ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.04.2021
Просмотров: 1322
Скачиваний: 6
— 31 —
1)
f
(
x
)(
t
) =
Z
1
0
sin (
t
−
s
)
x
(
s
)
ds
, 2)
f
(
x
)(
t
) =
Z
t
0
x
2
(
s
)
ds
,
3)
f
(
x
)(
t
) = arctg
x
(
t
)
, 4)
f
(
x
)(
t
) = (1 +
t
2
)
−
1
x
(
t
)
.
14.3. Доказать, что в задаче 4.1 функции 1) и 3) удовлетворяют условию
Липшица.
14.4. Доказать, что в задаче 4.2 функции 1), 3) и 4) удовлетворяют условию
Липшица.
Теорема 15.
Пусть
{
X, ρ
X
}
,
{
Y, ρ
Y
}
– метрические пространства. Функ-
ция
f
:
X
→
Y
непрерывна на
X
тогда и только тогда, когда для любого
открытого множества
A
⊂
Y
прообраз
f
−
1
[
A
]
– открытое множество в
X
.
Доказательство.
Пусть функция
f
непрерывна на
X
и множество
A
⊂
Y
открыто. Рассмотрим прообраз
f
−
1
[
A
] =
{
x
∈
X
|
f
(
x
)
∈
A
}
. Возьмем точку
x
0
∈
f
−
1
[
A
]
и покажем, что она является внутренней. Так как
f
(
x
0
)
∈
A
и
A
открыто, то
(
∃
ε >
0)[
B
(
f
(
x
0
)
, ε
)
⊂
A
]
. Так как функция
f
непре-
рывна, то
(
∃
δ >
0)[ (
ρ
X
(
x, x
0
)
< δ
)
→
(
ρ
Y
(
f
(
x
)
, f
(
x
0
))
< ε
) ]
. Рассмот-
рим шар
B
(
x
0
, δ
)
⊂
X
. Получим
f
[
B
(
x
0
, δ
)]
⊂
B
[
f
(
x
0
)
, ε
]
⊂
A
, то есть
B
(
x
0
, δ
)
⊂
f
−
1
[
A
]
и, следовательно, множество
f
−
1
[
A
]
открыто в
X
.
Пусть теперь
(
∀
A
=
A
◦
⊂
Y
)[
f
−
1
[
A
]
открыто в
X
]
. Возьмем
x
0
∈
X
и
ε >
0
. Рассмотрим
B
(
f
(
x
0
)
, ε
)
⊂
Y
. Тогда
f
−
1
[
B
(
f
(
x
0
)
, ε
) ]
– открытое мно-
жество в
X
и точка
x
0
∈
f
−
1
[
B
(
f
(
x
0
)
, ε
)]
. Следовательно,
(
∃
δ >
0)[
B
(
x
0
, δ
)
⊂
f
−
1
[
B
(
f
(
x
0
)
, ε
)]
. Таким образом, в произвольной точке
x
0
∈
X
выполняется
(14), то есть функция
f
непрерывна на
X
.
♥
Теорема 16.
Пусть
{
X, ρ
X
}
,
{
Y, ρ
Y
}
– метрические пространства. Функ-
ция
f
:
X
→
Y
непрерывна на
X
тогда и только тогда, когда для любого
замкнутого множества
F
⊂
Y
прообраз
f
−
1
[
F
]
– замкнутое множество в
X
.
Доказательство.
Пусть функция
f
непрерывна на
X
. Возьмем замкнутое
множество
F
=
F
⊂
Y
и рассмотрим его прообраз
f
−
1
[
F
] =
f
−
1
[
C
(
CF
)] =
f
−
1
[
Y
\
CF
] =
f
−
1
[
Y
]
\
f
−
1
[
CF
] =
X
\
f
−
1
[
CF
]
.
Множество
CF
открыто в
Y
. В силу теоремы 15 множество
f
−
1
[
CF
]
открыто
в
X
. Следовательно, его дополнение
f
−
1
[
F
]
замкнуто в
X
.
Пусть теперь
(
∀
F
=
F
⊂
Y
)[
f
−
1
[
F
]
замкнуто в
X
]
. Возьмем произвольное
открытое множество
A
=
A
◦
⊂
X
и рассмотрим его прообраз
f
−
1
[
A
] =
f
−
1
[
C
(
CA
)] =
f
−
1
[
Y
\
CA
] =
f
−
1
[
Y
]
\
f
−
1
[
CA
] =
X
\
f
−
1
[
CA
]
.
