ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 26.10.2023
Просмотров: 292
Скачиваний: 3
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
29
Глава 3
ФОРМИРУЕМ МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ
3.1. Специфика математики
как учебного предмета в начальной школе
Прежде чем рассматривать проблему формирования у младших школьни- ков метапредметных результатов на уроках математики, кратко охарактеризуем особенности такой науки, как математика и сравним ее с другими отраслями научного знания.
То, что эта наука носит весьма абстрактный характер, и именно этот ее признак вызывает трудности в обучении, многим хорошо известно.
Сначала попробуем ответить на вопрос, в чем же специфика понятий ма- тематики и ее исключительное своеобразие как науки. Поясним это на некото- рых понятных педагогу примерах.
Рассмотрим понятие «натуральное число».
Современный учитель начальной школы не всегда задумывается о дли- тельности периода и сложности образования понятия натурального числа, хотя человечество преодолело гигантские временные и качественные скачки в его определении. Кроме попыток определить, что это такое, у человечества форми- ровалось внимание к отношениям между числами, к простейшим арифметиче- ским действиям, возникшим из потребностей практики.
Не всякий педагог задумывается над тем, что ребенок в возрасте 6–11 лет за четыре класса пребывания в начальной школе должен воспроизвести весь исторический процесс становления понятия натурального числа, то есть пройти все этапы образования этого понятия, которые прошло человечество.
Перечислим эти этапы:
–
установление соответствия между совокупностями объектов, предметов;
–
отделение количества предметов от них самих, отвлечение от всех дру- гих свойств предметов (формируется первая функция понятия «натуральное число» и ответ на вопрос «Сколько?»);
–
освоение порядка следования чисел в натуральном ряду (формируется вторая функция понятия «натуральное число» и ответ на вопрос «Какой (какая, какое) по счету?»);
–
освоение того, что в методике обучения младших школьников математи- ке называется «навыком измерения величин», а в самой математике – установ- лением сюръективного отображения между измеряемыми объектами реальной действительности и множеством натуральных чисел (формируется третья функция понятия «натуральное число» и ответ на вопрос «Сколько единиц из- мерения укладывается в измеряемом объекте?»).
Параллельно люди использовали оценки в суждениях «больше», «мень- ше», «равно», осваивали технику счета.
30
В мышлении учащегося младшего школьного возраста логически констру- ируются объекты, которых нет в окружающей нас действительности – нату- ральные числа.
В самой же математике, в ее завершенных теоретических концепциях натуральное число рассматривается по-разному, например как инвариант клас- са конечных эквивалентных множеств, что отражает его первую функцию из перечисленных выше, или как абстрактное понятие, вытекающее из системы аксиом, что определяет вторую функцию, и т. д. Это исходное понятие нужно для последующего развития математических теорий.
Далее рассмотрим такое важнейшее понятие, как «геометрическая фигура».
Ребенка дома и в школе окружают различные предметы, например парта, доска, окно, дверь в классе. Многие из них имеют то, что мы называем сходной внешней формой. Но в самой окружающей действительности нет ни треуголь- ников, ни прямоугольников, ни шаров и т. д., тем более не бывает точек и ли- ний. У парты, например, есть столешница, она сделана из определенного мате- риала, имеет какой-либо цвет, характеризуется упругостью, твердостью и про- чими свойствами, которые совершенно не интересуют такую науку, как мате- матика. Ее интересует лишь форма и размеры этой столешницы.
Если категория натурального числа хотя бы как-то отражает локализован- ные в пространстве и во времени предметы окружающего мира и фиксирует дискретность, то понятие фигуры складывается в голове человека на основе отождествления сходной внешней формы реальных предметов и является пол- ной идеализацией.
Пространственная форма фиксирует непрерывность, хотя крупнейший со- ветский математик XX в. А. Н. Колмогоров все же отмечал в своих трудах, что пространственные формы также можно рассматривать как частный вид количе- ственных отношений, если самим количественным отношениям придать более широкое толкование.
Геометрическую фигуру можно рассматривать как инвариант внешней формы подобных тел.
Перед нами встает вопрос: существуют ли какие-то прообразы числа или фигуры в окружающем нас мире или эти понятия настолько самостоятельны, что не имеют никаких прообразов? От ответа на него, от той или иной точ- ки зрения и соответствующей ей теоретической концепции зависит многое в описании оснований математики как науки, что отражено в трудах, начиная от «Метафизики» Аристотеля и заканчивая философскими размышлениями
Ф. Энгельса, Г. Герца, Б. А. Розенфельда, С. А. Яновской, Н. И. Жукова, идея- ми великих лидеров математики – Г. Кантора, Д. Гильберта, А. Пуанкаре,
А. Н. Колмогорова и других.
На примерах рассмотренных понятий – «натуральное число» и «геометри- ческая фигура» – опишем природу математических объектов. Все они без иск- лючения являются идеализированными. Можно возразить, что понятия всех наук являются идеальными, нематериальными, но для математики этот вопрос ставится именно в отношении существования прообразов в реальной действи- тельности. То есть мы видим, что сама степень идеализации такова, что все ма-
31
тематические понятия представляются абстракциями головного мозга высо- чайшего уровня и при этом они вдобавок являются многоступенчатыми, то есть имеют разную степень общности.
