ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.06.2021
Просмотров: 2497
Скачиваний: 1
.
)
ln
1
(ln
lim
1
0
|
1
x
|
ln
lim
1
x
dx
lim
1
x
dx
0
0
1
0
0
1
0
То есть интеграл расходится.
3. Вычислите несобственные интегралы.
a)
2
3
2x
dx
b)
1
0
3
)
x
1
(
dx
c)
1
2
5
x
2
x
dx
d)
2
1
5
)
2
x
(
dx
Задания для самосоятельного решения:
Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:
2
4
2
)
3
x
(
dx
;
0
x
dx
e
x
2
;
4
2
2
)
1
x
(
xdx
;
1
0
3
2
dx
x
1
x
Двойной интеграл, его вычисление
1. Переход от двойного интеграла к повторному.
2. Смена порядка интегрирования.
3. Вычисление повторных интегралов.
Теоретическая часть:
Определение:
Двумерной интегральной суммой от данной функции f(x, y),
распространённой на область S, называется сумма произведений площадей
элементарных
областей
ΔSi
на
значение
.
)
,
(
),
,
(
Si
y
x
y
x
f
i
i
i
i
)
)
(
)
,
(
(
1
n
i
i
i
Si
P
y
x
f
Определение:
n
i
S
i
i
d
dS
y
x
f
Si
P
y
x
f
1
0
,
)
,
(
)
(
)
,
(
lim
не зависит ни от способа
разбиения S, ни от выбора точек
.
)
,
(
Si
y
x
i
i
Принципиальной разницы между
b
a
и
S
нет. Различия связанны с
изменением размерности рабочего пространства, поэтому те свойства
b
a
,
которые не зависят от размеренности пространства, переносятся на случай
двойного интеграла без изменений.
Теорема:
S
y
x
f
dxdy
y
x
f
)
,
(
)
,
(
-
ограниченна в S.
Теорема:
S
d
s
S
dxdy
y
x
f
.
0
)
(
lim
)
,
(
0
Свойства двойного интеграла.
1.
S
S
S
S
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
f
y
x
f
dxdy
y
x
f
.
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2
1
2
1
2.
S
S
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
f
.
)
,
(
)
,
(
3.
S
dxdy
y
x
f
S
y
x
y
x
f
.
0
)
,
(
)
,
(
,
0
)
,
(
4.
S
S
dS
y
x
g
dxdy
y
x
f
S
y
x
x
g
y
x
f
.
)
,
(
)
,
(
)
,
(
),
(
)
,
(
5.
S
S
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
f
.
/
)
,
(
/
/
)
,
(
/
6.
S
S
P
M
dxdy
y
x
f
S
P
m
S
y
x
M
y
x
f
m
).
(
)
,
(
)
(
)
,
(
,
)
,
(
7.
S
S
P
M
dxdy
y
x
f
).
(
)
,
(
Если f(x,y) – непр на S, то
.
)
,
(
:
)
,
(
M
d
c
f
S
d
с
8.
S
S
S
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
f
1
2
,
)
,
(
)
,
(
)
,
(
где
.
2
1
S
S
S
9.
S
d
d
d
S
P
S
P
Si
P
dxdy
).
(
)
(
lim
)
(
lim
lim
0
0
0
Вычисление двойного интеграла по прямоугольнику.
Теорема:
b
a
d
c
S
d
c
S
пр
пр
dxdy
y
x
f
dy
y
x
f
dx
x
I
dy
y
x
f
b
a
x
dxdy
y
x
f
S
y
x
y
x
f
.
,
)
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
]
,
[
)
2
)
,
(
:
)
,
(
),
,
(
)
1
.
где
.
,
,
:
)
,
(
:
.
d
c
y
b
a
x
y
x
S
пр
Теорема:
(о вычислении двойного интеграла по криволинейной
области). f(x,y) интегрирована в D: {a ≤ x ≤ b,
)
(
,
)
(
)
(
2
1
x
I
b
a
x
x
y
y
x
y
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
)
,
(
)
,
(
x
y
x
y
b
a
x
y
x
y
dy
y
x
f
dx
dy
y
x
f
D
dxdy
y
x
f
.
)
,
(
Таким образом, если область D стандартна относительно оси ОY (a
≤ x ≤ b) ^
)),
(
)
(
)
(
2
1
x
y
x
y
x
y
то
D
b
a
x
y
x
y
dy
y
x
f
dx
dxdy
y
x
f
)
(
)
(
2
1
.
