ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3458
Скачиваний: 14
§
37. Спектральный радиус и норма операторов
267
называется
спектральным радиусом
оператора
A
(т.е.
r
(
A
)
- радиус наи-
меньшего круга из
C
с центром в нуле, содержащего
σ
(
A
)
).
Аналогичным образом определяется спектральный радиус
r
(
A
)
любой
матрицы
A ∈
M atr
n
(
K
)
.
Лемма 1.
Для любого оператора
A
∈ L
(
X
)
(
X
- конечномерное линей-
ное нормированное пространство) имеет место оценка
r
(
A
)
≤k
A
k
.
Доказательство.
Пусть
λ
0
∈
σ
(
A
)
- максимальное по модулю соб-
ственное значение оператора
A
и
x
0
- отвечающий ему собственный вектор
с
k
x
0
k
= 1
.
Тогда
r
(
A
) =
|
λ
0
|
=
|
λ
0
| k
x
0
k
=
k
Ax
0
k≤k
A
k
.
Лемма доказана.
Отметим, что аналогичное неравенство верно для спектрального радиуса
любой матрицы
A ∈
M atr
n
(
K
)
.
Если
Q
- нильпотентный оператор из
L
(
X
)
,
то
r
(
Q
) = 0
<
k
Q
k
>
0
,
т.е. неравенство из леммы 1 может быть строгим.
Если
A
- нормальный оператор и
e
1
, . . . , e
n
- ортонормированный базис
в
H
, составленный из собственных векторов оператора
A
, т.е.
Ae
k
=
λ
k
e
k
,
k
= 1
, . . . , n
, где
λ
1
, . . . , λ
n
- собственные значения оператора
A
, то, разлагая
каждый вектор
x
по базису, получим равенства
x
=
n
X
k
=1
(
x, e
k
)
e
k
,
Ax
=
n
X
k
=1
λ
k
(
x, e
k
)
e
k
.
(1)
Из равенства (1) получаем
||
Ax
||
2
= (
Ax, Ax
) =
n
X
k
=1
|
λ
k
|
2
|
(
x, e
k
)
|
2
≤
max
1
≤
j
≤
n
|
λ
j
|
2
n
X
k
=1
|
(
x, e
k
)
|
2
=
r
(
A
)
2
||
x
||
2
.
Следовательно,
||
A
||
= sup
x
6
=0
||
Ax
||
||
x
||
≤
r
(
A
)
.
268
Глава 3. Линейная алгебра.
Поскольку
|
λ
k
|
=
||
λ
k
e
k
||
=
||
Ae
k
|| ≤ ||
A
|| ∀
k
= 1
, . . . , n,
то
r
(
A
) =
= max
1
≤
k
≤
n
|
λ
k
| ≤ ||
A
||
.
Таким образом, доказана
Т е о р е м а 1.
Если
A
- нормальный оператор, то
r
(
A
) =
||
A
||
.
В частности, это равенство имеет место для самосопряженного оператора
A
.
Следствие 1.
Если
A
- нормальный оператор из
L
(
H
)
и
(
Ax, x
) =
= 0
∀
x
∈
H,
то
A
= 0
.
Доказательство.
Пусть
λ
0
- произвольное собственное значение опера-
тора
A
и
x
0
- соответствующий собственный вектор. Тогда
0 = (
Ax
0
, x
0
) =
=
λ
0
(
x
0
, x
0
) =
λ
0
||
x
0
||
2
и поэтому
λ
0
= 0
.
Следовательно,
||
A
||
=
r
(
A
) = 0
.
Замечание 1.
Если
Q
- ненулевой нильпотентный оператор из
L
(
H
)
,
то ясно, что
r
(
Q
) = 0
,
и поэтому
0 =
r
(
Q
)
6
=
||
Q
|| 6
= 0
.
Однако всегда имеет
место неравенство
r
(
A
)
≤ ||
A
||
,
которое следует из оценок:
|
λ
0
|
=
||
λ
0
x
0
||
=
=
||
Ax
0
|| ≤ ||
A
||
(
λ
0
∈
σ
(
A
)
, Ax
0
=
λ
0
x
0
,
||
x
0
||
= 1)
.
Определение 2.
Самосопряженный оператор
A
∈
L
(
H
)
называется
положительно
определенным
(положительно
полуопределенным)
, если
(
Ax, x
)
>
0
((
Ax, x
)
≥
0)
∀
x
6
= 0
∈
H.
При этом используется обозначение
A >
0 (
A
≥
0)
.