Поясним сказанное на примере понятия алгебраической операции. Хорошо известные арифметические действия сложения, вычитания, умножения и деле- ния, осуществляемые с числами, а также операции пересечения, объединения, разности множеств, операции с высказываниями на следующей ступени разви- тия математики предстают уже в виде абстрактных операций, осуществляемых с абстрактными объектами. Операция может обозначаться не привычными нам знаками действий, а каким-то отвлеченным знаком, объектами выступают не числа, множества или высказывания, а полностью отвлеченные от конкретного содержания знаки. И так обстоят дела не только с действиями.
Лишь исходные понятия математики могут хоть как-то отображать внеш- нюю сторону предметов, которые существуют в действительности. Например, прямая линия на уровне восприятия – это какая-то протяженность реального объекта в пространстве в каком-то одном направлении от глаз, площадь фигу- ры – место, занимаемое предметами на какой-то плоской поверхности, и т. д.
Таким образом, все объекты математики являются абстракциями нашего головного мозга, созданными в результате отражения реальной действительно- сти при применении следующих основных приемов: соотнесение, отождествле- ние, идеализация, логическое конструирование, инвариант, логический вывод
(дедуктивные рассуждения).
Процесс образования и использования математических абстракций слож- нее, чем в других науках, а сами математические понятия имеют меньше сходства с реальными явлениями окружающего нас мира, чем во многих других науках.
Но откуда же берется непостижимая эффективность математики в отноше- нии описания реальных процессов? Именно в ее абстракциях, которые в значи- тельной степени отличаются от исходных понятий. Модели, созданные с по- мощью математики, в которых используется особый язык, очень хорошо опи- сывают самые сложные процессы окружающей действительности.
Весь математический язык является языком, намного более абстрагиро- ванным, чем обычная среда нашего мышления. Это язык особых математиче- ских форм и формул, созданных человечеством на протяжении многих веков, а сами формы и формулы созданы с помощью принятой во всем мире системы знаков. Манипулирование формами осуществляется в соответствии с жесткими правилами, с помощью которых логическое мышление человека трудится в не- которой своей части «вне центральной нервной системы», контролируя только манипулирование символами в строгом соответствии с этими правилами.
Математический язык никому не понятен без предварительных знаний так же, как, например, ноты – особый язык графического обозначения музыкаль- ных звуков. Одни люди, когда видят математические знаки, формулы или ноты говорят, что «от этого можно упасть в обморок», а другие понимают, что напи- сано очень красивое решение задачи или мысленно дирижируют, глядя на лист с нотами, потому что внутренне слышат музыкальное произведение.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 14
32
В этом особенности математического языка, но это сложившийся и доста- точно совершенный знаковый аппарат. В нем редко (исключение – задания в школьном курсе математики или в каких-нибудь специальных отраслях дея- тельности) используются слова естественного языка и буквы какого-либо алфа- вита, кроме латинского и греческого. Допустимость использования того или иного символа еще больше определяет специфику математического знания.
Символы часто вводятся исходя из нужд развития самой математики.
Математический язык использует следующие знаки:
–
буквы латинского алфавита (A, a, B, b, C, c, D, d…);
–
буквы греческого алфавита (α, β, γ…);
–
цифры – знаки исторически сложившейся десятичной системы счисле- ния: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;
–
знаки действий, операций (+, –, ∙, : , … , ∩, /, …, ˄, ˅, …);
–
знаки отношений (>, <, =, ≥, ≤, ≠, ⸦, …);
–
скобки ({ }, ( ), [ ] , … ) и другие специальные знаки.
Пример
.
В записи 2 + 3 = 5 все объекты, записанные языком символов, идеальны, но то, что написано, понятно каждому, кто освоил математику в начальной школе. Это простое повествовательное предложение, имеющее подлежащее и сказуемое. С точки зрения математической логики эта конструк- ция является истинным высказыванием.
Тексты, которые строятся с помощью математического языка в начальной школе, часто являются несплошными, то есть не содержащими предложений и абзацев, как это происходит в обычном языке. К несплошным текстам в курсе математики начальной школы относят различные таблицы, схемы, диаграммы, графы, простейшие графики и т. д.
Разбирая особенности структуры несплошного математического текста, мы снова наблюдаем, что он сам состоит из идеализированных математиче- ских объектов. Например, ячейки таблицы или столбцы на диаграмме могут быть представлены в виде прямоугольников, схемы задач могут быть построе- ны с помощью отрезков и других фигур. И в тех, и в других могут присутство- вать специальные знаки, которые использует математический язык, – цифры, буквы и пр.
Описав специфические особенности математики и ее языка, вспомним не- которые положения возрастной психологии, описывающие основные характе- ристики протекания психических процессов в младшем школьном возрасте и рассмотрим их по отношению к освоению этого предмета.
Восприятие ученика начальных классов 6–7 лет характеризуется малой дифференцированностью. Например, по отношению к геометрической состав- ляющей курса математики можно выделить слабую дифференцированность восприятия некоторыми учениками изображения объемных геометрических фигур на плоскости. Учащийся может назвать конус треугольником, шар – кру- гом, куб – квадратом и при этом пытаться доказывать, что это одно и то же (ав- тор приводит пример беседы из собственной практики о телах в пространстве с детьми 7 лет, обучающимися в частной московской школе по системе Марии