Множество
CA
замкнуто в
Y
. Тогда множество
f
−
1
[
CA
]
замкнуто в
X
, а его
дополнение
f
−
1
[
A
]
открыто в
X
. Следовательно, по теореме 15 функция
f
непрерывна на
X
.
♥
— 32 —
§
15. Принцип сжимающих отображений
Пусть
{
X, ρ
}
– метрическое пространство и
M
⊂
X
. Функция
f
:
M
→
X
,
удовлетворяющая на
M
условию Липшица с константой
q <
1
, называется
сжимающим отображением
на
M
.
Теорема 17.
Пусть
{
X, ρ
}
— полное метрическое пространство, множе-
ство
M
=
M
⊂
X
и
f
:
M
→
M
— сжимающее отображение. Тогда
f
имеет
в
M
единственную неподвижную точку
x
∗
=
f
(
x
∗
)
. Кроме того, для любо-
го
x
0
∈
M
последовательность
x
n
=
f
(
x
n
−
1
)
, где
n
∈
N
, сходится к
x
∗
и
справедлива оценка погрешности
ρ
(
x
n
, x
∗
)
≤
q
n
1
−
q
ρ
(
f
(
x
0
)
, x
0
)
.
(15)
Доказательство.
Возьмем точку
x
0
∈
M
и построим
x
n
=
f
(
x
n
−
1
) =
f
n
(
x
0
)
, где
n
∈
N
. Покажем, что последовательность
{
x
n
}
фундаментальна.
ρ
(
x
n
+
p
, x
n
) =
ρ
(
f
n
+
p
(
x
0
)
, f
n
(
x
0
))
≤
q
n
ρ
(
f
p
(
x
0
)
, x
0
)
≤
q
n
{
ρ
(
f
p
(
x
0
)
, f
p
−
1
(
x
0
)) +
ρ
(
f
p
−
1
(
x
0
)
, f
p
−
2
(
x
0
)) +
...
+
ρ
(
f
(
x
0
)
, x
0
)
} ≤
q
n
ρ
(
f
(
x
0
)
, x
0
)
p
−
1
X
k
=0
q
k
≤
q
n
1
−
q
ρ
(
f
(
x
0
)
, x
0
)
.
(16)
Так как
q <
1
, то из (16) следует фундаментальность последовательности
{
x
n
}
. В силу полноты пространства
{
X, ρ
}
и замкнутости множества
M
по-
следовательность
x
n
→
x
∗
и
x
∗
∈
M
=
M
. Учитывая непрерывность функ-
ции
f
, в равенстве
x
n
=
f
(
x
n
−
1
)
перейдем к пределу при
n
→ ∞
, получим
x
∗
=
f
(
x
∗
)
.
Покажем единственность неподвижной точки. Пусть для
x
+
∈
M
также
выполняется
x
+
=
f
(
x
+
)
. Тогда
ρ
(
x
∗
, x
+
) =
ρ
(
f
(
x
∗
)
, f
(
x
+
))
≤
q ρ
(
x
∗
, x
+
)
.
Так как
q <
1
, то отсюда следует
ρ
(
x
∗
, x
+
) = 0
, то есть
x
∗
=
x
+
.
Осталось заметить, что справедливость оценки погрешности (15) следует
из (16) при
p
→ ∞
.
♥
Доказанная теорема может быть использована для построения прибли-
женных решений уравнения вида
x
=
f
(
x
)
. При этом из оценки (15) следует,
что для достижения требуемой точности
ρ
(
x
n
, x
∗
)
< ε
достаточно взять
n >
1
ln
q
ln
ε
(1
−
q
)
ρ
(
f
(
x
0
)
, x
0
)
.
— 33 —
Если в теореме 17 в качестве начального приближения взять точку
x
n
−
1
,
то из оценки (15) получим весьма полезную в приложениях оценку
ρ
(
x
n
, x
∗
)
≤
q
1
−
q
ρ
(
x
n
, x
n
−
1
)
.
Последняя оценка может быть получена только после построения
n
прибли-
женных решений. Оценки такого типа называют
апостериорными
. Оценки
типа (15), которые могут быть получены до построения последовательных
приближений, называют
априорными
оценками.
•
Задачи:
15.1. Доказать, что любое непрерывное отображение числового отрезка в
себя имеет неподвижную точку.
