ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3461
Скачиваний: 14
§
35. Сопряженные операторы. Структурная теория нормальных, . . .
257
Упражнения к § 35
1. Пусть
P
∈
L
(
H
)
- проектор вида
P x
= (
x, x
0
)
y
0
, ,
где
(
x
0
, y
0
) = 1
.
Докажите, что
p
∗
y
= (
y, y
0
)
x
0
, y
∈
H
0
.
2. Если
H
=
H
1
L
H
2
– разложение эвклидова пространства
H
, осуществ-
ляемое проектором
P
∈
L
(
H
)
,
то разложение
H
=
H
⊥
2
L
H
⊥
1
осуществ-
ляется проектором
P
∗
.
3. Докажите, что проектор
P
:
H
→
H
является ортогональным тогда и
только тогда, когда
||
P
|| ≤
1
(указание: используйте теорему 6 из
§
17).
4. Пусть
A
и
B
- самосопряженные операторы из
L
(
H
)
и
α, β
∈
R
. Дока-
жите самосопряженность оператора
αA
+
βB
и антисамосопряженность
оператора
AB
−
BA.
5. Докажите, что если оператор
A
∈
L
(
H
)
удовлетворяет одному из усло-
вий:
1)
A
- нормальный оператор,
2)
A
- самосопряженный оператор,
3)
A
- унитарный оператор, то матрица
A
оператора
A
в любом ортонор-
мированном базисе является соответственно
1
0
)
нормальной,
2
0
)
симметрической,
3
0
)
унитарной.
6. Пусть
A
- самосопряженный оператор из
L
(
X
)
.
Верно ли, что его матри-
ца относительно любого базиса в
H
является симметрической (указание:
рассмотрите евклидово пространство
R
2
)?
7. Пусть
A
∈
L
(
H
)
- нормальный оператор и
f
∈ P
(
C
)
.
Докажите, что
f
(
A
)
- нормальный оператор.
8. Пусть
A
- самосопряженный оператор из
L
(
H
)
.
Докажите унитарность
оператора
e
iA
.
Верно и обратное: каждый унитарный оператор
U
∈
L
(
H
)
представим в виде
U
=
e
iA
,
где
A
=
A
∗
∈
L
(
H
)
.
258
Глава 3. Линейная алгебра
9. Найдите сопряженный оператор к оператору дифференцирования
D
:
P
n
(
R
)
→ P
n
(
R
) ((
f, ϕ
) =
1
R
0
f
(
t
)
ϕ
(
t
)
dt
- скалярное произведение
в
P
n
(
R
))
.
10. Докажите
антисамосопряженность
оператора
дифференцирования
D
:
T
n,w
→
T
n,w
((
f, ϕ
) =
2
π
R
0
f
(
t
)
ϕ
(
t
)
dt
- скалярное произведение в
T
n,w
)
.
11. Докажите унитарность матриц
cos
α
sin
α
−
sin
α
cos
α
, α
∈
R
.
12. Докажите, что оператор
A
∈
L
(
H
)
является одновременно самосопря-
женным и унитарным тогда и только тогда, когда
A
=
P
1
−
P
2
,
где
P
1
, P
2
- два ортогональных проектора и
P
1
+
P
2
=
I.
13. Приведите пример двух самосопряженных операторов, произведение ко-
торых не было бы самосопряженным оператором.
14. Докажите, что для самосопряженности оператора необходимо и доста-
точно, чтобы его матрица в каком-нибудь ортонормированном базисе
была самосопряженной.
15. Докажите, что для любого оператора
A
∈
L
(
H
)
операторы
A
+
A
∗
2
,
A
−
A
∗
2
i
, A
∗
A, AA
∗
самосопряжены.
16. Пусть
m
∈
N
.
Докажите, что уравнение
X
m
=
A, A
=
A
∗
имеет единственное самосопряженное решение
X
∈
L
(
H
)
при нечетном
m
и имеет решение, если
m
четно и спектр оператора
A
неотрицателен.
17. Найдите ортонормированный базис из собственных векторов симметри-
ческих матриц
A
=
0 1 1
1 0 1
1 1 0
,
0
i
−
i
−
i
0
i
i
−
i
0
.
§
35. Сопряженные операторы. Структурная теория нормальных, . . .
259
Найдите
e
i
A
и
e
i
B
.
18. Пусть
A
∈
L
(
H
)
- оператор ранга один, т.е.
Ax
= (
x, a
)
b.
Найдите
условия на векторы
a, b,
при которых он 1) нормален; 2) самосопряжен.
19. Пусть
A
∈
L
(
H
)
- самосопряженный оператор. Докажите, что
а)
f
(
A
)
- самосопряженный оператор, если
f
∈ P
(
R
);
б)
A
−
1
- самосопряженный оператор, если обратим
A
;
в)
(
f /g
)(
A
)
- самосопряженный оператор, если
f, g
∈ P
(
R
)
и
g
не обра-
щается в нуль на
σ
(
A
)
.
20. Докажите, что нормальный оператор
A
∈
L
(
H
)
самосопряжен тогда и
только тогда, когда
σ
(
A
)
⊂
R
.
21. Докажите, что ранг самосопряженного оператора равен числу его нену-
левых собственных значений (каждое считается столько раз, какова его
алгебраическая кратность).
22. Пусть
A ∈
M atr
n
(
C
)
- симметрическая матрица. Докажите веществен-
ность
ее
следа
tr
A
.
Установите
неравенство
для
rang
A
:
:
rang
A ≥
(
tr
A
)
2
/tr
A
2
.