Оператор
A
называется
отрицательно определенным (отри-
цательно полуопределенным)
, если
(
Ax, x
)
<
0 ((
Ax, x
)
≤
0)
∀
x
∈
H, x
6
= 0
.
Определение 3.
Симметрическая матрица
A
= (
a
ij
)
∈
M atr
n
(
K
)
на-
зывается
положительно определенной (положительно полуопределенной),
если для любого ненулевого набора
n
чисел
(
ξ
1
, . . . , ξ
n
)
∈
K
n
имеет место
неравенство
n
X
i
=1
n
X
j
=1
a
ij
ξ
i
ξ
j
>
0
n
X
i
=1
n
X
j
=1
a
ij
ξ
i
ξ
j
≥
0
!
(2)
При этом используется обозначение
A
>
0 (
A ≥
0)
.
Расшифровка условия (2) означает не что иное, как положительную оп-
ределенность (полуопределенность) оператора
A
∈
L
(
K
n
)
,
определяемого
матрицей
A
.
Как обычно, это соотношение между матрицами и операторами
§
37. Спектральный радиус и норма операторов
269
позволяет рассматривать результаты только для положительно определен-
ных (полуопределенных) операторов.
Т е о р е м а 2.
Самосопряженный оператор
A
∈
L
(
H
)
положитель-
но определен (полуопределен) тогда и только тогда, когда его собственные
значения положительны (неотрицательны).
Доказательство.
Пусть
λ
0
- произвольное собственное значение по-
ложительно определенного (полуопределенного) оператора
A
и
x
0
- соответ-
ствующий собственный вектор. Положительность (неотрицательность) числа
λ
0
следует из неравенства
0
<
(
Ax
0
, x
0
) =
λ
0
(
x
0
, x
0
) (0
≤
(
Ax
0
, x
0
) =
λ
0
(
x
0
, x
0
))
.
Обратно, если все собственные значения оператора
A
положительны
(неотрицательны), то рассмотрим равенства (1). Из этих равенств получим
(
Ax, x
) =
n
X
k
=1
λ
k
|
(
x, e
k
)
|
2
, x
∈
H,
откуда следует положительность (неотрицательность) оператора
A
. Теорема
доказана.
Следствие 2.
Собственные значения положительно определенной (по-
луопределенной) матрицы положительны (неотрицательны).
Следствие 3.
Спектральный радиус положительно полуопределенного
оператора равен его максимальному собственному значению.
Требование самосопряженности оператора
A
из определения 2 (матрицы
A
из определения 3) является лишним для комплексного пространства
H
(для
A ∈
M atr
n
(
C
)
.
Действительно, имеет место
Т е о р е м а 3.
Пусть
H
- комплексное евклидово пространство. Для
того чтобы оператор
A
∈
L
(
H
)
был самосопряженным, необходимо и доста-
точно, чтобы число
(
Ax, x
)
было вещественно для любого вектора
x
∈
H.
Доказательство.
Если
A
=
A
∗
,
то
вещественность
числа
(
Ax, x
)
, x
∈
H
следует из следующих равенств
(
Ax, x
) = (
x, A
∗
x
) = (
x, Ax
) = (
Ax, x
)
.
270
Глава 3. Линейная алгебра.
Обратно, если
(
Ax, x
)
вещественно для любого
x
∈
H,
то
(
Ax, x
) = (
Ax, x
) = (
x, A
∗
x
) = (
A
∗
x, x
)
и, следовательно,
((
A
−
A
∗
)
x, x
) = 0
∀
x
∈
H.
Поскольку
(
A
−
A
∗
)
∗
=
A
∗
−
A,
то
A
−
A
∗
- антисамосопряженный оператор и поэтому он нормален. Согласно
следствию 1 из теоремы 1,
A
−
A
∗
= 0
.
Теорема доказана.
Т е о р е м а 4.
Для любого самосопряженного оператора
A
∈
L
(
H
)
имеет место равенство
||
A
||
= sup
||
x
||≤
1
|
(
Ax, x
)
|
.
Доказательство.
Поскольку
|
(
Ax, x
)
| ≤ ||
Ax
||||
x
|| ≤ ||
A
||||
x
||
2
≤ ||
A
||
,
если
||
x
|| ≤
1
,
то
sup
||
x
||≤
1
|
(
Ax, x
)
| ≤ ||
A
||
.