15.2. Пусть функция
f
(
x
)
дифференцируема на
R
1
и
|
f
0
(
x
)
| ≤
k <
1
.
Показать, что уравнение
x
=
f
(
x
)
имеет единственное решение.
15.3. Проверить, что следующие уравнения имеют единственные решения:
1)
4
x
= 2(1 +
x
2
)
1
/
2
+ sin
x
, 2)
10
x
+ 5arctg
x
+ 4 cos
x
= 0
.
15.4. На
[1
,
∞
)
рассмотрим функцию
f
(
x
) = 2
−
1
ln
x
. Показать, что функ-
ция
f
(
x
)
является сжимающей, но неподвижных точек не имеет.
15.5. Показать, что функция
f
(
x
) = 2
−
1
x
2
|
x
|
−
1
является сжимающей в
своей области определения, но неподвижных точек не имеет.
15.6. Пусть задана функция
a
∈
C
[
a, b
]
. Показать, что существует един-
ственная функция
x
∈
C
[
a, b
]
такая, что
2
x
(
t
) + sin
x
(
t
) +
a
(
t
)
≡
0
.
15.7. Показать, что существует единственная функция
x
∈
C
[0
,
1]
такая,
что
2
x
(
t
) +
x
(
t
2
) +
t
3
≡
0
.
15.8. Пусть
X
– МП полное. Отображение
f
:
B
[
x
0
, r
]
→
X
и является
сжимающим с константой сжатия
q
. Пусть
ρ
(
f
(
x
0
)
, x
0
)
≤
(1
−
q
)
r
. Показать,
что отображение
f
имеет в шаре
B
[
x
0
, r
]
единственную неподвижную точку.
15.9. Пусть
f
(
t, u
)
– функция, непрерывная по совокупности переменных
t
∈
[
a, b
]
и
u
∈
R
1
. Пусть существует
f
0
u
(
t, u
)
такая, что
0
< m
≤
f
0
u
(
t, u
)
≤
M <
∞
для всех
t
∈
[
a, b
]
и
u
∈
R
1
. Показать, что существует единственная
функция
x
∗
∈
C
[
a, b
]
такая, что
f
[
t, x
∗
(
t
)]
≡
0
.
Применение принципа сжимающих отображений к интегра-
льным уравнениям Фредгольма второго рода
, которые имеют вид
x
(
t
) =
Z
b
a
K
[
t, s, x
(
s
)]
ds
+
ϕ
(
t
)
.
(17)
Здесь
K
(
t, s, y
)
и
ϕ
(
t
)
– заданные, непрерывные по совокупности переменных
t, s
∈
[
a, b
]
и
y
∈
R
1
функции. Непрерывная на
[
a, b
]
функция
x
(
t
)
называется
— 34 —
решением уравнения (17), если подстановка
x
(
t
)
в это уравнение превращает
его в тождество на
[
a, b
]
.
На
x
∈
C
[
a, b
]
определим функцию
(
F x
) (
t
) =
Z
b
a
K
[
t, s, x
(
s
)]
ds
+
ϕ
(
t
)
.
В сделанных предположениях, по теореме о непрерывной зависимости инте-
грала Римана от параметра, функция
(
F x
)(
t
)
непрерывна на
[
a, b
]
. Следова-
тельно, функция
F
:
C
[
a, b
]
→
C
[
a, b
]
.
Предположим дополнительно, что функция
K
(
t, s, y
)
удовлетворяет для
всех
y
1
, y
2
∈
R
1
условию
|
K
(
t, s, y
1
)
−
K
(
t, s, y
2
)
| ≤
M
(
t, s
)
|
y
1
−
y
2
|
,
(18)
где функция
M
(
t, s
)
≥
0
и непрерывна по совокупности переменных
t, s
∈
[
a, b
]
. Обозначим
max
a
≤
t
≤
b
Z
b
a
M
(
t, s
)
ds
=
q <
∞
.
(19)
Покажем, что при условии (18) функция
F
удовлетворяет в
C
[
a, b
]
условию
Липшица. Для
x
1
, x
2
∈
C
[
a, b
]
, учитывая (18), получим
ρ
(
F x
1
, F x
2
) = max
a
≤
t
≤
b
¯
¯
¯
Z
b
a
K
[
t, s, x
1
(
s
)]
ds
−
Z
b
a
K
[
t, s, x
2
(
s
)]
ds
¯
¯
¯
≤
max
a
≤
t
≤
b
Z
b
a
M
(
t, s
)
|
x
1
(
s
)
−
x
2
(
s
)
|
ds
≤
max
a
≤
t
≤
b
Z
b
a
M
(
t, s
)
ds
max
a
≤
s
≤
b
|
x
1
(
s
)
−
x
2
(
s
)
|
.
