ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3535
Скачиваний: 14
262
Глава 3. Линейная алгебра
H
×
H
положим
(
α
+
iβ
)(
x, y
) = (
αx
−
βy, βx
+
αy
)
.
Легко проверяется, что после так введенной операции умножения векторов
из
H
на комплексные числа
H
становится комплексным линейным простран-
ством. Каждую пару
(
x, y
)
∈
H
удобно обозначать также символом
x
+
iy
(отождествляя элементы вида
(
x,
0)
с
x
и
(0
, y
)
c iy
).
Построенное комплексное пространство
H
имеет ту же размерность, что
и
H.
Если
e
1
, . . . , e
n
- базис в
H
, то они образуют базис в
H.
Оставляя чита-
телю проверку их линейной независимости (см. упражнение 1), рассмотрим
произвольный вектор
x
+
iy
∈
H.
Если
x
=
n
P
j
=1
α
j
e
j
, y
=
n
P
j
=1
β
j
e
j
, α
j
, β
j
∈
R
,
то
x
+
iy
=
n
P
j
=1
(
α
j
+
iβ
j
)
e
j
.
В комплексном линейном пространстве
H
введем скалярное произведе-
ние следующей формулой
(
x
1
+
iy
1
, x
2
+
iy
2
) = (
x
1
, x
2
) + (
y
1
, y
2
) +
i
(
x
2
, y
1
)
−
i
(
x
1
, y
2
)
.
Определение 1.
Построенное комплексное евклидово пространство
H
называется
комплексификацией
евклидова пространства
H.
Определение 2.
Пусть
A
∈
L
(
H
)
.
Линейный оператор
A
∈
L
(
H
)
,
определенный формулой
A
(
x
+
iy
) =
Ax
+
iAy, x
+
iy
∈
H,
называется
расширением
оператора
A
на
H.
Теперь вместо изучения оператора
A
в пространстве
H
мы займемся
изучением оператора
A.
При этом окажется, что операторы
A
и
A
имеют
ряд одинаковых свойств, которые отмечаются в следующих замечаниях.
Замечание 1.
Матрица
A
оператора
A
(относительно выбранного нами
в
H
базиса) совпадает с матрицей
A
оператора
A
. Следовательно, она имеет
вещественные коэффициенты. В частности, это означает, что операторы
A
и
§
36. Структурная теория самосопряженных операторов
263
A
имеют одинаковые характеристические многочлены
p
A
=
p
A
)
и их коэффициенты вещественны.
Замечание 2.
Пусть
A
∈
L
(
H
)
и
A
∗
- его сопряженный оператор. Тогда
из следующих равенств
(
A
(
x
1
+
iy
1
)
, x
2
+
iy
2
) = (
Ax
1
+
iAy
1
, x
2
+
iy
2
) = (
Ax
1
, x
2
)+(
Ay
1
, y
2
)+
i
(
Ay
1
, x
2
)
−
−
i
(
Ax
1
, y
2
) = (
x
1
, A
∗
x
2
) + (
y
1
, A
∗
y
2
) +
i
(
y
1
, A
∗
x
2
)
−
i
(
x
1
, A
∗
x
2
) =
= (
x
1
+
iy
1
, A
∗
x
2
+
iA
∗
y
2
) = (
x
1
+
iy
1
, A
∗
(
x
2
+
iy
2
))
следует, что сопряженный
A
∗
к
A,
оператор является расширением самосо-
пряженного к
A
оператора
A
∗
.
Отсюда, в частности, следует, что если
A
- нормальный оператор, то
таким же будет оператор
A
(следует учесть при этом равенство
AB
=
A
·
B, A, B
∈
L
(
H
)
); если
A
- самосопряженный оператор, то
A
- самосопряжен-
ный оператор и, наконец, расширение
U
унитарного оператора
U
∈
L
(
H
)
является унитарным оператором.
Замечание 3.
Ввиду вещественности коэффициентов характеристиче-
ского многочлена
p
A
,
наряду с любым невещественным корнем
λ
=
α
+
iβ
корнем этого многочлена является также число
λ
=
α
−
iβ.
Если
x
+
iy
∈
E
(
λ, A
)
, т.е. если
A
(
x
+
iy
) =
λ
(
x
+
iy
)
, или
Ax
+
iAy
= (
α
+
iβ
)(
x
+
iy
) =
αx
−
βy
+
i
(
βx
+
αy
)
,
то из последнего равенства следует, что
A
(
x
−
iy
) =
λ
(
x
−
iy
)
и, самое главное, получаем следующие равенства
Ax
=
αx
−
βy,
Ay
=
βx
+
αy.
