ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.06.2021
Просмотров: 2489
Скачиваний: 1
d
dy
d
dy
d
dx
d
dx
I
y
y
x
x
I
,
'
'
'
'
- играет роль производной при
2
2
R
R
и
называется определитель Якоби – якобиан.
D
Δ
d
ξξd
I
)
η
ξ,
y
,
η
ξ,
f(x
y)dxdy
f(x,
Практическая часть:
1. Вычислить двойной интеграл:
По области D, ограниченной прямыми y=2x-3, y=2x+5, у=-х+7, у=-х-1.
Область D – параллелограмм ABCK (РИС. 19 а). Хотя подынтегральная
функция и область интегрирования просты, вычисления данного интеграла в
прямоугольных
координатах
достаточно
громоздко
(убедитесь
самостоятельно). Заметив, что уравнение прямых можно записать в виде у-
2х=-3, у-2х=5, у+х=7 и у+х=-1, перейдем к новым координатам, для чего
обозначим
откуда
Имеем:
Т.е.
В новой системе координат (u, v) область G ограничена
прямыми u=-3, u=5, v=-1, v=7, т. е. представляет собой прямоугольник (рис.
19 б), а подынтегральная функция равна
Отметим, что первая система формул, написанная выше, преобразует
параллелограмм АВСК в прямоугольник А
1
В
1
С
1
К
1
, вторая система –
наоборот, преобразует прямоуольник А
1
В
1
С
1
К
1
d в параллелограмм АВСКю
При этом видно, сто направление охода вершин одной фигуры соответствует
противоположному направлению обхода вершин другой. Именно поэтому
J<0. Переходим к вычислениям:
2. Вычислить
Где D – область, ограниченная кривыми у
2
=4х, у
2
=9х, ху=1, ху=5.
Область D изображена на рис. 20 а. Заметим, что расставить пределы
интегрирования в исходном интеграле не просто, однако подходящая замена
переменных позволяет свести этот интеграл к интегралу по прямоугольнику.
Введем новые переменые
u
и
v
при помощи равентств
Выразим отсюда переменные
х
и
у
через
u
и
v:
, y=
Находим якобиан полученного преобразования
Откуда с учетом того, что х>0 на области D, а значит ,
>0, имеем
Таким образом, исходный интеграл в плоскости О
uv
имеет вид:
Граница области G имеет вид
(т.е. представляет
собой прямоугольник), а преобразованный интеграл вычисляется намного
проще:
Задания для самосоятельного решения:
Вычислить
Где D – область, ограниченная кривыми
Геометрические приложения двойного интеграла
1. Вычисление площади плоской фигуры.
2. Вычисление объема тела.
Практическая часть:
.
1.Рассмотрим
D
dxdy
y
x
Cos
,
где D: x = 0, y = π,
y = x.
а)
D
y
x
y
dy
y
x
Cos
dx
dxdy
y
x
Cos
0
0
0
2
dx
x
Sin
x
Sin
x
y
y
y
x
Sin
dx
0
0
0
2
2
1
2
x
Cos
Cosx
xdx
Sin
Sinxdx
.
2
2
1
1
2
1
1
б)
D
y
x
x
dy
Siny
y
Sin
x
y
x
y
x
Sin
dy
dx
y
x
Cos
dy
dxdy
y
x
Cos
0
0
0
0
2
0
0
0
.
2
1
2
1
1
2
1
0
2
1
2
2
Cosy
y
Cos
Sinydy
ydy
Sin
2. Рассмотрим
,
dxdy
e
D
y
x
где
2
;
0
;
1
:
y
x
x
y
D
а)
1
0
1
,
y
x
y
y
x
D
y
x
dy
e
dx
dxdy
e
но
1
y
x
y
y
x
e
через элементарные функции преобразования не выражается.
б)
D
y
x
x
y
x
y
x
dx
e
dy
dxdy
e
1
0
0
2
1
0
1
0
1
0
2
2
2
0
0
1
2
0
1
2
0
2
y
dy
e
ye
y
dy
ye
dy
y
ye
y
ye
x
y
x
y
e
dx
e
y
y
y
y
y
y
x
y
x
x
y
x
.
2
1
2
1
1
0
0
1
2
2
e
e
y
e
ye
y
y
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
xy = 1; xy = 4; y = 1; y = 2.
2
1
4
1
2
1
2
1
3
1
4
y
x
y
x
dy
y
dy
y
y
dx
dy
dxdy
P
.
.
4
,
2
8
,
0
3
)
.
(
2
ln
3
1
2
ln
3
ед
кв
ед
кв
y
4. Найти объём тела с основанием в виде треугольника x = 0, y = 0, x+y =1
и ограниченного сверху параболическим цилиндром
.
2
x
z
D
x
y
x
y
y
x
dx
dy
x
dx
dxdy
x
V
1
0
1
0
1
0
2
2
2
0
1
1
0
3
4
3
2
.
12
1
4
1
3
1
0
1
4
3
1
ед
x
x
x
x
dx
x
x
5.
Вычислить объём тела, ограниченного координатными плоскостями
z = 0;
2
;
0
2
y
z
x
и пл-ю 2x + 3y – 12 = 0.
D
x
y
dy
y
dx
dxdy
y
V
6
0
2
12
2
0
2
2
2
2
6
0
3
3
2
3
2
4
2
3
2
1
3
1
dx
x
.
.
16
16
0
0
6
4
3
2
4
4
1
4
ед
куб
x
6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми у
2
=2х и у=х.
Имеем
Направление, или порядок, интегрирования
выберем так, как уазано на чертеже (рис. 24)