Таким образом,
ρ
(
F x
1
, F x
2
)
≤
q ρ
(
x
1
, x
2
)
.
Если теперь предположить, что в (19)
q <
1
, то функция
F
– сжимающая
и выполняются все условия принципа сжимающих отображений. Следова-
тельно, в сделанных предположениях, функция
F
имеет в
C
[
a, b
]
единствен-
ную неподвижную точку
x
∗
∈
C
[
a, b
]
, которая является единственным непре-
рывным на
[
a, b
]
решением уравнения (17). Кроме того, начиная с любого
x
0
∈
C
[
a, b
]
, последовательность функций
x
n
(
t
) =
Z
b
a
K
[
t, s, x
n
−
1
(
s
)]
ds
+
ϕ
(
t
) (
n
∈
N
)
равномерно на
[
a, b
]
сходится к
x
∗
(
t
)
– решению уравнения (17).
♥
Замечание 1.
Функция
M
(
t, s
)
в условии (18) может быть и константой
M
≥
0
. Тогда условие сжатия принимает вид
M
(
b
−
a
) =
q <
1
.
— 35 —
Замечание 2.
Если в уравнении (17) функция
K
(
t, s, y
)
имеет ограничен-
ную частную производную по
y
∈
R
1
, то есть
|
∂K
(
t, s, y
)
/∂y
| ≤
M <
∞
, то
условие (18) выполняется с
M
(
t, s
)
≡
M
и применимо замечание 1.
В качестве иллюстрации рассмотрим уравнение
x
(
t
) =
1
3
Z
1
−
1
t s
1 +
x
2
(
s
)
ds
+ 1
.
(20)
Здесь
K
(
t, s, y
) =
ts /
[3(1 +
y
2
)]
. Поэтому
¯
¯
¯
∂K
(
t, s, y
)
∂y
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
−
2
tsy
3(1 +
y
2
)
2
¯
¯
¯
≤
2
|
y
|
3(1 +
y
2
)
2
≤
1
3
=
M.
Выполняется условие сжатия
M
(
b
−
a
) =
q
= 2
/
3
<
1
. Установили, что урав-
нение (20) имеет единственное решение
x
∗
∈
C
[
−
1
,
1]
. Нетрудно проверить,
что
x
∗
(
t
)
≡
1
.
Замечание 3.
Пусть в (17) функция
K
(
t, s, y
) =
K
(
t, s
)
y
, то есть линейна
по
y
∈
R
1
, и функция
K
(
t, s
)
непрерывна по совокупности переменных
t, s
∈
[
a, b
]
. Тогда уравнение (17) принимает вид
x
(
t
) =
Z
b
a
K
(
t, s
)
x
(
s
)
ds
+
ϕ
(
t
)
(21)
и называется
линейным
интегральным уравнением Фредгольма второго рода.
Очевидно, для (21) выполняется условие (18) с функцией
M
(
t, s
) =
|
K
(
t, s
)
|
.
Следовательно, для линейного уравнения (21) условие сжатия, обеспечива-
ющее существование единственного непрерывного решения этого уравнения,
имеет вид
max
a
≤
t
≤
b
Z
b
a
|
K
(
t, s
)
|
ds
=
q <
1
.
•
Задача.
15.1. Показать, что следующие интегральные уравнения имеют единствен-
ные решения в
C
[0
,
1]
и найти эти решения методом последовательных при-
ближений, полагая
x
0
(
t
)
≡
0
:
1)
x
(
t
) =
Z
1
0
ts
2
x
(
s
)
ds
+ 1
,
2) 6
x
(
t
) = 5
t
+ 3
Z
1
0
tsx
(
s
)
ds.
§
16. Компактные множества
Множество
M
в метрическом пространстве
{
X, ρ
}
называется
относи-
тельно компактным
или предкомпактным, если из любой последователь-
ности элементов
{
x
n
} ⊂
M
можно выделить подпоследовательность
{
x
n
k
} ⊂
{
x
n
}
, которая сходится в
{
X, ρ
}
.