(1)
Векторы
x
+
iy, x
−
iy
из
H
линейно независимы (как собственные векторы,
отвечающие различным собственным значениям
λ
и
λ
оператора
A
). Поэто-
му будут линейно независимы векторы
x
и
y
(как элементы пространства
H
).
Из равенств (1) следует, что двумерное подпространство
H
2
из
H
, об-
разованное двумя векторами
x
и
y
, инвариантно относительно оператора
A
264
Глава 3. Линейная алгебра
и матрица сужения оператора
A
на
H
2
относительно базиса
x, y
в
H
2
имеет
вид
α β
−
β α
.
(2)
Если же
λ
- вещественное собственное значение оператора
A
(то есть,
если
β
= 0)
,
то
A
(
x
+
iy
) =
Ax
+
iAy
=
λx
+
iλy,
и поэтому
Ax
=
λx, Ay
=
λy,
т.е.
x, y
∈
E
(
λ, A
)
.
Следовательно,
E
(
λ, A
) =
{
x
+
iy
:
x, y
∈
E
(
λ, A
)
}
.
Из проведенных рассуждений следует
Т е о р е м а 1.
Каждый оператор
A
∈
L
(
H
)
имеет одномерное (имеет
собственный вектор) или двумерное инвариантное подпространство.
Допустим теперь, что
A
- нормальный оператор из
L
(
H
)
.
Тогда его рас-
ширение
A
также является нормальным оператором и, согласно теореме 2
из
§
35 и замечанию 3, оператор
A
допускает разложение
A
=
λ
1
I
1
⊕
λ
1
I
1
⊕
· · ·⊕
λ
k
I
k
⊕
λ
k
I
k
⊕
λ
2
k
+1
I
2
k
+1
⊕· · ·⊕
λ
m
I
m
относительно ортогональной прямой
суммы
H
=
E
(
λ
1
, A
)
⊕
E
(
λ
1
, A
)
⊕ · · · ⊕
E
(
λ
k
, A
)
⊕
E
(
λ
k
, A
)
⊕
E
(
λ
2
k
+1
, A
)
⊕
· · ·
E
(
λ
m
, A
)
, где
λ
1
, . . . , λ
k
- невещественные собственные значения операто-
ра
A, λ
2
k
+1
, . . . , λ
m
- его вещественные собственные значения,
I
j
, j
= 1
, . . . , k
- тождественные операторы в
E
(
λ
j
, A
)
.
Как было выяснено в замечании 3,
E
(
λ
j
, A
) =
{
x
−
iy
:
x
+
iy
∈
E
(
λ
j
, A
)
}
,
j
= 1
, . . . , k,
и, следовательно,
dim
E
(
λ
j
, A
) = dim
E
(
λ
j
, A
)
, j
= 1
, . . . , k
.
Из взаимной ортогональности векторов
x
+
iy
∈
E
(
λ
j
, A
)
, x
−
iy
∈
E
(
λ
j
,
A
)(1
≤
j
≤
k
)
получаем, что
0 = (
x
+
iy, x
−
iy
) = (
x, x
)
−
(
y, y
) +
2
i
(
x, y
)
т.е.
(
x, y
) = 0
.
Таким образом, выбрав ортонормированный базис
x
`
+
iy
`
, `
= 1
, . . . , dim E
(
λ
j
, A
)
в каждом подпространстве
E
(
λ
j
, A
) (1
≤
j
≤
k
)
,
мы получим, что векторы
x
`
, y
`
, `
= 1
, . . . , dim E
(
λ
j
, A
)
линейно независи-
мы и взаимно перпендикулярны. Из проведенных выше рассуждений следует,
что эти векторы образуют базис в
E
(
λ
j
, A
)
⊕
E
(
λ
j
, A
)
.
В каждом из подпространств
E
(
λ
j
, A
)
, j
= 2
k
+ 1
, . . . , m
выбираем ор-
§
36. Структурная теория самосопряженных операторов
265
тонормированный базис из собственных векторов оператора
A
(отвечающих
тому же собственному значению
λ
j
).