С другой стороны, если
x
0
- собствен-
ный вектор оператора
A
длины 1, отвечающий максимальному по модулю
собственному значению
λ
0
оператора
A
, то из теоремы 1 получаем
||
A
||
=
r
(
A
) =
|
λ
0
|
=
|
λ
0
|
(
x
0
, x
0
) =
|
(
λ
0
x
0
, x
0
)
|
=
|
(
Ax
0
, x
0
)
| ≤
sup
||
x
||≤
1
(
Ax, x
)
.
Следствие 4.
Если
A
∈
L
(
H
)
, A
≥
0
,
то
||
A
||
= sup
||
x
||≤
1
(
Ax, x
)
.
Т е о р е м а 5.
Каждый положительно определенный (полуопределен-
ный) оператор
A
∈
L
(
H
)
обладает положительно определенным (полуопре-
деленным) корнем
B
∈
L
(
H
)
,
причем
σ
(
B
) =
p
σ
(
A
) =
{
√
λ >
0 :
:
λ
∈
σ
(
A
)
}
.
Доказательство.
Если
A
=
m
P
k
=1
λ
k
P
k
- спектральное разложение опера-
тора
A >
0 (
A
≥
0)
,
то положим
B
=
m
P
k
=1
√
λ
k
P
k
,
√
λ
k
≥
0
, k
= 1
, . . . , m.
Тогда
B
=
B
∗
, B
2
=
A,
его спектр
σ
(
B
) =
{
√
λ
1
, . . . ,
√
λ
m
}
=
p
σ
(
A
)
по-
ложителен (неотрицателен), и поэтому (в силу теоремы 2)
B >
0 (
B
≥
0)
.
Теорема доказана.
Т е о р е м а 6.
Для любого оператора
A
∈
L
(
H
)
операторы
A
∗
A
и
AA
∗
положительно полуопределены и
||
A
||
=
p
||
A
∗
A
||
=
q
λ
max(
A
∗
A
)
=
λ
max
√
A
∗
A,
§
37. Спектральный радиус и норма операторов
271
где через
λ
max
(
B
)
обозначено максимальное собственное значение самосопря-
женного оператора
B
∈
L
(
H
)
.
Доказательство.
Поскольку
(
A
∗
Ax, x
) = (
Ax, Ax
)
≥
0
и
(
AA
∗
x, x
) =
(
A
∗
x, A
∗
x
)
≥
0
,
то операторы
A
∗
A
и
AA
∗
положительно полуопределены.
Поскольку
||
Ax
||
2
= (
Ax, Ax
) = (
A
∗
Ax, x
)
,
то, используя теоремы 1,4 и 5,
получаем следующие равенства
||
A
||
2
= sup
||
x
||≤
1
||
Ax
||
2
= sup
||
x
||≤
1
(
A
∗
Ax, x
) =
||
A
∗
A
||
=
λ
max
(
A
∗
A
) = (
λ
max
√
A
∗
A
)
2
.
Определение 4.
Пусть
A, B
∈
L
(
H
)
.
Будем писать
A > B
(
A
≥
B
)
,
если
A
−
B >
0 (
A
−
B
≥
0)
.
Пусть
A
=
A
∗
∈
L
(
H
)
, e
1
, . . . , e
n
- ортонормированный базис из соб-
ственных векторов оператора
A
и
λ
1
≤
λ
2
≤ · · · ≤
λ
n
- соответствующие
собственные значения. Тогда из равенств (1) получаем следующие неравен-
ства
λ
1
(
x, x
) = (
λ
1
x, x
)
≤
(
Ax, x
) =
n
X
j
=1
λ
j
|
(
x, e
j
)
|
2
≤
(
λ
n
x, x
) =
λ
n
(
x, x
)
,
(3)
т.е. имеют место соотношения
λ
1
I
≤
A
≤
λ
n
I.
Используемую далее величину
(
Ax, x
)
(
x, x
)
(
A
∈
L
(
H
)
, x
∈
H
)
называют
от-
ношением Рэлея
.
Т е о р е м а 7 (теорема Рэлея-Ритца).
Пусть
A
- самосопряженный
оператор и его собственные значения
λ
j
=
λ
j
(
A
)
, λ
= 1
, . . . , n
упорядочены
следующим образом
λ
min
=
λ
1
≤
λ
2
≤ · · · ≤
λ
n
=
λ
max
.
Тогда
λ
1
=
λ
min
≤
(
Ax, x
)
(
x, x
)
≤
λ
n
=
λ
max
, x
6
= 0
, x
∈
H,
(4)
λ
1
=
λ
min
= min
||
x
||
=1
(
Ax, x
) = min
x
6
=0
(
Ax, x
)
(
x, x
)
,
(5)