)
,
(
)
,
(
Если область D стандартна относительно оси ОХ, т.е. c ≤ y ≤ d,
),
(
)
(
2
1
y
x
x
y
x
то по аналогии получим:
D
d
c
y
x
y
x
dx
y
x
f
dy
dxdy
y
x
f
)
(
)
(
2
1
.
)
,
(
)
,
(
Если область D нестандартная, то её разбивают на конечное число
областей
n
S
S
S
,...,
,
2
1
стандартных относительно осей координат Ох и Oy и на
основании свойств пределов полагают
n
2
1
s
s
s
D
...
Двойной интеграл в полярных координатах.
Пусть в
S
S
dS
y
x
f
dxdy
y
x
f
)
,
(
)
,
(
Желаем перейти к полярным координатам r и φ, полагая x = cosφ; y
= rsin φ. Область интегрирования S разобьём на элементарные области
Sij
с
помощью координатных линий
j
r
r
(окружности) и
j
(лучи). Введём
обозначения
i
i
j
j
j
r
r
1
1
;
. Т.к.
ij
S
с точностью до б.м. более
высокого порядка малости относительно их площади можно рассматривать
как прямоугольники с измерениями
.
j
i
j
ij
j
i
j
r
r
S
P
r
и
r
Область
неправильной формы, примыкающая к границе проигнорируем, т.к. при
измельчении разбиения их суммарная площадь стремиться к нулю. Выберем
ij
ij
S
M
- где
ij
M
- вершина области
ij
S
с координатами
.
,
i
j
ij
r
M
в ПДСК
i
j
i
j
ij
ij
i
j
ij
i
j
ij
r
r
f
y
x
f
r
y
r
x
sin
;
cos
)
,
(
sin
,
cos
S
d
n
n
i
dxdy
y
x
f
0
...
1
...
1
,
lim
)
,
(
не зависит от добавления слагаемых
б.б.в.п.м., где
S
S
ij
dr
rd
rSin
rCos
f
dxdy
y
x
f
d
d
,
)
,
(
max
, где dS=rdrdφ
– двумерный элемент площади в полярных координатах.
Для вычисления этого двойного интеграла заменим его повторным.
Пусть S:
,
,
2
1
r
r
r
где
1
r
и
2
r
- однозначные,
непрерывной функции на [α,β]. Тогда по аналогии с прямоугольными
координатами имеем:
S
r
r
dr
r
F
d
dr
d
r
F
2
1
,
,
,
где F(r,φ) = rf(rCosφ,rSinφ).
Интеграл Эйлера-Пуассона.
,
~
2
2
2
2
2
0
0
dxdy
e
I
dy
e
I
dx
e
I
S
y
x
y
x
где
.
;
0
;
0
y
x
Перейдём к полярным координатам:
2
0
0
2
0
0
2
4
2
1
2
2
1
2
2
2
r
r
S
r
e
dr
re
d
dr
rd
e
I
по свойству т.к.
S
x
dx
e
I
dxdy
y
x
f
I
2
~
,
0
2
2
.
В силу чётности имеем:
0
.
2
2
2
dx
e
dx
e
x
x
Практическая часть:
1. Вычислить повторный интеграл
Сначала вычислим внутренний интеграл по формуле Ньютона-
Лейбница. Его результат будет подынтегральной функцией для внешнего
интеграла.
2. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
3.Изменить порядок интегрирования
4. Поменять порядок интегрирования
5. Вычислить повторный интеграл
6. Вычислить двойной интеграл
, где D-
прямоугольник 0≤x≤2, 0≤y≤1
7. Вычислить интеграл
,где область D параболический
сегмент, ограниченный параболой
и прямой y=x.
Задания для самосоятельного решения:
1. Поменять порядок интегрирования
2. Поменять порядок интегрирования
3. Вычислить двойной интеграл
по области D, ограниченной прямыми y=2x-3, y=2x+5, y=-x+7, y=-x-1
4. Вычислить двойной интеграл
, где D ограничена линиями x=2, y=x,
5. Вычислить двойной интеграл
,где D-квадрат
0≤x≤1, 0≤y≤1
6.
, если D: 0≤x≤ , 0≤y≤2
7.
, где D ограничена линиями x=0, y =0, x=π
Методы вычисления двойного интеграла
1. Вычисление повторных интегралов.
2. Замена переменных в двойном интеграле
Теоретическая часть:
Пусть:
D
y
y
x
x
dxdy
y
x
f
,
,
;
)
,
(
при отображении
2
2
R
R