Объединение выбранных базисов в собственных подпространствах
оператора
A
является базисом в
H
(так и в
H
), и матрица
A ∈
M atr
n
(
R
)
оператора
A
будет иметь блочно-диагональный вид
A
=
α
1
β
1
−
β
1
α
1
. ..
α
2
β
2
−
β
2
α
2
. ..
α
k
β
k
−
β
k
α
k
λ
2
k
+1
. ..
λ
m
.
(3)
Если
A
- самосопряженный оператор, то матрица
A
- диагональная с соб-
ственными значениями по диагонали, которые вещественны.
Если
A
- унитарный оператор, то ввиду равенств
λ
j
=
expi
Θ
j
,
0
≤
Θ
j
<
2
π, j
= 1
, . . . , k
матрица
A
имеет вид (3), где
α
j
= cos Θ
j
и
β
j
= sin Θ
j
.
Итогом проведенных рассуждений является
Т е о р е м а 2.
1. Если
A
- нормальный оператор из
L
(
H
)
,
то в
H
существует ортонормированный базис такой, что матрица
A
оператора
A
в
этом базисе имеет вид (3).
2. Если
A
- самосопряженный оператор, то указанный ортонормирован-
ный базис может быть образован из собственных векторов оператора
A
, а
матрица
A
диагональна (с собственными значениями по диагонали).
3. Если
A
- унитарный оператор, то элементы матрицы
A
имеют вид
α
j
= cos Θ
j
, β
j
= sin Θ
j
,
1
≤
j
≤
k
и каждое из чисел
λ
2
k
+1
, . . . , λ
m
равно
либо 1, либо -1.
Определение 3.
Пусть размерность евклидова пространства
H
равна
2. Оператор
U
∈
L
(
H
)
называется оператором поворота (на угол
ϕ
)
,
если су-
ществует ортонормированный базис
e
1
, e
2
и число
ϕ
∈
(0
,
2
π
)
, ϕ
6
=
π
)
такие,
266
Глава 3. Линейная алгебра.
что
U e
1
=
cosϕe
1
+
sinϕe
2
, U e
2
= (
−
sinϕ
)
e
1
+
cosϕe
2
.
Непосредственно из теоремы 2 следует
Т е о р е м а 3.
Любой нормальный оператор
A
∈
L
(
H
)
со спектром
σ
(
A
) =
{
λ
j
=
α
1
+
iβ
j
=
|
λ
j
|
(cos
ϕ
j
+ (
sinϕ
j
)
,
1
≤
j
≤
k, λ
k
+1
, . . . , λm
}
есть
прямая сумма
A
=
α
1
U
1
L
· · ·
L
α
k
U
k
L
λ
k
+1
I
k
+1
L
λ
m
I
m
,
где
α
i
∈
R
, U
i
,
1
≤
i
≤
k
- операторы поворота,
λ
k
+1
, . . . , λ
m
∈
R
,
относительно некоторого
разложения
H
=
H
1
L
· · ·
L
H
k
L
H
k
+1
· · ·
L
H
m
в ортогональную прямую
сумму инвариантных подпространств
H
i
,
1
≤
i
≤
m, dimH
i
= 2
,
1
≤
i
≤
K.
Упражнения к § 36
1. Пусть
e
1
, . . . , e
m
- линейно независимые векторы в вещественном евкли-
довом пространстве
H
. Докажите их линейную независимость в ком-
плексификации
H.
2. Докажите, что из линейной независимости векторов вида
x
+
iy, x
−
iy,
x, y
∈
H
в
H
следует линейная независимость векторов
x, y
из веще-
ственного евклидова пространства
H
.
3. Докажите, что
det
U ∈ {−
1
,
1
}
для любой ортогональной матрицы
U ∈
M atr
n
(
R
)
.
§
37. Спектральный радиус и норма операторов.
Положительно определенные операторы и матрицы
Мы продолжаем изучать линейные операторы из алгебры
L
(
H
)
,
где
H
- евклидово пространство. Если самосопряженные операторы (матрицы суть
обобщения вещественных чисел, то изучаемые в этом параграфе положитель-
но определенные операторы (матрицы) - обобщения положительных чисел.
Определение 1.
Пусть
A
∈
L
(
X
)
(
X
- конечномерное линейное про-
странство). Число
r
(
A
)
,
определенное равенством
r
(
A
) = max
λ
∈
σ
(
A
)
|
λ
|
,