23. Докажите, что множество унитарных операторов образует группу (по
умножению операторов).
24. Докажите, что модуль определителя унитарного оператора равен едини-
це.
25. Докажите, что нормальная матрица унитарна тогда и только тогда, ко-
гда модуль каждого ее собственного значения равен 1.
26. Докажите унитарность матрицы, столбцы которой образуют ортонорми-
рованный базис в
K
n
.
260
Глава 3. Линейная алгебра
27. Рассмотрим отображение
T
:
S
n
→
U
(
H
)
,
где
T
(
σ
) =
A
σ
- оператор
перестановок базиса
e
1
, . . . , e
n
в
H
(см. пример 1). Докажите, что отоб-
ражение
T
является гомоморфизмом группы
S
n
в группу
U
(
H
)
унитар-
ных операторов.
28. Докажите, что оператор
A
σ
имеет спектральное представление вида (3)
из
§
36, где
λ
k
=
e
i
2
πk
m
, k
= 0
,
1
, . . . , m
−
1
,
если
σ
- циклическая переста-
новка и
m
- порядок перестановки
σ.
29. Докажите включение
σ
(
A
ϕ
)
⊂ {
e
i
2
πK
m
:
k
= 0
,
1
, . . . , m
−
1
}
,
где
m
-
порядок перестановки
ϕ
∈
S
n
.
30. Пусть
σ
∈
S
n
.
Докажите, что оператор перестановок
A
σ
∈
L
(
H
)
(
dim H
=
n
)
можно представить в виде
A
σ
=
A
σ
1
A
σ
2
· · ·
A
σ
k
,
где
σ
1
, . . . , σ
k
- взаимно простые циклы и операторы
A
σ
j
, j
= 1
, . . . , k
перестановочны. Докажите также, что
σ
(
A
σ
) =
k
S
j
=1
σ
(
A
σ
j
)
,
причем
σ
(
A
σ
j
) =
{
e
i
2
πp
kj
:
p
= 0
,
1
, . . . , k
j
−
1
}
,
где
k
j
- длина цикла
σ
j
.
31. Матрица из
M atr
n
(
C
)
вида
A
=
a
0
a
1
a
2
. . . a
n
−
1
a
n
−
1
a
0
a
1
. . . a
n
−
2
a
n
−
2
a
n
−
1
a
0
. . . a
n
−
3
...
...
... ...
...
a
1
a
2
a
3
. . . a
0
называется
циркулянтной
. Докажите, что ее спектр имеет вид
σ
(
A
) =
{
a
0
+
a
1
γ
j
+
· · ·
+
a
n
−
1
γ
n
−
1
j
:
j
= 0
, . . . , n
−
1
}
,
где
γ
0
, . . . , γ
n
−
1
- различные корни из единицы, а соответствующие соб-
ственные векторы
x
j
, j
= 1
, . . . , n
−
1
имеют вид
x
j
= (1
, γ
j
, γ
2
j
, . . . , γ
n
−
1
j
)
,
j
= 0
, . . . , n
−
1
(указание: рассмотрите унитарную матрицу
B
из при-
мера 1,
§
31; тогда
A
=
ϕ
(
B
)
,
где
ϕ
(
λ
) =
a
0
+
a
1
λ
+
· · ·
+
a
n
−
1
λ
n
−
1
)
.
§
36. Структурная теория самосопряженных операторов
261
32. Пусть
A
∈
L
(
H
)
, Ax
0
=
λx
0
, A
∗
y
0
=
λy
0
, x
0
, y
0
6
= 0
.
Докажите, что
проектор
P
∈
L
(
H
)
, P x
= (
x, y
0
)
x
0
, x
∈
H
обладает свойствами:
1)
AP
=
P A
=
λP, A
∗
P
∗
=
P
∗
A
∗
=
λP
∗
;
2)
P
(
A
−
λP
) = 0;
3)
H
=
H
1
L
H
2
,
где
H
1
=
ImP
=
{
αx
0
;
α
∈
K
}
, H
2
=
Im
(
I
−
P
) =
=
KerP
∗
=
{
x
∈
H
: (
x, x
0
) = 0
}
,
и подпространства
H
1
, H
2
являются
инвариантными для
A
.
4)
σ
(
A
) =
σ
(
A
1
)
S
σ
(
A
2
)
,
где
A
i
(
i
= 1
,
2)
- сужение
A
на
H
i
, σ
(
A
1
) =
=
{
λ
}
,
причем
σ
(
A
2
) =
σ
(
A
)
\{
λ
}
,
если алгебраическая кратность соб-
ственного значения
λ
равна единице (т.е. собственное значение
λ
опера-
тора
A
простое).
§
36. Структурная теория самосопряженных и унитарных
операторов в вещественных евклидовых пространствах
Основные результаты предыдущего параграфа содержатся в теоремах
2 - 4, которые были получены для операторов, действующих в комплексных
евклидовых пространствах, что, разумеется, связано с использованием основ-
ной теоремы высшей алгебры.
Для изучения линейных операторов в вещественных евклидовых про-
странствах здесь используется подход, связанный с использованием расши-
рения вещественного пространства ("выхода"в комплексное евклидово про-
странство) и распространения рассматриваемых операторов в более широкое
пространство.
Пусть
H
- вещественное евклидово пространство. Расширение простран-
ства
H
осуществим по схеме, близкой к расширению поля
R
до поля
C
.
А именно, рассмотрим (вещественное) линейное пространство
H
=
H
×
H
=
H
2
.
Для каждого комплексного числа
α
+
iβ
и любой пары
(
x, y
)
из