спектром
σ
(
A
) =
{
λ
1
, . . . , λ
m
}
,
то существует ортогональная матрица
U
∈
M atr
n
(
C
)
такая, что
A
=
U
−
1
Λ
U,
где
Λ
- диагональная матрица из
M atr
n
(
C
)
с диагональными элементами,
совпадающиму с одним из чисел из
λ
1
, . . . , λ
m
,
т.е.
Λ =
λ
1
0
. . .
0
0
λ
1
0
·
·
. ..
·
·
·
λ
2
·
·
·
. ..
·
0
0
. . .
λ
m
.
Доказательство.
Пусть
A
∈
L
(
C
)
n
- оператор, определяемый матри-
цей
A
.
Он нормален,
σ
(
A
) =
σ
(
A
) =
{
λ
1
, . . . , λ
m
}
и поэтому согласно теоре-
мы 2 существует ортонормированный базис
e
0
1
, . . . , e
0
n
∈
C
n
,
составленный из
собственных векторов операторов
A
. Пусть
U
- матрица перехода от стан-
дартного базиса
(
e
k
)
в
C
n
к базису
(
e
0
k
)
.
Тогда
A
=
U
−
1
Λ
U
.
В данном слу-
чае столбцами матрицы
U
будут служить упорядоченные наборы векторов
e
0
k
= (
u
1
k
, . . . u
nk
)
∈
C
n
,
1
≤
k
≤
n.
Теорема доказана.